인덕터와 RL 회로

한 줄 요약 — 인덕터(inductor)는 전류 변화에 저항합니다. 커패시터(capacitor)의 완벽한 쌍대(dual)이며, 배선(trace)의 기생 인덕턴스(parasitic inductance)가 노이즈의 주범입니다.

개념

코일에 전류가 흐르면 자기장이 생기고, 전류가 변하면 자기장이 변해 역기전력이 생깁니다.

\boxed{V = L\frac{dI}{dt}}

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

I전류currentA

L인덕턴스inductanceH

t시간times

V전압voltageV

상황	결과
전류가 일정 ( $dI/dt=0$ )	전압 0 → DC를 통과
전류가 급변	큰 전압
전류를 순간적으로 끊음	무한대 전압 → 스파크

인덕터의 전류는 순간적으로 변할 수 없습니다. 릴레이·모터를 끌 때 스파크가 튀는 이유이고, 플라이백 다이오드(flyback)플라이백 다이오드 flyback diode인덕터를 끌 때 튀어오르는 역기전력을 흘려보내 스위치를 지키는 다이오드입니다.자세히 보기 →가 필요한 이유입니다 (5-05).

임피던스

Z_L = j\omega L, \qquad |Z_L| = 2\pi fL

기호

omega각주파수angular frequencyrad/s

f주파수frequencyHz

j허수 단위imaginary unit

L인덕턴스inductanceH

Z_L부하 임피던스load impedanceΩ

주파수	임피던스(impedance)임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다. $Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$ 자세히 보기 →
DC	0 (단락(short))
높음	큼 (개방(open)에 가까움)

커패시터와 정확히 반대입니다.

에너지

E = \frac{1}{2}LI^2

기호

E에너지energyJ

I전류currentA

L인덕턴스inductanceH

전류의 제곱에 비례합니다.

커패시터와의 쌍대성

	커패시터	인덕터
관계식	$I = C\dfrac{dV}{dt}$	$V = L\dfrac{dI}{dt}$
저장량	전하 $Q=CV$	자속 $\Phi=LI$
에너지	$\frac12 CV^2$	$\frac12 LI^2$
순간 변화 불가	전압	전류
DC에서	개방	단락
고주파에서	단락	개방
직렬	$\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$	$L_1+L_2$
병렬	$C_1+C_2$	$\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}$

하나를 이해하면 다른 하나는 자동으로 이해됩니다.

RL 과도응답

I(t) = \frac{V_s}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right), \qquad \boxed{\tau = \frac{L}{R}}

기호

tau시정수time constants

e잡음 전압 밀도noise voltage densityV/√Hz

I전류currentA

L인덕턴스inductanceH

R저항resistanceΩ

t시간times

V_s신호원 전압source voltageV

⚠️ RC와 반대로 $\tau = L/R$ 입니다. $R$ 이 클수록 빨라집니다.

★ 기생 인덕턴스 — 실전에서 가장 중요한 부분

측정 회로에서 인덕터를 부품으로 쓰는 일은 많지 않습니다. 문제는 원하지 않는 곳에 생기는 인덕턴스(inductance)입니다.

배선의 인덕턴스

대략적인 값:

구조	인덕턴스
PCB 트레이스	약 1 nH/mm
비아(via)	0.5 ~ 1 nH
IC 패키지 리드	1 ~ 10 nH
커패시터 ESL (0402)	~0.5 nH
커패시터 ESL (0805)	~1 nH
점퍼선 10 cm	~100 nH
오실로스코프(oscilloscope) 접지 리드 15 cm	~150 nH

암기: PCB 배선은 1 mm당 1 nH.

왜 문제인가 — 계산

디지털 IC가 스위칭할 때 전류가 1 ns 만에 20 mA 변합니다. 전원 배선의 인덕턴스가 5 nH라면:

V = L\frac{dI}{dt} = 5\times10^{-9}\times\frac{0.02}{10^{-9}} = 0.1\ \text{V}

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

I전류currentA

L인덕턴스inductanceH

t시간times

V전압voltageV

100 mV의 전원 전압 튐이 발생합니다.

