RLC 과도응답 — 링잉의 정체

한 줄 요약 — 커패시터와 인덕터가 한 회로에 있으면 에너지를 주고받습니다. 그 왕복을 저항이 얼마나 빨리 잡아먹느냐가 링잉이냐 아니냐를 정합니다.

왜 울리는가

RC 는 절대 울리지 않습니다. 에너지를 담는 곳이 하나뿐이라 갈 데가 없기 때문입니다. RLC 는 담는 곳이 둘 입니다.

소자	담는 것	못 바뀌는 것
커패시터	전기장 $\frac12 CV^2$	전압이 순간적으로 못 바뀜
인덕터	자기장 $\frac12 LI^2$	전류가 순간적으로 못 바뀜

커패시터가 다 찼을 때 인덕터에는 전류가 흐르고 있습니다. 그 전류는 멈출 수 없으므로 커패시터를 목표값 너머로 계속 밀어 올립니다. 그게 오버슈트입니다. 그다음 전압이 되밀어 전류를 뒤집고 — 이 왕복이 링잉입니다.

핵심: 링잉은 고장이 아니라 에너지가 두 곳을 왕복하는 소리입니다. 저항은 그 왕복을 열로 바꿔 잡아먹는 유일한 소자입니다.

미분방정식에서 표준형까지

직렬 RLC 에 KVL 을 세우면

L\frac{d^2 i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}i = 0

기호

C정전용량capacitanceF

d거리 또는 두께distance or thicknessm

i전류 (순시값)instantaneous currentA

L인덕턴스inductanceH

R저항resistanceΩ

t시간times

$i = e^{st}$ 를 넣으면 특성방정식이 나옵니다.

s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC} = 0

기호

C정전용량capacitanceF

L인덕턴스inductanceH

R저항resistanceΩ

2차 표준형전달함수 transfer function입력이 출력으로 어떻게 바뀌는지를 s 의 유리식 하나로 적은 것으로, 회로의 성질이 여기 다 들어 있습니다. $H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}$ 자세히 보기 → $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2$ 과 견주면 계수가 바로 읽힙니다.

\boxed{\omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}}} \qquad \boxed{\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}}

기호

C정전용량capacitanceF

L인덕턴스inductanceH

n비트 수 또는 개수number of bits or count

R저항resistanceΩ

병렬 RLC 는 저항이 반대로 들어갑니다

병렬 RLC 에 KCL 을 세우면 $C\frac{d^2v}{dt^2} + \frac{1}{R}\frac{dv}{dt} + \frac{1}{L}v = 0$ 이므로

\zeta = \frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}

기호

C정전용량capacitanceF

L인덕턴스inductanceH

R저항resistanceΩ

직렬은 $R$ 이 커야 잠잠하고, 병렬은 $R$ 이 작아야 잠잠합니다. 헷갈리면 “에너지를 어디서 빼는가”로 생각하면 됩니다 — 직렬 저항은 전류 경로에서, 병렬 저항은 전압 노드에서 뺍니다.

이래서 QQ (품질 계수) quality factor공진이 얼마나 날카로운지를 나타내는 값으로, 클수록 좁게 공진하고 오래 울립니다. $Q = \frac{f_0}{\Delta f_{-3\mathrm{dB}}}$ 자세히 보기 → 도 뒤집혀 있습니다: 직렬 $Q = \frac{1}{R}\sqrt{L/C}$ , 병렬 $Q = R\sqrt{C/L}$ .

세 가지 얼굴

감쇠비감쇠비 damping ratio2차 시스템이 얼마나 출렁이는지를 정하는 값으로, 오버슈트와 정착 시간이 모두 여기서 나옵니다. $\zeta = \frac{1}{2Q}$ 자세히 보기 → $\zeta$ 하나가 파형을 정합니다.

