RC 과도응답과 시정수

한 줄 요약 — $\tau = RC$ . 이 하나의 숫자가 필터 대역폭(bandwidth), 세틀링 시간, 멀티플렉싱 속도를 전부 결정합니다.

충전

$R$ 과 $C$ 가 직렬인 회로에 스텝 전압 $V_s$ 를 걸면:

\boxed{V_C(t) = V_s\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}, \qquad \tau = RC

기호

tau시정수time constants

C정전용량capacitanceF

e잡음 전압 밀도noise voltage densityV/√Hz

R저항resistanceΩ

t시간times

V_C컬렉터 전압collector voltageV

V_s신호원 전압source voltageV

유도

KVL: $V_s = IR + V_C$ , 그리고 $I = C\,dV_C/dt$ 이므로

V_s = RC\frac{dV_C}{dt} + V_C

기호

C정전용량capacitanceF

d거리 또는 두께distance or thicknessm

R저항resistanceΩ

t시간times

V_C컬렉터 전압collector voltageV

V_s신호원 전압source voltageV

이 1차 미분방정식의 해가 위 식입니다.

시정수의 의미

시간	도달률	남은 오차
$1\tau$	63.2%	36.8%
$2\tau$	86.5%	13.5%
$3\tau$	95.0%	5.0%
$5\tau$	99.3%	0.67%
$7\tau$	99.91%	0.09%
$9\tau$	99.988%	0.012%

“5τ면 거의 다 찼다” 가 실무 기준입니다. 하지만 정밀 측정에서는 부족합니다.

★ 몇 τ가 필요한가 — 비트 수로 계산

$n$ 비트 정확도(1 LSB 이내)에 도달하려면:

e^{-t/\tau} < 2^{-n} \quad\Rightarrow\quad \boxed{t > n \cdot \tau \cdot \ln 2 \approx 0.693\,n\tau}

기호

tau시정수time constants

e잡음 전압 밀도noise voltage densityV/√Hz

n비트 수 또는 개수number of bits or count

t시간times

분해능(resolution)분해능 resolutionADC 가 구분할 수 있는 가장 작은 전압 차이로, 비트 수와 기준전압으로 정해집니다. $1\,\mathrm{LSB} = V_{ref}/2^n$ 자세히 보기 →	필요 시간
8비트	$5.5\tau$
10비트	$6.9\tau$
12비트	$8.3\tau$
14비트	$9.7\tau$
16비트	$11.1\tau$

이 표가 16-01에서 멀티플렉싱 세틀링 시간을 계산하는 근거입니다. 12비트 정확도로 채널을 읽으려면 채널당 최소 $8.3\tau$ 를 기다려야 합니다.

방전

V_C(t) = V_0 e^{-t/\tau}

기호

tau시정수time constants

e잡음 전압 밀도noise voltage densityV/√Hz

t시간times

V_00번 전압voltage 0V

V_C컬렉터 전압collector voltageV

시간	남은 전압
$1\tau$	36.8%
$3\tau$	5.0%
$5\tau$	0.67%

주파수 영역과의 관계

같은 RC 회로를 주파수로 보면 저역통과 필터이고, 차단주파수(cutoff frequency)차단 주파수 cutoff frequency필터의 출력이 입력보다 −3 dB(약 0.707배)로 떨어지는 주파수입니다. $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$ 자세히 보기 →는

f_c = \frac{1}{2\pi RC} = \frac{1}{2\pi\tau}

기호

tau시정수time constants

C정전용량capacitanceF

f_c차단 주파수cutoff frequencyHz

R저항resistanceΩ

시간 영역과 주파수 영역은 같은 것의 두 얼굴입니다.