이것이 디커플링 커패시터(decoupling capacitor)디커플링 decoupling소자 바로 옆에 둔 커패시터가 순간 전류를 대신 대 주어 전원이 출렁이지 않게 합니다.자세히 보기 →를 IC 바로 옆에 놓아야 하는 이유입니다. 커패시터가 멀면 그 사이 배선의 인덕턴스 때문에 순간 전류를 공급하지 못합니다 → 8-04, 15-02

오실로스코프 접지 리드의 링잉

접지 리드 인덕턴스 150 nH + 프로브(probe) 입력 용량 10 pF이 공진합니다:

f_{ring} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{150\times10^{-9}\times10\times10^{-12}}} \approx 130\ \text{MHz}

기호

C정전용량capacitanceF

f_ring주파수 (ring)frequency (ring)Hz

L인덕턴스inductanceH

빠른 신호를 볼 때 나타나는 130 MHz 링잉(ringing)은 회로가 아니라 프로브가 만든 것입니다. → 14-02

계산 예제

예제 1 — 릴레이 코일의 역기전력

릴레이 코일 100 mH에 100 mA가 흐르고 있습니다. 트랜지스터(transistor)가 1 µs 만에 전류를 끊으면:

V = L\frac{dI}{dt} = 0.1\times\frac{0.1}{10^{-6}} = 10{,}000\ \text{V}

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

I전류currentA

L인덕턴스inductanceH

t시간times

V전압voltageV

10 kV! 실제로는 트랜지스터가 먼저 항복하거나 아크가 발생합니다. 그래서 플라이백 다이오드(diode)로 전류가 계속 흐를 경로를 만들어줍니다 → 5-05

예제 2 — 페라이트 비드(ferrite bead)의 동작

페라이트 비드는 저주파에서 저항이 거의 0이고, 고주파에서 손실성 저항으로 작동합니다. 100 MHz에서 100 Ω인 비드를 전원 라인에 넣으면, 100 MHz 노이즈에 대해 100 Ω의 직렬 저항이 생겨 감쇠시킵니다.

⚠️ 주의: 비드는 인덕터이므로 뒤의 커패시터와 LC 공진(resonance)공진 resonance인덕터와 커패시터의 임피던스가 서로 상쇄되는 주파수로, 그 자리에서 전압이나 전류가 크게 솟습니다. $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ 자세히 보기 →을 만듭니다. 공진 주파수에서 오히려 노이즈가 증폭될 수 있습니다 → 8-06

예제 3 — 배선 인덕턴스가 디커플링을 무력화

100 nF 디커플링 커패시터를 IC에서 10 mm 떨어뜨려 놓았습니다. 배선 인덕턴스 10 nH + 커패시터 ESL 1 nH = 11 nH.

이 LC의 자기공진 주파수:

f_{SRF} = \frac{1}{2\pi\sqrt{11\times10^{-9}\times100\times10^{-9}}} \approx 4.8\ \text{MHz}

기호

f_SRF주파수 (SRF)frequency (SRF)Hz

4.8 MHz 위에서는 커패시터가 인덕터로 동작합니다. 100 MHz 노이즈에 대해서는:

|Z| = 2\pi\times10^8\times11\times10^{-9} \approx 6.9\ \Omega

기호

Z임피던스impedanceΩ

이상적 커패시터라면 $1/(2\pi\times10^8\times10^{-7}) = 0.016\ \Omega$ 이어야 하는데, 430배 나쁩니다.

커패시터를 1 mm 옆에 놓으면 인덕턴스가 2 nH로 줄어 임피던스가 1.3 Ω — 5배 개선됩니다.

“디커플링은 부품 값보다 배치가 중요하다” 는 말의 정량적 근거가 이것입니다.

시뮬레이션으로 확인

RL 과도응답워크벤치에서 열기 →

# examples/03-capacitor-inductor/rl-current.yaml
meta:
  name: RL 과도응답
  lesson: docs/03-capacitor-inductor/03-inductor.md
components:
  - {ref: V1, type: vpulse, params: {v1: 0, v2: 5, td: 0, tr: 1n, tf: 1n, pw: 1m, per: 2m}}
  - {ref: R1, type: r, value: 100, sweep: {min: 10, max: 1k}}
  - {ref: L1, type: l, value: 10m, sweep: {min: 1m, max: 100m}}
nets:
  IN:  [V1.p, L1.1]
  MID: [L1.2, R1.1]
  GND: [V1.n, R1.2]
analyses:
  - {type: tran, tstep: 1u, tstop: 1m}
expect:
  - {measure: i, through: R1, at: 100u, analysis: tran, value: 31.6m, tol: 2%}

$\tau = L/R = 10\text{mH}/100\Omega = 100\ \mu\text{s}$ , 최종 전류 50 mA, $1\tau$ 에서 63.2% = 31.6 mA.