$\zeta$	이름	극점	파형
$> 1$	과감쇠	실수 둘	천천히, 안 넘침
$= 1$	임계감쇠	실수 중근	안 넘치면서 가장 빠름
$< 1$	부족감쇠	켤레복소	넘치고 울림
$= 0$	무감쇠	순허수	영원히 울림

부족감쇠일 때 실제로 울리는 주파수는 $\omega_n$ 이 아니라 조금 낮습니다.

\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

n비트 수 또는 개수number of bits or count

$\zeta = 0.1$ 이면 $\omega_d = 0.995\,\omega_n$ — 거의 같습니다. 그래서 링잉 주파수를 재면 $1/\sqrt{LC}$ 로 봐도 됩니다. 오실로스코프에서 링잉 주기를 재면 그 자리에서 $LC$ 곱을 알 수 있다는 뜻이고, 이것이 기생 인덕턴스를 추정하는 실전 방법입니다.

오버슈트오버슈트 overshoot계단 입력에 응답이 목표값을 넘어 솟는 정도로, 감쇠비 하나로 정해집니다. $M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ 자세히 보기 →와 정착 시간정착 시간 settling time출력이 목표값의 허용 오차 안으로 들어와 머무를 때까지 걸리는 시간으로, 다채널 측정의 속도 상한을 정합니다.자세히 보기 →의 유도는 4-07에 있습니다. 여기서는 값만 씁니다.

계산 예제 — 스코프 접지 리드의 링잉

프로브 접지 리드 15 cm ≈ 150 nH, 프로브 입력 용량 10 pF, 회로 출력 저항 10 Ω.

f_n = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{150\text{n}\cdot10\text{p}}} = \frac{1}{2\pi\cdot 3.87\times10^{-8}} \approx 4.1\ \text{MHz}

기호

C정전용량capacitanceF

f_n잡음 주파수noise frequencyHz

L인덕턴스inductanceH

\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{10}{2}\sqrt{\frac{10^{-11}}{1.5\times10^{-7}}} = 5 \times 0.00816 = 0.041

기호

C정전용량capacitanceF

L인덕턴스inductanceH

R저항resistanceΩ

Q = \frac{1}{2\zeta} = 12.2 \qquad M_p = e^{-\pi(0.041)/\sqrt{1-0.041^2}} = 88\%

기호

e잡음 전압 밀도noise voltage densityV/√Hz

M_p피크 상호 인덕턴스peak mutual inductanceH

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

오버슈트 88%. 사각파를 재면 4 MHz 로 심하게 울리는 파형이 보이는데, 회로가 아니라 프로브가 만든 것입니다.

대책과 그 숫자:

대책	새 값	$\zeta$	오버슈트
그대로	$L$ 150 nH	0.041	88%
짧은 접지 스프링 (1 cm ≈ 10 nH)	$L$ 10 nH	0.158	60%
직렬 댐핑 저항 100 Ω	$R$ 110 Ω	0.45	20%
둘 다	$L$ 10 nH, $R$ 110 Ω	1.74	0%

💡 댐핑 저항 값을 고르는 법: $\zeta = 1$ 을 목표로 하면 $R = 2\sqrt{L/C}$ 입니다. 위 예에서 $2\sqrt{150\text{n}/10\text{p}} = 245\ \Omega$ . 신호 경로라면 그만큼 전압이 나눠지므로 보통 $\zeta = 0.7$ 정도(약 170 Ω)에서 타협합니다.