상승시간과 대역폭

10%→90% 상승시간은

t_r = \tau\ln 9 \approx 2.2\tau

기호

tau시정수time constants

t_r상승 시간rise times

이를 대역폭과 연결하면 유명한 관계가 나옵니다:

\boxed{t_r \times f_c \approx 0.35}

기호

f_c차단 주파수cutoff frequencyHz

t_r상승 시간rise times

대역폭	상승시간
1 kHz	350 µs
100 kHz	3.5 µs
1 MHz	350 ns
100 MHz	3.5 ns

💡 오실로스코프(oscilloscope)로 측정한 상승시간이 3.5 ns면, 신호에 최소 100 MHz 성분이 있다는 뜻입니다. 이 관계는 측정 장비 선정에도 씁니다.

계산 예제

예제 1 — 기본

$R = 10\ \text{k}\Omega$ , $C = 100\ \text{nF}$

\tau = 10^4 \times 10^{-7} = 10^{-3}\ \text{s} = 1\ \text{ms}

기호

tau시정수time constants

f_c = \frac{1}{2\pi\times10^{-3}} \approx 159\ \text{Hz}

기호

f_c차단 주파수cutoff frequencyHz

5 V 스텝을 걸면 1 ms 후 3.16 V, 5 ms 후 4.97 V.

예제 2 — ★ 멀티플렉싱 세틀링 (16장 예고)

액티브 어레이에서 픽셀의 출력 임피던스(impedance)출력 임피던스 output impedance회로가 부하에 전압을 얼마나 굳건히 유지해 주는지를 나타내는 값으로, 낮을수록 부하에 덜 흔들립니다.자세히 보기 →가 5 kΩ, 열 배선의 기생 용량(parasitic capacitance)기생 용량 parasitic capacitance부품·배선·케이블이 원치 않게 갖는 커패시턴스로, 고임피던스 신호원에서 대역폭을 가장 먼저 잡아먹습니다.자세히 보기 →이 2 pF입니다.

\tau = 5\times10^3 \times 2\times10^{-12} = 10\ \text{ns}

기호

tau시정수time constants

10비트 정확도로 읽으려면:

t_{settle} = 6.9\tau = 69\ \text{ns}

기호

tau시정수time constants

t_settle정착 시간settling times

2500채널(50×50)을 순차적으로 읽으면 한 프레임에:

T_{frame} = 2500 \times 69\ \text{ns} = 172.5\ \mu\text{s}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

T_frame온도 또는 주기 (frame)temperature or period (frame)

프레임 레이트는 약 5.8 kHz. 채널당 유효 대역폭은 나이퀴스트로 약 2.9 kHz입니다.

MUA(다중단위활동(MUA))는 300 Hz~5 kHz 대역이 필요합니다. 5.8 kHz 프레임 레이트로는 부족합니다.

해결책: ① 세틀링을 더 빠르게(τ를 줄임 → 출력 임피던스↓, 기생 용량↓) ② 병렬 리드아웃(여러 열을 동시에) ③ 정확도를 낮춤(8비트면 5.5τ)

논문의 τ ≈ 20 ns라는 숫자가 왜 중요한지가 여기서 나옵니다. 세틀링 시간이 곧 채널 수 × 대역폭의 상한을 정합니다. 자세한 계산 → 16-01

예제 3 — ADC 획득 시간(acquisition time)획득 시간 acquisition timeADC 가 샘플링 커패시터를 채우는 데 쓰는 시간으로, 신호원 임피던스가 높으면 모자라게 됩니다.자세히 보기 →

ADC 샘플링 커패시터(sampling capacitor)샘플링 커패시터 sampling capacitorADC 안에서 신호를 잠깐 담아 두는 커패시터로, 이것을 채우는 시간이 곧 세틀링 요구가 됩니다.자세히 보기 → 10 pF, 내부 스위치 저항 1 kΩ, 외부 소스 임피던스 10 kΩ.

