커패시터의 원리

한 줄 요약 — 커패시터(capacitor)는 전하를 저장하고, 전압 변화에 저항합니다. 이 성질이 필터·디커플링·커플링의 전부입니다.

개념

두 도체 사이에 절연체를 끼우면 전하를 저장할 수 있습니다.

\boxed{Q = CV}

기호

C정전용량capacitanceF

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

V전압voltageV

$C$ 는 정전용량(capacitance), 단위는 F(패럿)입니다.

전류-전압 관계

양변을 시간으로 미분하면:

\boxed{I = C\frac{dV}{dt}}

기호

C정전용량capacitanceF

d거리 또는 두께distance or thicknessm

I전류currentA

t시간times

V전압voltageV

이 식이 커패시터의 모든 것을 담고 있습니다.

상황	결과
전압이 일정 ( $dV/dt=0$ )	전류 0 → DC를 차단(cutoff)
전압이 급변	큰 전류
전압이 순간적으로 점프	무한대 전류가 필요 → 불가능

커패시터 양단 전압은 순간적으로 변할 수 없습니다. 이것이 커패시터의 가장 중요한 성질이고, 디커플링(8-04)이 동작하는 이유입니다.

임피던스

정현파에서 커패시터의 임피던스(impedance)임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다. $Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$ 자세히 보기 →는

Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j2\pi fC}

기호

omega각주파수angular frequencyrad/s

C정전용량capacitanceF

f주파수frequencyHz

j허수 단위imaginary unit

Z_C컬렉터 임피던스collector impedanceΩ

크기만 보면:

|Z_C| = \frac{1}{2\pi fC}

기호

C정전용량capacitanceF

f주파수frequencyHz

Z_C컬렉터 임피던스collector impedanceΩ

주파수	임피던스
DC (0 Hz)	∞ (개방(open))
낮음	큼
높음	작음 (단락(short)에 가까움)

커패시터는 고주파에 대해 단락, 저주파에 대해 개방입니다. 이 한 문장으로 필터·커플링·디커플링을 전부 설명할 수 있습니다.

암기용 숫자

| $C$ | 1 kHz에서 $|Z_C|$ | 1 MHz에서 | |---|---|---| | 100 nF | 1.6 kΩ | 1.6 Ω | | 1 µF | 159 Ω | 0.16 Ω | | 10 µF | 16 Ω | 16 mΩ |

⚠️ 실제로는 ESL(기생 인덕턴스(parasitic inductance)) 때문에 고주파에서 임피던스가 다시 올라갑니다. 이 표는 이상적인 경우입니다 → 11-02

물리적 구조

C = \varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}

기호

A이득gain

C정전용량capacitanceF

d거리 또는 두께distance or thicknessm

r저항 (소신호)small-signal resistanceΩ

기호	의미	커지면
$A$	전극(electrode) 면적	$C$ 증가
$d$	전극 간격	$C$ 감소
$\varepsilon_r$	유전율	$C$ 증가

용량을 키우려면 면적을 넓히고 간격을 좁혀야 합니다. 그런데 간격을 좁히면 내압이 낮아집니다. 이것이 커패시터의 근본적 트레이드오프입니다: 용량과 내압은 서로 반대입니다.

💡 이 공식은 기생 용량(parasitic capacitance)기생 용량 parasitic capacitance부품·배선·케이블이 원치 않게 갖는 커패시턴스로, 고임피던스 신호원에서 대역폭을 가장 먼저 잡아먹습니다.자세히 보기 →을 계산할 때도 그대로 씁니다. 나란한 두 PCB 배선(trace), 케이블의 중심선과 실드, 트랜지스터(transistor)의 게이트와 채널 — 전부 이 식으로 용량이 생깁니다 → 11-04

에너지

E = \frac{1}{2}CV^2

기호

C정전용량capacitanceF

E에너지energyJ

V전압voltageV

전압의 제곱에 비례합니다. 전압을 2배로 하면 에너지는 4배입니다.

이 에너지가 디커플링에서 순간 전류를 공급하는 원천입니다.

직렬·병렬

	공식	직관
병렬	$C = C_1 + C_2$	면적이 늘어남
직렬	$C = \dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$	간격이 늘어남

저항과 반대입니다 (1-03).

계산 예제

예제 1 — 디커플링 커패시터(decoupling capacitor)디커플링 decoupling소자 바로 옆에 둔 커패시터가 순간 전류를 대신 대 주어 전원이 출렁이지 않게 합니다.자세히 보기 →가 공급하는 전하

MCU가 순간적으로 50 mA를 100 ns 동안 더 끌어씁니다. 전원 전압 강하를 50 mV 이내로 유지하려면 필요한 용량은?

