3장. 커패시터와 인덕터

문서 5개 · 수식 61개 · 회로 12개 · 함정 5개 · 문제 15개

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왼쪽 절반에만 찍고 오른쪽은 백지로 비웁니다 — 읽으면서 옆에 적어 보세요. 내용은 하나도 안 자릅니다.

2단으로 빽빽하게, 표시된 것만 — 시험 직전에 훑는 배치입니다.

커패시터의 원리

커패시터(capacitor)는 전하를 저장하고, 전압 변화에 저항합니다. 이 성질이 필터·디커플링·커플링의 전부입니다.

Q = C V

$C$ 정전용량F $Q$ 전하 / 품질 계수 $V$ 전압V

I = C \frac{d V}{d t}

$C$ 정전용량F $d$ 거리 또는 두께m $I$ 전류A $t$ 시간s $V$ 전압V

Z_{C} = \frac{1}{j ω C} = \frac{1}{j 2 π f C}

$ω$ 각주파수rad/s $C$ 정전용량F $f$ 주파수Hz $j$ 허수 단위 $Z_{C}$ 컬렉터 임피던스Ω

∣ Z_{C} ∣ = \frac{1}{2 π f C}

$C$ 정전용량F $f$ 주파수Hz $Z_{C}$ 컬렉터 임피던스Ω

C = ε_{0} ε_{r} \frac{A}{d}

$A$ 이득 $C$ 정전용량F $d$ 거리 또는 두께m $r$ 저항 (소신호)Ω

E = \frac{1}{2} C V^{2}

$C$ 정전용량F $E$ 에너지J $V$ 전압V

Δ Q = I Δ t = 0.05 \times 100 \times 1 0^{- 9} = 5 nC

$Δ Q$ 전하 변화량C $Δ t$ 시간 간격s $I$ 전류A $Q$ 전하 / 품질 계수 $t$ 시간s

C = \frac{Δ Q}{Δ V} = \frac{5 \times 1 0 ^{- 9}}{0.05} = 100 nF

$Δ Q$ 전하 변화량C $Δ V$ 전압 변화량V $C$ 정전용량F $Q$ 전하 / 품질 계수 $V$ 전압V

f_{c} = \frac{1}{2 π R C} \Rightarrow C = \frac{1}{2 π \times 10 \times 1 0 ^{6}} = 15.9 nF

$C$ 정전용량F $f_{c}$ 차단 주파수Hz $R$ 저항Ω

C \approx ε_{0} ε_{r} \frac{A}{d} = 8.85 \times 1 0^{- 12} \times 4.4 \times \frac{0.2 \times 1 0 ^{- 3} \times 10 \times 1 0 ^{- 3}}{0.2 \times 1 0 ^{- 3}}

$A$ 이득 $C$ 정전용량F $d$ 거리 또는 두께m $r$ 저항 (소신호)Ω

\approx 0.39 pF

Q = C V = 10 \times 1 0^{- 6} \times 12 = 120 μ C

$μ$ 이동도m²/V·s $C$ 정전용량F $Q$ 전하 / 품질 계수 $V$ 전압V

E = \frac{1}{2} C V^{2} = 0.5 \times 10 \times 1 0^{- 6} \times 144 = 720 μ J

$μ$ 이동도m²/V·s $C$ 정전용량F $E$ 에너지J $V$ 전압V

I = C \frac{d V}{d t} \Rightarrow \frac{d V}{d t} = \frac{I}{C} = \frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 6}} = 1000 V/s

$C$ 정전용량F $d$ 거리 또는 두께m $I$ 전류A $t$ 시간s $V$ 전압V

R = 1 M + 10 M = 11 M Ω

$R$ 저항Ω

f_{c} = \frac{1}{2 π \times 11 \times 1 0 ^{6} \times 1 0 ^{- 6}} \approx 0.0145 Hz

$f_{c}$ 차단 주파수Hz

커패시터 임피던스의 주파수 특성

⚠️ 이상과 실제

이상	실제	영향
순수 용량	ESR(직렬 저항) + ESL(직렬 인덕턴스(inductance))	고주파에서 임피던스 상승, 자기공진
용량이 일정	DC 바이어스로 용량이 감소 (X5R/X7R은 정격의 절반 전압에서 50~80% 감소!)	설계값과 실제가 크게 다름
온도 무관	온도계수 (X7R: ±15%, Y5V: +22/−82%)
누설 없음	절연(isolation) 저항 유한 → 누설 전류(leakage current)	고임피던스 회로에서 옵셋
무손실	유전 흡수(dielectric absorption)	샘플-홀드 회로에서 오차
진동 무관	세라믹은 압전 효과로 진동을 전압으로 바꿈 (마이크로포닉스(microphonics))	저잡음 회로에서 문제