⚖️ 부품 트레이드오프

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
큰 인덕턴스	리플(ripple)리플 ripple직류가 되다 만 나머지 교류분으로, 평활 커패시터가 얼마나 큰지로 정해집니다. $V_r = \frac{I}{f\,C}$ 자세히 보기 → 전류 감소, 필터링 강함	크기·비용·DCR(직류 저항) 증가, 포화(saturation) 전류 감소, 자기공진 주파수 하락
작은 인덕턴스	소형, 빠른 응답, 고주파 특성 좋음	리플 커짐
페라이트 비드	고주파만 선택적으로 감쇠, 저주파 손실 없음, 저렴	뒤 커패시터와 공진 가능, DC 전류로 특성 열화, 큰 전류에서 포화
차폐형 인덕터	자기장 누설 적음 → 주변 회로에 간섭(interference) 적음	비쌈, 큼
비차폐형 인덕터	싸고 작음	자기장이 주변으로 새어 인접 회로에 유도 노이즈 — 측정 회로 근처에 두면 안 됨

⚠️ 측정 회로 근처에 비차폐 인덕터(특히 스위칭 레귤레이터(regulator)스위칭 레귤레이터 switching regulator전압을 열로 버리는 대신 빠르게 껐다 켜서 바꾸는 방식으로, 효율은 높지만 잡음을 만듭니다.자세히 보기 →의 인덕터)를 두지 마세요. 자기장이 신호 루프에 유도 전압을 만듭니다 (2-01 문제 4). 차폐형을 쓰거나 물리적으로 떨어뜨려야 합니다 → 16-05

🔌 실제 쓰임새

용도	어디에
스위칭 레귤레이터	벅·부스트 컨버터의 에너지 저장 (8-03)
EMI 필터	공통 모드 초크, 페라이트 비드
전원 라인 필터	LC 필터로 스위칭 노이즈 억제 (16-03)
릴레이·모터·솔레노이드	부하 자체가 인덕턴스
기생 인덕턴스 (원치 않음)	배선, 비아, 패키지, 커패시터 ESL — 실전 문제의 주범

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
순수 인덕턴스	DCR(권선 저항) + 기생 용량(권선 간)
$L$ 이 일정	포화 전류를 넘으면 급격히 감소 — 스위칭 레귤레이터 파괴 원인
무손실	코어 손실(히스테리시스(hysteresis)히스테리시스 hysteresis켜지는 문턱과 꺼지는 문턱을 일부러 벌려 두어, 경계에서 덜덜 떠는 것을 막는 장치입니다.자세히 보기 →, 와전류) → 발열
고주파까지 인덕터	자기공진 주파수 위에서는 커패시터로 동작
자기장이 갇힘	비차폐형은 자기장이 새어나가 인접 회로에 결합(coupling)

포화

인덕터 코어가 포화하면 $L$ 이 급감하고, $I = \frac{1}{L}\int V dt$ 에 따라 전류가 폭주합니다. 스위칭 레귤레이터가 타는 가장 흔한 원인입니다.

데이터시트에서 반드시 확인할 것:

$I_{sat}$ (포화 전류) — 보통 $L$ 이 30% 감소하는 지점
$I_{rms}$ (온도 상승 기준 전류)
DCR (직류 저항)
SRF (자기공진 주파수)

연습문제

문제 1. 10 mH 인덕터와 1 kΩ 저항의 시정수는?

연습 3-03-1 — L/R 시정수워크벤치에서 열기 →

풀이

\tau = \frac{L}{R} = \frac{0.01}{1000} = 10\ \mu\text{s}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

tau시정수time constants

L인덕턴스inductanceH

R저항resistanceΩ

문제 2. PCB 배선 20 mm를 통해 100 mA가 10 ns 만에 켜집니다. 발생하는 전압은?

exercises/03-03-trace-inductance.yaml

풀이

L \approx 20\ \text{mm} \times 1\ \text{nH/mm} = 20\ \text{nH}

기호

L인덕턴스inductanceH

V = L\frac{dI}{dt} = 20\times10^{-9}\times\frac{0.1}{10\times10^{-9}} = 0.2\ \text{V}

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

I전류currentA

L인덕턴스inductanceH

t시간times

V전압voltageV

200 mV. 3.3 V 시스템에서 6%의 전원 변동이고, µV 신호를 다루는 회로에는 재앙입니다.

문제 3. 커패시터 ESL이 1 nH이고 용량이 100 nF입니다. 자기공진 주파수는? 그 위에서 이 커패시터는 어떻게 동작합니까?

연습 3-03-3 — 커패시터의 자기공진워크벤치에서 열기 →

풀이

f_{SRF} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-9}\times10^{-7}}} = \frac{1}{2\pi\times10^{-8}} \approx 15.9\ \text{MHz}

기호

C정전용량capacitanceF

f_SRF주파수 (SRF)frequency (SRF)Hz

L인덕턴스inductanceH

약 16 MHz. 이 주파수에서 임피던스가 최소(ESR과 같음)가 되고, 그 위에서는 ESL이 지배해 인덕터처럼 동작합니다 — 주파수가 올라갈수록 임피던스가 커집니다.

그래서 100 MHz 노이즈를 잡으려면 100 nF으로는 안 되고, 더 작은 커패시터(1 nF, SRF ~160 MHz)가 필요합니다. 이것이 값이 다른 커패시터를 병렬로 쓰는 이유입니다 → 11-02

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