시뮬레이션으로 확인

RLC 링잉과 댐핑워크벤치에서 열기 →

# examples/03-capacitor-inductor/rlc-ringing.yaml
meta:
  name: RLC 링잉과 댐핑
  lesson: docs/03-capacitor-inductor/05-rlc.md
  note: R 을 10 / 110 / 245 Ω 으로 바꿔 가며 부족감쇠 → 임계감쇠를 본다
components:
  - {ref: V1, type: vpulse, params: {v1: 0, v2: 1, td: 0, tr: 1n, tf: 1n, pw: 500n, per: 1u}}
  - {ref: R1, type: r, value: 10, label: 댐핑, sweep: {min: 1, max: 200}}
  - {ref: L1, type: l, value: 150n, label: 접지 리드, sweep: {min: 15n, max: 1.5u}}
  - {ref: C1, type: c, value: 10p, label: 프로브 용량}
nets:
  IN: [V1.p, R1.1]
  MID: [R1.2, L1.1]
  OUT: [L1.2, C1.1]
  GND: [V1.n, C1.2]
analyses:
  - {type: tran, tstep: 1n, tstop: 2u}

OUT 을 보면 4 MHz 링잉이 그대로 나옵니다. R1 을 245 로 바꾸면 오버슈트가 사라집니다 — 같은 $L$ · $C$ 에서 저항 하나로 파형이 통째로 달라집니다.

⚖️ 부품 트레이드오프 — 댐핑을 어디서 얻는가

방법	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
직렬 저항	확실, 부품 하나	DC 전압 강하, 열, 출력 임피던스↑
RC 스너버 (직렬 RC 를 병렬로)	DC 손실 없이 공진만 잡음	부품 둘, 값 계산 필요
ESR 큰 커패시터	부품 안 늘림	리플·잡음↑, 온도 특성 나쁨
손실 큰 비드	고주파만 잡음	저주파 링잉엔 안 들음, DCR
$L$ 자체를 줄임	근본 해결	배선·부품 배치를 바꿔야 함

가장 좋은 것은 언제나 $L$ 을 줄이는 것입니다. 댐핑은 이미 생긴 에너지를 태우는 일이고, 루프 면적을 좁히는 것은 애초에 안 생기게 하는 일입니다 (12-05).

🔌 실제 쓰임새

어디	무엇이 $L$ 이고 $C$ 인가
스코프 프로브 접지 리드	리드 인덕턴스 + 프로브 용량 → 4 MHz 링잉
전원 입력의 비드 + 커패시터	비드 $L$ + 벌크 $C$ → 공진에서 노이즈 증폭 (8-06)
긴 배선 끝의 게이트	배선 $L$ + 게이트 $C$ → 스위칭 링잉, 오버슈트가 정격을 넘김
릴레이·모터 배선	코일 $L$ + 기생 $C$ → 끌 때 수백 V 스파이크
디커플링 여러 개	각 커패시터의 ESL 이 서로 반공진 (11-02)

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
$L$ 과 $C$ 는 내가 놓은 부품	대부분 기생입니다 — 배선 1 mm ≈ 1 nH
$R$ 은 내가 놓은 저항	소자의 출력 저항·ESR·도체 손실이 이미 조금 있습니다
$\zeta$ 가 계산대로	커패시터 용량이 DC 바이어스로 반토막 나면 $\zeta$ 도 바뀝니다
링잉은 눈에 보인다	대역이 좁은 스코프로는 안 보입니다. 보이지 않는다고 없는 것이 아닙니다

연습문제

문제 1. 스코프에서 링잉 주기가 250 ns 로 보이고, 프로브 용량이 12 pF 라면 기생 인덕턴스는 얼마입니까?

exercises/03-05-ringing-to-inductance.yaml

풀이

$f = 1/250\text{ns} = 4$ MHz.

f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \quad\Rightarrow\quad L = \frac{1}{(2\pi f)^2 C}

기호

C정전용량capacitanceF

f주파수frequencyHz

L인덕턴스inductanceH

L = \frac{1}{(2\pi \cdot 4\times10^6)^2 \cdot 12\times10^{-12}} = \frac{1}{6.32\times10^{14} \cdot 1.2\times10^{-11}} \approx 1.32\times10^{-4}\ \text{H} = 132\ \mu\text{H}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

L인덕턴스inductanceH

132 µH 입니다 — 배선일 리가 없습니다. PCB 배선은 1 nH/mm 이라 132 µH 를 만들려면 132 m 가 필요합니다. 이 값이 나왔다면 회로 안에 진짜 인덕터(페라이트 비드, 초크, 변압기 권선)나 긴 케이블이 있다는 뜻입니다.