⚖️ 고르는 기준

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
큰 용량	저주파까지 낮은 임피던스, 리플(ripple) 감소, 에너지 저장	크기·비용, ESR·ESL 증가, 돌입 전류(inrush current), 누설 증가, 자기공진 주파수 하락
작은 용량	고주파 특성 우수, 소형, 저누설	저주파에서 임피던스 높음
여러 값을 병렬	넓은 주파수 대역에서 낮은 임피던스	반공진(anti-resonance) 피크 발생 (11-02), 부품 수 증가
고내압 제품	안전 여유, DC 바이어스 특성 개선	크기·비용 증가, 같은 크기에서 용량 감소

⚖️ 고르는 기준

목적	✅	⚠️
AC 커플링 (직렬)	DC 옵셋·드리프트 제거, 전극 반전위(half-cell potential) 차단	저주파 신호 손실, 위상 왜곡, 시정수만큼 회복 시간 필요, 커패시터 누설이 옵셋을 만듦
저역통과 필터 (병렬)	고주파 노이즈·에일리어싱(aliasing) 제거	신호 대역폭 제한, 상승시간 저하, 소스 임피던스와 함께 세틀링 시간 증가
디커플링 (전원-접지)	전원 임피던스 하강, 노이즈 억제	돌입 전류, 전원 기동 시간 증가, 반공진
피드백 보상	발진 방지, 안정성 확보	대역폭 희생

RC 과도응답과 시정수

$τ = R C$ . 이 하나의 숫자가 필터 대역폭(bandwidth), 세틀링 시간, 멀티플렉싱 속도를 전부 결정합니다.

V_{C} (t) = V_{s} (1 - e^{- t / τ}), τ = R C

$τ$ 시정수s $C$ 정전용량F $e$ 잡음 전압 밀도V/√Hz $R$ 저항Ω $t$ 시간s $V_{C}$ 컬렉터 전압V $V_{s}$ 신호원 전압V

V_{s} = R C \frac{d V _{C}}{d t} + V_{C}

$C$ 정전용량F $d$ 거리 또는 두께m $R$ 저항Ω $t$ 시간s $V_{C}$ 컬렉터 전압V $V_{s}$ 신호원 전압V

e^{- t / τ} < 2^{- n} \Rightarrow t > n \cdot τ \cdot ln 2 \approx 0.693 n τ

$τ$ 시정수s $e$ 잡음 전압 밀도V/√Hz $n$ 비트 수 또는 개수 $t$ 시간s

V_{C} (t) = V_{0} e^{- t / τ}

$τ$ 시정수s $e$ 잡음 전압 밀도V/√Hz $t$ 시간s $V_{0}$ 0번 전압V $V_{C}$ 컬렉터 전압V

f_{c} = \frac{1}{2 π R C} = \frac{1}{2 π τ}

$τ$ 시정수s $C$ 정전용량F $f_{c}$ 차단 주파수Hz $R$ 저항Ω

t_{r} = τ ln 9 \approx 2.2 τ

$τ$ 시정수s $t_{r}$ 상승 시간s

t_{r} \times f_{c} \approx 0.35

$f_{c}$ 차단 주파수Hz $t_{r}$ 상승 시간s

τ = 1 0^{4} \times 1 0^{- 7} = 1 0^{- 3} s = 1 ms

$τ$ 시정수s

f_{c} = \frac{1}{2 π \times 1 0 ^{- 3}} \approx 159 Hz

$f_{c}$ 차단 주파수Hz

τ = 5 \times 1 0^{3} \times 2 \times 1 0^{- 12} = 10 ns

$τ$ 시정수s

t_{se ttl e} = 6.9 τ = 69 ns

$τ$ 시정수s $t_{se ttl e}$ 정착 시간s

T_{f r am e} = 2500 \times 69 ns = 172.5 μ s

$μ$ 이동도m²/V·s $T_{f r am e}$ 온도 또는 주기 (frame)