\tau = 11\text{k}\times10\text{p} = 110\ \text{ns}

기호

tau시정수time constants

12비트 정확도: $t = 8.3\tau = 913\ \text{ns}$

약 1 µs의 획득 시간이 필요합니다. MCU의 ADC 샘플링 사이클 설정이 이보다 짧으면 측정값이 틀립니다 → 10-03

시뮬레이션으로 확인

RC 충전 과도응답워크벤치에서 열기 →

# examples/03-capacitor-inductor/rc-charge.yaml
meta:
  name: RC 충전 과도응답
  lesson: docs/03-capacitor-inductor/02-rc-transient.md
components:
  - {ref: V1, type: vpulse, params: {v1: 0, v2: 5, td: 0, tr: 1n, tf: 1n, pw: 10m, per: 20m}}
  - {ref: R1, type: r, value: 10k, sweep: {min: 1k, max: 100k}}
  - {ref: C1, type: c, value: 100n, sweep: {min: 10n, max: 1u}}
nets:
  IN:  [V1.p, R1.1]
  OUT: [R1.2, C1.1]
  GND: [V1.n, C1.2]
analyses:
  - {type: tran, tstep: 1u, tstop: 5m}
expect:
  - {measure: v, node: OUT, at: 1m, analysis: tran, value: 3.161, tol: 1%}   # 1τ = 63.2%
  - {measure: v, node: OUT, at: 3m, analysis: tran, value: 4.751, tol: 1%}   # 3τ = 95.0%
  - {measure: v, node: OUT, at: 5m, analysis: tran, value: 4.966, tol: 1%}   # 5τ = 99.3%

해석해 $5(1-e^{-t/10^{-3}})$ 와 시뮬 결과가 일치하는지 확인합니다.

⚖️ 부품 트레이드오프

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
τ를 크게 (큰 R 또는 C)	노이즈 필터링 강함, 리플(ripple) 감소	느린 응답, 세틀링 시간 증가 → 채널 수·샘플링률 제한
τ를 작게	빠른 응답, 높은 대역폭	노이즈가 그대로 통과, 에일리어싱(aliasing) 위험
R을 키워 τ 확보	커패시터(capacitor)가 작아 소형·저비용	열잡음(thermal noise) 증가, 입력 바이어스 전류(input bias current) 오차, 로딩
C를 키워 τ 확보	잡음 증가 없음, 임피던스 낮게 유지	커패시터가 커지고 비쌈, 누설·DC 바이어스 특성

💡 같은 τ를 만들 때 R을 키울지 C를 키울지는 노이즈가 중요한 회로에서 결정적입니다. 저잡음이 목표라면 R을 작게, C를 크게 잡는 것이 원칙입니다. RC 저역통과 필터의 출력 잡음은 실제로 $\sqrt{kT/C}$ 로 C에만 의존합니다 — R이 커지면 잡음 밀도(noise density)잡음 밀도 noise density1 Hz 폭당 잡음의 크기로, 여기에 √대역폭을 곱해야 실제 잡음 전압이 됩니다. $v_n = e_n\sqrt{\Delta f}$ 자세히 보기 →는 커지지만 대역폭이 좁아져 상쇄되기 때문입니다.
$v_{n,rms} = \sqrt{\frac{k_BT}{C}}$
기호
C정전용량capacitanceF
k_B볼츠만 상수Boltzmann constantJ/K
T온도 또는 주기temperature or period
v_n,rms잡음 실효값 전압 (순시값)noise rms instantaneous voltageV

$C$ 출력 잡음 (rms)
1 pF 64 µV
10 pF 20 µV
100 pF 6.4 µV
1 nF 2 µV

이것이 “kT/C 잡음”이고, 스위치드 커패시터 회로와 샘플-홀드의 근본 한계입니다. 1 pF 샘플링 커패시터를 쓰면 64 µV의 잡음이 무조건 생깁니다 — ECoG 신호와 같은 크기입니다.