\Delta Q = I\Delta t = 0.05 \times 100\times10^{-9} = 5\ \text{nC}

기호

Delta Q전하 변화량charge changeC

Delta t시간 간격time intervals

I전류currentA

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

t시간times

C = \frac{\Delta Q}{\Delta V} = \frac{5\times10^{-9}}{0.05} = 100\ \text{nF}

기호

Delta Q전하 변화량charge changeC

Delta V전압 변화량voltage changeV

C정전용량capacitanceF

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

V전압voltageV

100 nF. 디커플링에 100 nF을 쓰는 관행에 이런 계산 근거가 있습니다 → 8-04

예제 2 — AC 커플링 커패시터

10 Hz 이상의 신호만 통과시키고 DC를 차단하려 합니다. 뒷단 입력 저항이 1 MΩ일 때 필요한 용량은?

고역통과 필터의 차단주파수(cutoff frequency)차단 주파수 cutoff frequency필터의 출력이 입력보다 −3 dB(약 0.707배)로 떨어지는 주파수입니다. $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$ 자세히 보기 →:

f_c = \frac{1}{2\pi RC} \Rightarrow C = \frac{1}{2\pi \times 10 \times 10^6} = 15.9\ \text{nF}

기호

C정전용량capacitanceF

f_c차단 주파수cutoff frequencyHz

R저항resistanceΩ

약 16 nF (E12에서 22 nF 선택).

실무에서는 $f_c$ 를 목표 최저 주파수의 1/10 정도로 잡습니다. 차단주파수 근처에서는 위상(phase) 왜곡이 크기 때문입니다. 10 Hz 신호를 제대로 보려면 $f_c = 1$ Hz로 설계 → $C = 159$ nF.

예제 3 — 기생 용량의 크기 감 잡기

PCB에서 폭 0.2 mm 배선 두 개가 0.2 mm 간격으로 10 mm 나란히 갑니다. 기생 용량은?

대략적으로 (FR4, $\varepsilon_r \approx 4.4$ , 단순 평행판 근사):

C \approx \varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d} = 8.85\times10^{-12}\times4.4\times\frac{0.2\times10^{-3}\times10\times10^{-3}}{0.2\times10^{-3}}

기호

A이득gain

C정전용량capacitanceF

d거리 또는 두께distance or thicknessm

r저항 (소신호)small-signal resistanceΩ

\approx 0.39\ \text{pF}

약 0.4 pF. 작아 보이지만, 1 MΩ 노드에서는 시정수 0.4 µs, 대역폭(bandwidth) 400 kHz입니다. 그리고 인접 배선의 신호가 이 용량을 통해 결합(coupling)합니다 → 12-04 크로스토크

시뮬레이션으로 확인

커패시터 임피던스의 주파수 특성워크벤치에서 열기 →

# examples/03-capacitor-inductor/cap-impedance.yaml
meta:
  name: 커패시터 임피던스의 주파수 특성
  lesson: docs/03-capacitor-inductor/01-capacitor.md
components:
  - {ref: V1, type: vac, value: 1}
  - {ref: R1, type: r,   value: 1k}
  - {ref: C1, type: c,   value: 100n}
nets:
  IN:  [V1.p, R1.1]
  OUT: [R1.2, C1.1]
  GND: [V1.n, C1.2]
analyses:
  - {type: ac, sweep: dec, points: 20, fstart: 10, fstop: 10MEG}
expect:
  - {measure: gain_db, node: OUT, at: 1.59k, analysis: ac, value: -3, tol: 0.3}

$f_c = 1/(2\pi\times1000\times100\times10^{-9}) = 1.59$ kHz에서 −3 dB가 나옵니다.

⚖️ 부품 트레이드오프

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
큰 용량	저주파까지 낮은 임피던스, 리플(ripple)리플 ripple직류가 되다 만 나머지 교류분으로, 평활 커패시터가 얼마나 큰지로 정해집니다. $V_r = \frac{I}{f\,C}$ 자세히 보기 → 감소, 에너지 저장	크기·비용, ESR·ESL 증가, 돌입 전류(inrush current)돌입 전류 inrush current전원을 켜는 순간 빈 커패시터로 쏟아져 들어가는 큰 전류로, 수십 A 에 이르기도 합니다.자세히 보기 →, 누설 증가, 자기공진 주파수 하락
작은 용량	고주파 특성 우수, 소형, 저누설	저주파에서 임피던스 높음
여러 값을 병렬	넓은 주파수 대역에서 낮은 임피던스	반공진(anti-resonance)자기공진 self-resonance커패시터의 용량과 ESL 이 공진하는 주파수로, 이 위에서는 디커플링이 듣지 않습니다. $f_{SRF} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{ESL}C}}$ 자세히 보기 → 피크 발생 (11-02), 부품 수 증가
고내압 제품	안전 여유, DC 바이어스 특성 개선	크기·비용 증가, 같은 크기에서 용량 감소

신호 경로에 커패시터를 넣을 때의 양면성

목적	✅	⚠️
AC 커플링 (직렬)	DC 옵셋·드리프트 제거, 전극 반전위(half-cell potential) 차단	저주파 신호 손실, 위상 왜곡, 시정수만큼 회복 시간 필요, 커패시터 누설이 옵셋을 만듦
저역통과 필터 (병렬)	고주파 노이즈·에일리어싱(aliasing)에일리어싱 aliasing샘플링 주파수의 절반보다 높은 성분이 낮은 주파수인 척 되접혀 들어오는 현상으로, 한 번 섞이면 되돌릴 수 없습니다.자세히 보기 → 제거	신호 대역폭 제한, 상승시간 저하, 소스 임피던스와 함께 세틀링 시간 증가
디커플링 (전원-접지)	전원 임피던스 하강, 노이즈 억제	돌입 전류, 전원 기동 시간 증가, 반공진
피드백 보상	발진 방지, 안정성 확보	대역폭 희생

💡 커패시터를 넣으면 거의 항상 “노이즈는 줄고 속도는 느려집니다.” 이 트레이드오프를 정량적으로 다루는 것이 13-06 안티에일리어싱 설계입니다.