τ = 11 k \times 10 p = 110 ns

$τ$ 시정수s

τ = 1 0^{3} \times 1 0^{- 6} = 1 ms

$τ$ 시정수s

f_{c} = \frac{1}{2 π \times 1 0 ^{- 3}} \approx 159 Hz

$f_{c}$ 차단 주파수Hz

t = 12 \times ln 2 \times τ = 8.32 τ

$τ$ 시정수s $t$ 시간s

f_{f r am e} = 4 \times 2 kHz = 8 kHz

$f_{f r am e}$ 프레임 주파수Hz

τ \leq \frac{125 ns}{6.9} \approx 18 ns

$τ$ 시정수s

RC 충전 과도응답

⚠️ 이상과 실제

이상	실제
지수함수 그대로	커패시터의 유전 흡수로 마지막 0.1%가 매우 느리게 안정
τ는 계산값	부품 오차(R ±1%, C ±10%)로 τ도 ±11%
C가 일정	DC 바이어스로 용량 감소 → τ가 설계보다 짧아짐
소스 임피던스 0	실제 소스 임피던스가 R에 더해짐
단일 극	기생 성분(parasitic)으로 추가 극이 생겨 응답이 달라짐

⚖️ 고르는 기준

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
τ를 크게 (큰 R 또는 C)	노이즈 필터링 강함, 리플(ripple) 감소	느린 응답, 세틀링 시간 증가 → 채널 수·샘플링률 제한
τ를 작게	빠른 응답, 높은 대역폭	노이즈가 그대로 통과, 에일리어싱(aliasing) 위험
R을 키워 τ 확보	커패시터(capacitor)가 작아 소형·저비용	열잡음(thermal noise) 증가, 입력 바이어스 전류(input bias current) 오차, 로딩
C를 키워 τ 확보	잡음 증가 없음, 임피던스 낮게 유지	커패시터가 커지고 비쌈, 누설·DC 바이어스 특성

인덕터와 RL 회로

인덕터(inductor)는 전류 변화에 저항합니다. 커패시터(capacitor)의 완벽한 쌍대(dual)이며, 배선(trace)의 기생 인덕턴스(parasitic inductance)가 노이즈의 주범입니다.

V = L \frac{d I}{d t}

$d$ 거리 또는 두께m $I$ 전류A $L$ 인덕턴스H $t$ 시간s $V$ 전압V

Z_{L} = j ω L, ∣ Z_{L} ∣ = 2 π f L

$ω$ 각주파수rad/s $f$ 주파수Hz $j$ 허수 단위 $L$ 인덕턴스H $Z_{L}$ 부하 임피던스Ω

E = \frac{1}{2} L I^{2}

$E$ 에너지J $I$ 전류A $L$ 인덕턴스H

I (t) = \frac{V _{s}}{R} (1 - e^{- t / τ}), τ = \frac{L}{R}

$τ$ 시정수s $e$ 잡음 전압 밀도V/√Hz $I$ 전류A $L$ 인덕턴스H $R$ 저항Ω $t$ 시간s $V_{s}$ 신호원 전압V

V = L \frac{d I}{d t} = 5 \times 1 0^{- 9} \times \frac{0.02}{1 0 ^{- 9}} = 0.1 V

$d$ 거리 또는 두께m $I$ 전류A $L$ 인덕턴스H $t$ 시간s $V$ 전압V

f_{r in g} = \frac{1}{2 π L C} = \frac{1}{2 π 150 \times 1 0 ^{- 9} \times 10 \times 1 0 ^{- 12}} \approx 130 MHz

$C$ 정전용량F $f_{r in g}$ 주파수 (ring)Hz $L$ 인덕턴스H

V = L \frac{d I}{d t} = 0.1 \times \frac{0.1}{1 0 ^{- 6}} = 10, 000 V

$d$ 거리 또는 두께m $I$ 전류A $L$ 인덕턴스H $t$ 시간s $V$ 전압V

f_{S R F} = \frac{1}{2 π 11 \times 1 0 ^{- 9} \times 100 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 4.8 MHz

$f_{S R F}$ 주파수 (SRF)Hz

∣ Z ∣ = 2 π \times 1 0^{8} \times 11 \times 1 0^{- 9} \approx 6.9 Ω

$Z$ 임피던스Ω

τ = \frac{L}{R} = \frac{0.01}{1000} = 10 μ s

$μ$ 이동도m²/V·s $τ$ 시정수s $L$ 인덕턴스H $R$ 저항Ω

L \approx 20 mm \times 1 nH/mm = 20 nH

$L$ 인덕턴스H

V = L \frac{d I}{d t} = 20 \times 1 0^{- 9} \times \frac{0.1}{10 \times 1 0 ^{- 9}} = 0.2 V