$C$	출력 잡음 (rms)
1 pF	64 µV
10 pF	20 µV
100 pF	6.4 µV
1 nF	2 µV

🔌 실제 쓰임새

용도	τ의 역할
안티에일리어싱 필터(anti-aliasing filter)	$f_c$ 를 샘플링률의 절반 아래로 (13-06)
멀티플렉싱 세틀링	채널당 대기 시간 결정 (16-01)
ADC 획득 시간	샘플링 커패시터 충전 (10-03)
디바운싱	채터링 시간보다 크게 (10-02)
AC 커플링	저역 차단(cutoff), 회복 시간
전원 기동 지연	파워온 리셋
적분기	아날로그 연산

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
지수함수 그대로	커패시터의 유전 흡수로 마지막 0.1%가 매우 느리게 안정
τ는 계산값	부품 오차(R ±1%, C ±10%)로 τ도 ±11%
C가 일정	DC 바이어스로 용량 감소 → τ가 설계보다 짧아짐
소스 임피던스 0	실제 소스 임피던스가 R에 더해짐
단일 극	기생 성분(parasitic)으로 추가 극이 생겨 응답이 달라짐

⚠️ 유전 흡수(dielectric absorption): 커패시터를 방전시킨 뒤 개방해두면 전압이 조금 되살아납니다. 샘플-홀드나 정밀 적분기에서 0.01~1%의 오차를 만듭니다. C0G/NP0나 필름 커패시터가 이 특성이 좋습니다.

연습문제

문제 1. 1 kΩ과 1 µF의 시정수와 차단주파수는?

exercises/03-02-tau-and-fc.yaml

풀이

\tau = 10^3\times10^{-6} = 1\ \text{ms}

기호

tau시정수time constants

f_c = \frac{1}{2\pi\times10^{-3}} \approx 159\ \text{Hz}

기호

f_c차단 주파수cutoff frequencyHz

문제 2. 12비트 ADC로 정확히 읽으려면 몇 τ를 기다려야 합니까? τ가 100 ns라면 최대 샘플링률은?

연습 3-02-2 — 12비트에 필요한 τ 와 최대 샘플링률워크벤치에서 열기 →

풀이

t = 12 \times \ln 2 \times \tau = 8.32\tau

기호

tau시정수time constants

t시간times

$\tau = 100$ ns → $t = 832$ ns

최대 샘플링률은 $1/832\text{ns} \approx 1.2$ MSPS입니다. (변환 시간은 별도로 더해야 함)

문제 3. 액티브 어레이에서 1000채널을 프레임당 한 번씩 읽습니다. 각 채널의 신호 대역폭을 2 kHz로 확보하려면, 채널당 세틀링 시간은 얼마 이하여야 합니까? 10비트 정확도 기준으로 허용되는 τ는?

exercises/03-02-channel-settling.yaml

풀이

필요 프레임 레이트: 나이퀴스트에 여유를 둬서 신호 대역의 최소 2배, 실무에서는 4~5배를 씁니다. 여기서는 4배로 잡습니다.

f_{frame} = 4 \times 2\ \text{kHz} = 8\ \text{kHz}

기호

f_frame프레임 주파수frame rateHz

프레임 주기: $T = 1/8\text{kHz} = 125\ \mu\text{s}$

채널당 시간: $125\ \mu\text{s} / 1000 = 125\ \text{ns}$

허용 τ (10비트 = 6.9τ):

\tau \leq \frac{125\ \text{ns}}{6.9} \approx 18\ \text{ns}

기호

tau시정수time constants

τ ≤ 18 ns. 논문에 나오는 τ ≈ 20 ns라는 숫자가 바로 이런 계산에서 나옵니다.

이제 τ = RC를 만족시키려면:

배선(trace) 기생 용량이 2 pF이라면 → 출력 임피던스 $R \leq 9\ \text{k}\Omega$
배선 기생 용량이 10 pF이라면 → 출력 임피던스 $R \leq 1.8\ \text{k}\Omega$

즉 픽셀의 소스 팔로워(source follower)소스 팔로워 source follower전압 이득이 1인데도 쓰는 이유는 높은 임피던스를 낮은 임피던스로 바꿔 주기 때문입니다.자세히 보기 →는 수 kΩ 이하의 출력 임피던스를 내야 하고, 열 배선의 기생 용량은 pF 수준으로 억제되어야 합니다. 이것이 16-01에서 다루는 설계 제약의 핵심입니다.

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