🔌 실제 쓰임새

용도	전형적 값	어디에
디커플링	100 nF	모든 IC 전원핀 옆 (8-04)
벌크 디커플링	10 ~ 100 µF	전원 입구
AC 커플링	100 nF ~ 10 µF	증폭단 사이, 전극 입력
저역통과 필터	pF ~ nF	안티에일리어싱 (13-06)
타이밍	nF ~ µF	RC 발진, 디바운싱
크리스털 부하	10 ~ 22 pF	발진기 (16-04)
부트스트랩(bootstrap)	100 nF	하이사이드 게이트 드라이브
ADC 입력 전하 저장	100 nF ~ 1 µF	샘플링 커패시터(sampling capacitor) 충전 지원 (10-03)

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제	영향
순수 용량	ESR(직렬 저항) + ESL(직렬 인덕턴스(inductance))	고주파에서 임피던스 상승, 자기공진
용량이 일정	DC 바이어스로 용량이 감소 (X5R/X7R은 정격의 절반 전압에서 50~80% 감소!)	설계값과 실제가 크게 다름
온도 무관	온도계수 (X7R: ±15%, Y5V: +22/−82%)
누설 없음	절연(isolation) 저항 유한 → 누설 전류(leakage current)	고임피던스 회로에서 옵셋
무손실	유전 흡수(dielectric absorption)	샘플-홀드 회로에서 오차
진동 무관	세라믹은 압전 효과로 진동을 전압으로 바꿈 (마이크로포닉스(microphonics))	저잡음 회로에서 문제

⚠️ DC 바이어스 특성은 초보자가 가장 많이 당하는 함정입니다. 25 V 정격 10 µF X5R 커패시터에 5 V를 걸면 실제 용량이 4~5 µF으로 떨어집니다. 데이터시트의 DC bias 곡선을 반드시 확인하세요 → 04 실제 커패시터 고르기

연습문제

문제 1. 10 µF 커패시터를 12 V로 충전했습니다. 저장된 에너지와 전하량은?

exercises/03-01-stored-energy.yaml

풀이

Q = CV = 10\times10^{-6}\times12 = 120\ \mu\text{C}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

C정전용량capacitanceF

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

V전압voltageV

E = \tfrac{1}{2}CV^2 = 0.5\times10\times10^{-6}\times144 = 720\ \mu\text{J}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

C정전용량capacitanceF

E에너지energyJ

V전압voltageV

문제 2. 1 µF 커패시터에 흐르는 전류가 1 mA로 일정합니다. 전압은 초당 얼마나 오릅니까?

연습 3-01-2 — 정전류로 커패시터를 채우면워크벤치에서 열기 →

풀이

I = C\frac{dV}{dt} \Rightarrow \frac{dV}{dt} = \frac{I}{C} = \frac{10^{-3}}{10^{-6}} = 1000\ \text{V/s}

기호

C정전용량capacitanceF

d거리 또는 두께distance or thicknessm

I전류currentA

t시간times

V전압voltageV

초당 1000 V. 이것이 정전류 충전으로 톱니파를 만드는 원리입니다(적분기, 7-05).

문제 3. 전극 임피던스 1 MΩ 신호원에 AC 커플링 커패시터 1 µF을 직렬로 넣고, 뒷단 입력 저항이 10 MΩ입니다. 차단주파수는?

연습 3-01-3 — AC 커플링의 차단주파수워크벤치에서 열기 →

풀이

고역통과 필터의 저항은 커패시터가 보는 전체 저항, 즉 소스 저항 + 부하 저항입니다.

R = 1\ \text{M} + 10\ \text{M} = 11\ \text{M}\Omega

기호

R저항resistanceΩ

f_c = \frac{1}{2\pi \times 11\times10^6 \times 10^{-6}} \approx 0.0145\ \text{Hz}

기호

f_c차단 주파수cutoff frequencyHz

약 14.5 mHz (69초 시정수). 매우 낮은 차단주파수로, DC 드리프트는 막으면서 신호는 거의 다 통과시킵니다.

⚠️ 다만 시정수가 11초( $\tau = RC = 11$ s)이므로, 전원을 켜거나 전극을 붙인 직후 회로가 안정되는 데 1분 가까이 걸립니다. 그리고 큰 옵셋 변화(전극이 움직임)가 있으면 회복에 오래 걸려 데이터를 버려야 합니다.

이 트레이드오프 때문에 실제 생체 측정에서는 DC 서보 회로를 쓰기도 합니다 → 13-05

다음 → 02 RC 과도응답과 시정수