$d$ 거리 또는 두께m $I$ 전류A $L$ 인덕턴스H $t$ 시간s $V$ 전압V

f_{S R F} = \frac{1}{2 π L C} = \frac{1}{2 π 1 0 ^{- 9} \times 1 0 ^{- 7}} = \frac{1}{2 π \times 1 0 ^{- 8}} \approx 15.9 MHz

$C$ 정전용량F $f_{S R F}$ 주파수 (SRF)Hz $L$ 인덕턴스H

RL 과도응답

⚠️ 이상과 실제

이상	실제
순수 인덕턴스	DCR(권선 저항) + 기생 용량(권선 간)
$L$ 이 일정	포화 전류를 넘으면 급격히 감소 — 스위칭 레귤레이터 파괴 원인
무손실	코어 손실(히스테리시스(hysteresis), 와전류) → 발열
고주파까지 인덕터	자기공진 주파수 위에서는 커패시터로 동작
자기장이 갇힘	비차폐형은 자기장이 새어나가 인접 회로에 결합(coupling)

⚖️ 고르는 기준

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
큰 인덕턴스	리플(ripple) 전류 감소, 필터링 강함	크기·비용·DCR(직류 저항) 증가, 포화(saturation) 전류 감소, 자기공진 주파수 하락
작은 인덕턴스	소형, 빠른 응답, 고주파 특성 좋음	리플 커짐
페라이트 비드	고주파만 선택적으로 감쇠, 저주파 손실 없음, 저렴	뒤 커패시터와 공진 가능, DC 전류로 특성 열화, 큰 전류에서 포화
차폐형 인덕터	자기장 누설 적음 → 주변 회로에 간섭(interference) 적음	비쌈, 큼
비차폐형 인덕터	싸고 작음	자기장이 주변으로 새어 인접 회로에 유도 노이즈 — 측정 회로 근처에 두면 안 됨

실제 커패시터 고르기

용량만 맞으면 되는 게 아닙니다. 유전체 종류가 회로 성능을 결정하고, DC 바이어스로 용량이 반토막 납니다.

⚠️ 이상과 실제

이상	실제	영향
용량이 표기대로	DC 바이어스로 최대 80% 감소	설계 목표 미달
온도 무관	X7R ±15%, Y5V +22/−82%	온도에서 특성 변화
순수 용량	ESR + ESL	고주파 임피던스 상승 (11-02)
누설 없음	절연(isolation) 저항 유한 (전해는 특히 큼)	고임피던스 회로 옵셋
진동 무관	마이크로포닉스	기계적 진동이 노이즈로
완전 방전	유전 흡수 — 전압이 되살아남	샘플-홀드 오차
수명 무한	전해는 전해액 건조로 수명 유한 (105 °C에서 2000시간 등)	장기 신뢰성

⚖️ 고르는 기준

유전체	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것	언제
C0G/NP0	최고 안정도, DC 바이어스 없음, 저손실, 저잡음, 유전 흡수 극소	용량이 작음(최대 ~100 nF), 크고 비쌈	타이밍, 필터, 적분기, 크리스털
X7R	대용량 대비 안정, 저렴, 소형	DC 바이어스·온도로 용량 변동, 마이크로포닉스(진동→전압)	디커플링, 일반
X5R	최대 용량, 소형, 저렴	X7R보다 온도 범위 좁음, DC 바이어스 심함	벌크 디커플링
알루미늄 전해	대용량 최저가	ESR 큼, 수명 제한, 극성, 저온에서 특성 악화, 부피	전원 벌크
탄탈	소형 대용량, ESR 낮음, 안정	역전압·서지에 발화, 비쌈, 디레이팅 50% 필요	소형 기기
폴리머	ESR 최저, 장수명, 안정	비쌈, 내압 낮음	고성능 전원
필름	유전 흡수 최소, 저손실, 고내압, 무극성	크고 비쌈	오디오, 정밀 아날로그, AC

⚖️ 고르는 기준

자리	권장	이유
신호 경로 필터	C0G 또는 필름	안정, 저손실, 유전 흡수 적음, 마이크로포닉스(microphonics) 없음
AC 커플링	필름 또는 C0G	유전 흡수가 신호를 왜곡
디커플링 (IC 옆)	X7R 100 nF	용량과 크기의 균형
벌크	X5R/X7R 10 µF + 전해/폴리머	저주파 임피던스(impedance)
샘플-홀드	C0G 또는 폴리프로필렌	유전 흡수가 곧 측정 오차
적분기	폴리프로필렌 필름	최고 정밀

RLC 과도응답 — 링잉의 정체

커패시터와 인덕터가 한 회로에 있으면 에너지를 주고받습니다. 그 왕복을 저항이 얼마나 빨리 잡아먹느냐가 링잉이냐 아니냐를 정합니다.