⚠️ 이 문서는 한동안 이 자리에 132 nH 라고 적고 “13 cm 쯤 되는 배선” 이라고 이어 붙이고 있었습니다. 자릿수를 세 개 놓친 것입니다. 연습 회로가 132 nH 로는 250 ns 가 안 나온다는 것을 보여 주어 잡혔습니다 — 배선 크기의 132 nH 는 같은 12 pF 와 126 MHz(주기 7.9 ns) 로 웁니다.

그래서 자릿수 감이 결론을 정합니다. 250 ns 는 배선 이야기가 아니고, 8 ns 라야 “접지 리드를 의심할 길이” 입니다.

이것이 링잉의 쓸모입니다. 없애야 할 것이지만, 없애기 전에 재는 자로 쓸 수 있습니다.

문제 2. 벅 레귤레이터 입력에 페라이트 비드(1 µH)와 세라믹 10 µF 를 달았습니다. 공진 주파수와 Q 는? (비드 DCR 0.1 Ω, 커패시터 ESR 5 mΩ)

연습 3-05-2 — 페라이트 비드와 세라믹의 공진워크벤치에서 열기 →

풀이

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-6}\cdot 10^{-5}}} = \frac{1}{2\pi\cdot 3.16\times10^{-6}} \approx 50\ \text{kHz}

기호

f_0공진 주파수resonant frequencyHz

직렬 RLC 이므로 $R = 0.1 + 0.005 = 0.105\ \Omega$ :

Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{0.105}\sqrt{\frac{10^{-6}}{10^{-5}}} = \frac{0.316}{0.105} \approx 3.0

기호

C정전용량capacitanceF

L인덕턴스inductanceH

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

R저항resistanceΩ

Q = 3 → 50 kHz 에서 약 9.5 dB 증폭. 스위칭 주파수가 500 kHz 라도 부하 과도의 저주파 성분이 50 kHz 근처에 있으면 그것이 3배로 커져 나옵니다.

대책: 세라믹과 병렬로 직렬 RC(예 1 Ω + 22 µF)를 답니다. DC 손실 없이 $Q$ 를 1 근처로 떨어뜨립니다 → 8-06

문제 3. $L$ = 100 nH, $C$ = 100 pF 인 회로를 오버슈트 없이 가장 빠르게 정착시키려면 직렬 저항은?

연습 3-05-3 — 오버슈트 없이 가장 빠르게워크벤치에서 열기 →

풀이

오버슈트 0 이면서 가장 빠른 것은 임계감쇠 $\zeta = 1$ 입니다.

\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} = 1 \quad\Rightarrow\quad R = 2\sqrt{\frac{L}{C}} = 2\sqrt{\frac{10^{-7}}{10^{-10}}} = 2\sqrt{1000} \approx 63\ \Omega

기호

C정전용량capacitanceF

L인덕턴스inductanceH

R저항resistanceΩ

63 Ω.

$\omega_n = 1/\sqrt{LC} = 10^{8.5} \approx 3.16\times10^8$ rad/s ( $f_n = 50$ MHz)이므로 정착 시간은 $\zeta\omega_n$ 이 정합니다. 12비트( $\ln 2^{13} = 9.0$ )면

t_s \approx \frac{9.0}{1 \cdot 3.16\times10^8} \approx 28\ \text{ns}

기호

t_s신호원 시간source times

⚠️ 실제로는 63 Ω 이 신호와 직렬로 들어가므로 뒷단 입력 임피던스가 높아야 전압이 안 나눠집니다. 뒷단이 1 kΩ 이면 6% 를 잃습니다.

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