L \frac{d ^{2} i}{d t ^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

$C$ 정전용량F $d$ 거리 또는 두께m $i$ 전류 (순시값)A $L$ 인덕턴스H $R$ 저항Ω $t$ 시간s

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{L C} = 0

$C$ 정전용량F $L$ 인덕턴스H $R$ 저항Ω

ω_{n} = \frac{1}{L C} ζ = \frac{R}{2} \frac{C}{L}

$C$ 정전용량F $L$ 인덕턴스H $n$ 비트 수 또는 개수 $R$ 저항Ω

ζ = \frac{1}{2 R} \frac{L}{C}

$C$ 정전용량F $L$ 인덕턴스H $R$ 저항Ω

ω_{d} = ω_{n} 1 - ζ^{2}

$d$ 거리 또는 두께m $n$ 비트 수 또는 개수

f_{n} = \frac{1}{2 π L C} = \frac{1}{2 π 150 n \cdot 10 p} = \frac{1}{2 π \cdot 3.87 \times 1 0 ^{- 8}} \approx 4.1 MHz

$C$ 정전용량F $f_{n}$ 잡음 주파수Hz $L$ 인덕턴스H

ζ = \frac{R}{2} \frac{C}{L} = \frac{10}{2} \frac{1 0 ^{- 11}}{1.5 \times 1 0 ^{- 7}} = 5 \times 0.00816 = 0.041

$C$ 정전용량F $L$ 인덕턴스H $R$ 저항Ω

Q = \frac{1}{2 ζ} = 12.2 M_{p} = e^{- π (0.041) / 1 - 0.04 1^{2}} = 88%

$e$ 잡음 전압 밀도V/√Hz $M_{p}$ 피크 상호 인덕턴스H $Q$ 전하 / 품질 계수

f = \frac{1}{2 π L C} \Rightarrow L = \frac{1}{( 2 π f ) ^{2} C}

$C$ 정전용량F $f$ 주파수Hz $L$ 인덕턴스H

L = \frac{1}{( 2 π \cdot 4 \times 1 0 ^{6} ) ^{2} \cdot 12 \times 1 0 ^{- 12}} = \frac{1}{6.32 \times 1 0 ^{14} \cdot 1.2 \times 1 0 ^{- 11}} \approx 1.32 \times 1 0^{- 4} H = 132 μ H

$μ$ 이동도m²/V·s $L$ 인덕턴스H

f_{0} = \frac{1}{2 π 1 0 ^{- 6} \cdot 1 0 ^{- 5}} = \frac{1}{2 π \cdot 3.16 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 50 kHz

$f_{0}$ 공진 주파수Hz

Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{1}{0.105} \frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 5}} = \frac{0.316}{0.105} \approx 3.0

$C$ 정전용량F $L$ 인덕턴스H $Q$ 전하 / 품질 계수 $R$ 저항Ω

ζ = \frac{R}{2} \frac{C}{L} = 1 \Rightarrow R = 2 \frac{L}{C} = 2 \frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 10}} = 21000 \approx 63 Ω

$C$ 정전용량F $L$ 인덕턴스H $R$ 저항Ω

t_{s} \approx \frac{9.0}{1 \cdot 3.16 \times 1 0 ^{8}} \approx 28 ns

$t_{s}$ 신호원 시간s

링잉은 고장이 아니라 에너지가 두 곳을 왕복하는 소리입니다.

RLC 링잉과 댐핑

⚠️ 이상과 실제

이상	실제
$L$ 과 $C$ 는 내가 놓은 부품	대부분 기생입니다 — 배선 1 mm ≈ 1 nH
$R$ 은 내가 놓은 저항	소자의 출력 저항·ESR·도체 손실이 이미 조금 있습니다
$ζ$ 가 계산대로	커패시터 용량이 DC 바이어스로 반토막 나면 $ζ$ 도 바뀝니다
링잉은 눈에 보인다	대역이 좁은 스코프로는 안 보입니다. 보이지 않는다고 없는 것이 아닙니다

⚖️ 고르는 기준

방법	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
직렬 저항	확실, 부품 하나	DC 전압 강하, 열, 출력 임피던스↑
RC 스너버 (직렬 RC 를 병렬로)	DC 손실 없이 공진만 잡음	부품 둘, 값 계산 필요
ESR 큰 커패시터	부품 안 늘림	리플·잡음↑, 온도 특성 나쁨
손실 큰 비드	고주파만 잡음	저주파 링잉엔 안 들음, DCR
$L$ 자체를 줄임	근본 해결	배선·부품 배치를 바꿔야 함

연습문제

인쇄하면 답이 접힌 채로 나옵니다 — 그대로 문제지가 됩니다. 위의 “답도 함께 인쇄” 를 켜면 풀이까지 펴서 나옵니다.

커패시터의 원리10 µF 커패시터를 12 V로 충전했습니다. 저장된 에너지와 전하량은?
풀이
$Q = CV = 10\times10^{-6}\times12 = 120\ \mu\text{C}$

$E = \tfrac{1}{2}CV^2 = 0.5\times10\times10^{-6}\times144 = 720\ \mu\text{J}$
커패시터의 원리1 µF 커패시터에 흐르는 전류가 1 mA로 일정합니다. 전압은 초당 얼마나 오릅니까?
연습 3-01-2 — 정전류로 커패시터를 채우면
풀이
$I = C\frac{dV}{dt} \Rightarrow \frac{dV}{dt} = \frac{I}{C} = \frac{10^{-3}}{10^{-6}} = 1000\ \text{V/s}$

초당 1000 V. 이것이 정전류 충전으로 톱니파를 만드는 원리입니다(적분기, 7-05).
커패시터의 원리전극 임피던스 1 MΩ 신호원에 AC 커플링 커패시터 1 µF을 직렬로 넣고, 뒷단 입력 저항이 10 MΩ입니다. 차단주파수는?
연습 3-01-3 — AC 커플링의 차단주파수
풀이
고역통과 필터의 저항은 커패시터가 보는 전체 저항, 즉 소스 저항 + 부하 저항입니다.

$R = 1\ \text{M} + 10\ \text{M} = 11\ \text{M}\Omega$

$f_c = \frac{1}{2\pi \times 11\times10^6 \times 10^{-6}} \approx 0.0145\ \text{Hz}$

약 14.5 mHz (69초 시정수). 매우 낮은 차단주파수로, DC 드리프트는 막으면서 신호는 거의 다 통과시킵니다.

⚠️ 다만 시정수가 11초( $\tau = RC = 11$ s)이므로, 전원을 켜거나 전극을 붙인 직후 회로가 안정되는 데 1분 가까이 걸립니다. 그리고 큰 옵셋 변화(전극이 움직임)가 있으면 회복에 오래 걸려 데이터를 버려야 합니다.

이 트레이드오프 때문에 실제 생체 측정에서는 DC 서보 회로를 쓰기도 합니다 → 13-05
RC 과도응답과 시정수1 kΩ과 1 µF의 시정수와 차단주파수는?
풀이
$\tau = 10^3\times10^{-6} = 1\ \text{ms}$

$f_c = \frac{1}{2\pi\times10^{-3}} \approx 159\ \text{Hz}$
RC 과도응답과 시정수12비트 ADC로 정확히 읽으려면 몇 τ를 기다려야 합니까? τ가 100 ns라면 최대 샘플링률은?
연습 3-02-2 — 12비트에 필요한 τ 와 최대 샘플링률
풀이
$t = 12 \times \ln 2 \times \tau = 8.32\tau$

$\tau = 100$ ns → $t = 832$ ns

최대 샘플링률은 $1/832\text{ns} \approx 1.2$ MSPS입니다. (변환 시간은 별도로 더해야 함)
RC 과도응답과 시정수액티브 어레이에서 1000채널을 프레임당 한 번씩 읽습니다. 각 채널의 신호 대역폭을 2 kHz로 확보하려면, 채널당 세틀링 시간은 얼마 이하여야 합니까? 10비트 정확도 기준으로 허용되는 τ는?
풀이
필요 프레임 레이트: 나이퀴스트에 여유를 둬서 신호 대역의 최소 2배, 실무에서는 4~5배를 씁니다. 여기서는 4배로 잡습니다.

$f_{frame} = 4 \times 2\ \text{kHz} = 8\ \text{kHz}$

프레임 주기: $T = 1/8\text{kHz} = 125\ \mu\text{s}$

채널당 시간: $125\ \mu\text{s} / 1000 = 125\ \text{ns}$

허용 τ (10비트 = 6.9τ):

$\tau \leq \frac{125\ \text{ns}}{6.9} \approx 18\ \text{ns}$

τ ≤ 18 ns. 논문에 나오는 τ ≈ 20 ns라는 숫자가 바로 이런 계산에서 나옵니다.

이제 τ = RC를 만족시키려면:
- 배선(trace) 기생 용량이 2 pF이라면 → 출력 임피던스 $R \leq 9\ \text{k}\Omega$
- 배선 기생 용량이 10 pF이라면 → 출력 임피던스 $R \leq 1.8\ \text{k}\Omega$
즉 픽셀의 소스 팔로워(source follower)는 수 kΩ 이하의 출력 임피던스를 내야 하고, 열 배선의 기생 용량은 pF 수준으로 억제되어야 합니다. 이것이 16-01에서 다루는 설계 제약의 핵심입니다.
인덕터와 RL 회로10 mH 인덕터와 1 kΩ 저항의 시정수는?
연습 3-03-1 — L/R 시정수
풀이
$\tau = \frac{L}{R} = \frac{0.01}{1000} = 10\ \mu\text{s}$
인덕터와 RL 회로PCB 배선 20 mm를 통해 100 mA가 10 ns 만에 켜집니다. 발생하는 전압은?
풀이
$L \approx 20\ \text{mm} \times 1\ \text{nH/mm} = 20\ \text{nH}$

$V = L\frac{dI}{dt} = 20\times10^{-9}\times\frac{0.1}{10\times10^{-9}} = 0.2\ \text{V}$

200 mV. 3.3 V 시스템에서 6%의 전원 변동이고, µV 신호를 다루는 회로에는 재앙입니다.
인덕터와 RL 회로커패시터 ESL이 1 nH이고 용량이 100 nF입니다. 자기공진 주파수는? 그 위에서 이 커패시터는 어떻게 동작합니까?
연습 3-03-3 — 커패시터의 자기공진
풀이
$f_{SRF} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-9}\times10^{-7}}} = \frac{1}{2\pi\times10^{-8}} \approx 15.9\ \text{MHz}$

약 16 MHz. 이 주파수에서 임피던스가 최소(ESR과 같음)가 되고, 그 위에서는 ESL이 지배해 인덕터처럼 동작합니다 — 주파수가 올라갈수록 임피던스가 커집니다.

그래서 100 MHz 노이즈를 잡으려면 100 nF으로는 안 되고, 더 작은 커패시터(1 nF, SRF ~160 MHz)가 필요합니다. 이것이 값이 다른 커패시터를 병렬로 쓰는 이유입니다 → 11-02
실제 커패시터 고르기5 V 레일의 디커플링에 "10 µF X5R 0603 6.3 V"를 썼습니다. 무엇이 문제입니까?
연습 3-04-1 — 6.3 V 짜리 10 µF 을 5 V 에 쓰면
풀이
두 가지 문제:
1. DC 바이어스: 6.3 V 정격에 5 V를 걸면 용량이 2~3 µF으로 감소합니다 (70% 이상 손실). 10 µF을 기대했지만 실제로는 1/4입니다.
1. 내압 여유 부족: 정격 6.3 V에 5 V는 79%로 여유가 적습니다. 전원 과도 상태에서 초과할 수 있습니다.
개선: 10 µF X5R 0805 25 V 또는 22 µF 0805 16 V. 5 V에서도 8~15 µF을 유지합니다.
실제 커패시터 고르기크리스털 발진기의 부하 커패시터에 X7R을 쓰면 어떻게 됩니까?
풀이
크리스털의 발진 주파수는 부하 용량에 민감합니다. X7R은:
- 온도에 따라 ±15% 변동 → 주파수가 온도에 따라 드리프트
- DC 바이어스 (여기서는 DC가 거의 안 걸려 영향 적음)
- 에이징으로 용량 감소
결과적으로 클럭 주파수가 불안정해집니다. UART 통신 오류, 타이밍 오차의 원인이 됩니다.

반드시 C0G/NP0를 쓰세요. 온도계수 ±30 ppm/°C로 사실상 무시할 수준입니다.
실제 커패시터 고르기정밀 적분기 회로에 세라믹 X7R을 썼더니, 큰 신호 후에 출력이 서서히 되돌아오는 현상이 관찰됩니다. 원인과 해결책은?
풀이
유전 흡수(dielectric absorption) 입니다. Class II 세라믹은 유전체 내부에 전하가 갇혀 있다가 천천히 방출되어, 방전 후에도 전압이 되살아납니다. X7R의 유전 흡수는 2~5% 수준입니다.

해결: 유전 흡수가 매우 작은 유전체로 교체
- 폴리프로필렌(PP) 필름: 0.01~0.05% ← 최선
- C0G/NP0: 0.1% 이하
- 폴리스티렌: 0.02%
정밀 적분기, 샘플-홀드, ADC 기준전압(voltage reference) 필터에는 폴리프로필렌 필름이 표준입니다.
RLC 과도응답 — 링잉의 정체스코프에서 링잉 주기가 250 ns 로 보이고, 프로브 용량이 12 pF 라면 기생 인덕턴스는 얼마입니까?
풀이
$f = 1/250\text{ns} = 4$ MHz.

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \quad\Rightarrow\quad L = \frac{1}{(2\pi f)^2 C}$

$L = \frac{1}{(2\pi \cdot 4\times10^6)^2 \cdot 12\times10^{-12}} = \frac{1}{6.32\times10^{14} \cdot 1.2\times10^{-11}} \approx 1.32\times10^{-4}\ \text{H} = 132\ \mu\text{H}$

132 µH 입니다 — 배선일 리가 없습니다. PCB 배선은 1 nH/mm 이라 132 µH 를
만들려면 132 m 가 필요합니다. 이 값이 나왔다면 회로 안에 진짜
인덕터(페라이트 비드, 초크, 변압기 권선)나 긴 케이블이 있다는 뜻입니다.

⚠️ 이 문서는 한동안 이 자리에 132 nH 라고 적고 "13 cm 쯤 되는 배선"
이라고 이어 붙이고 있었습니다. 자릿수를 세 개 놓친 것입니다. 연습 회로가
132 nH 로는 250 ns 가 안 나온다는 것을 보여 주어 잡혔습니다 — 배선 크기의
132 nH 는 같은 12 pF 와 126 MHz(주기 7.9 ns) 로 웁니다.

그래서 자릿수 감이 결론을 정합니다. 250 ns 는 배선 이야기가 아니고,
8 ns 라야 "접지 리드를 의심할 길이" 입니다.

이것이 링잉의 쓸모입니다. 없애야 할 것이지만, 없애기 전에 재는 자로
쓸 수 있습니다.
RLC 과도응답 — 링잉의 정체벅 레귤레이터 입력에 페라이트 비드(1 µH)와 세라믹 10 µF 를 달았습니다. 공진 주파수와 Q 는? (비드 DCR 0.1 Ω, 커패시터 ESR 5 mΩ)
연습 3-05-2 — 페라이트 비드와 세라믹의 공진
풀이
$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-6}\cdot 10^{-5}}} = \frac{1}{2\pi\cdot 3.16\times10^{-6}} \approx 50\ \text{kHz}$

직렬 RLC 이므로 $R = 0.1 + 0.005 = 0.105\ \Omega$ :

$Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{0.105}\sqrt{\frac{10^{-6}}{10^{-5}}} = \frac{0.316}{0.105} \approx 3.0$

Q = 3 → 50 kHz 에서 약 9.5 dB 증폭. 스위칭 주파수가 500 kHz 라도
부하 과도의 저주파 성분이 50 kHz 근처에 있으면 그것이 3배로 커져 나옵니다.

대책: 세라믹과 병렬로 직렬 RC(예 1 Ω + 22 µF)를 답니다. DC 손실
없이 $Q$ 를 1 근처로 떨어뜨립니다 → 8-06
RLC 과도응답 — 링잉의 정체 $L$ = 100 nH, $C$ = 100 pF 인 회로를 오버슈트 없이 가장 빠르게 정착시키려면 직렬 저항은?
연습 3-05-3 — 오버슈트 없이 가장 빠르게
풀이
오버슈트 0 이면서 가장 빠른 것은 임계감쇠 $\zeta = 1$ 입니다.

$\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} = 1 \quad\Rightarrow\quad R = 2\sqrt{\frac{L}{C}} = 2\sqrt{\frac{10^{-7}}{10^{-10}}} = 2\sqrt{1000} \approx 63\ \Omega$

63 Ω.

$\omega_n = 1/\sqrt{LC} = 10^{8.5} \approx 3.16\times10^8$ rad/s
( $f_n = 50$ MHz)이므로 정착 시간은 $\zeta\omega_n$ 이 정합니다.
12비트( $\ln 2^{13} = 9.0$ )면

$t_s \approx \frac{9.0}{1 \cdot 3.16\times10^8} \approx 28\ \text{ns}$

⚠️ 실제로는 63 Ω 이 신호와 직렬로 들어가므로 뒷단 입력 임피던스가 높아야
전압이 안 나눠집니다. 뒷단이 1 kΩ 이면 6% 를 잃습니다.