2장. 회로 해석법

연습문제

인쇄하면 답이 접힌 채로 나옵니다 — 그대로 문제지가 됩니다. 위의 “답도 함께 인쇄” 를 켜면 풀이까지 펴서 나옵니다.

1. 키르히호프 법칙 (KCL·KVL)한 노드에 5 mA와 3 mA가 들어오고, 2 mA가 나갑니다. 남은 한 가지의 전류는?
   풀이

   $$5 + 3 = 2 + I \quad\Rightarrow\quad I = 6\ \text{mA (나가는 방향)}$$

2. 키르히호프 법칙 (KCL·KVL)12 V 전원에 3 kΩ, 2 kΩ, 1 kΩ이 직렬입니다. 각 저항 양단 전압은?
   풀이

   $$I = \frac{12}{3000+2000+1000} = 2\ \text{mA}$$

   $V_1 = 6$ V, $V_2 = 4$ V, $V_3 = 2$ V. 합 12 V ✅

   (분압 공식으로도 바로: 전체의 1/2, 1/3, 1/6)

3. 키르히호프 법칙 (KCL·KVL)아래 회로에서 $V_x$를 구하세요.
   풀이

   $R_2$와 $R_3$가 병렬입니다: $4\text{k}\parallel4\text{k} = 2\ \text{k}\Omega$

   분압:

   $$V_x = 12 \times \frac{2000}{2000+2000} = 6\ \text{V}$$

   검산 (KCL): $I_{R1} = (12-6)/2000 = 3$ mA. $I_{R2} = I_{R3} = 6/4000 = 1.5$ mA. 합 3 mA ✅

4. 키르히호프 법칙 (KCL·KVL)어떤 회로 루프가 20 cm × 10 cm 면적을 갖고, 주변에 60 Hz 자기장 $B=1\mu \text{T}$가 수직으로 통과합니다. 유도되는 전압은?
   풀이

   패러데이 법칙:

   $$V = \frac{d\Phi}{dt} = A\frac{dB}{dt} = A \cdot B_{peak} \cdot 2\pi f$$

   $$A = 0.2 \times 0.1 = 0.02\ \text{m}^2$$

   $$V = 0.02 \times 1\times10^{-6} \times 2\pi \times 60 \approx 7.5\ \mu\text{V (peak)}$$

   약 7.5 µV. 우리가 재려는 ECoG 신호(50 µV)의 15%에 해당합니다!

   루프 면적을 1/10로 줄이면(신호선과 리턴선을 나란히 붙이면) 유도 전압도 1/10인 0.75 µV가 됩니다.

   이것이 12-05에서 "신호선과 리턴선을 최대한 붙여라"라고 하는 이유의 정량적 근거입니다. 꼬임선(twisted pair)이 효과적인 이유도 같습니다 — 꼬으면 인접 루프의 유도 전압이 서로 상쇄됩니다.

5. 노드 해석아래 회로에서 $V_A$를 노드 해석으로 구하세요.
   풀이

   $$\frac{V_A-5}{1000} + \frac{V_A}{1000} + \frac{V_A}{1000} = 0$$

   $$(V_A-5) + V_A + V_A = 0 \Rightarrow 3V_A = 5 \Rightarrow V_A \approx 1.667\ \text{V}$$

   검산 (분압): $R_2\parallel R_3 = 500\ \Omega$, $V_A = 5\times\frac{500}{1500} = 1.667$ V ✅

6. 노드 해석고임피던스 노드(테브난 저항 10 MΩ)에 OP앰프 입력 바이어스 전류(input bias current) 1 nA가 흘러 들어옵니다. 이 노드의 전압 오차는?
   풀이

   노드에서 KCL: 바이어스 전류가 들어오면 그만큼 저항을 통해 빠져나가야 하고, 그 과정에서 전압이 생깁니다.

   $$\Delta V = I_B \times R_{th} = 1\times10^{-9} \times 10\times10^{6} = 0.01\ \text{V} = 10\ \text{mV}$$

   10 mV 오차. 50 µV 신호를 재는 회로라면 신호의 200배입니다.

   이것이 고임피던스 측정에서 입력 바이어스 전류가 pA급인 FET/CMOS 입력 OP앰프가 필수인 이유입니다 → 7-06, 13-03

7. 메시 해석아래 회로를 메시 해석으로 풀어 $R_2$의 전류를 구하세요.
   풀이

   메시 1 (12V-R1-R2), 메시 2 (R2-R3), 둘 다 시계 방향.

   메시 1: $12 = 2000I_1 + 4000(I_1-I_2)$ → $12 = 6000I_1 - 4000I_2$
   메시 2: $0 = 4000I_2 + 4000(I_2-I_1)$ → $0 = 8000I_2 - 4000I_1$ → $I_1 = 2I_2$

   대입: $12 = 12000I_2 - 4000I_2 = 8000I_2$ → $I_2 = 1.5$ mA, $I_1 = 3$ mA

   $R_2$의 전류 = $I_1 - I_2 = 1.5$ mA. 양단 전압 = $1.5\text{mA}\times4\text{k} = 6$ V

   검산 (분압): $R_2\parallel R_3 = 2$ kΩ, $V = 12\times\frac{2}{2+2} = 6$ V ✅

8. 메시 해석두 장비를 각각 벽 콘센트에 꽂고 신호선으로 연결했습니다. 두 장비의 접지 사이에 0.5 V의 전위차가 있고 접지 경로의 저항이 0.2 Ω이라면 순환 전류는? 이 전류가 0.05 Ω의 신호 케이블 실드에 흐르면 신호에 얼마의 간섭이 실립니까?
   풀이

   $$I_{loop} = \frac{0.5\ \text{V}}{0.2\ \Omega} = 2.5\ \text{A}$$

   실드 저항 0.05 Ω에서:

   $$V_{noise} = 2.5 \times 0.05 = 125\ \text{mV}$$

   125 mV의 간섭이 신호에 직접 더해집니다. 이것이 접지 루프(ground loop) 문제이고, 오디오·계측에서 험(hum)의 주된 원인입니다.

   해결:

   • 한쪽 접지를 끊는다 (안전상 주의)
   • 아이솔레이션(광절연, 변압기, 절연(isolation) 증폭기)
   • 차동 신호(differential signaling) 전송 (12-07)

   자세한 내용 → 12-03, 12-08

9. 중첩의 원리5 V 전원과 2 mA 전류원이 있는 회로에서 중첩을 쓸 때, 전류원만 볼 때 전압원은 어떻게 처리합니까?
   풀이

   단락(short) 합니다. 전압원 자리를 도선으로 대체합니다.

   반대로 전압원만 볼 때는 전류원을 개방(open) 합니다.

10. 중첩의 원리어떤 증폭기 출력에 세 개의 잡음 기여가 있습니다: 저항 열잡음 2 µV, OP앰프 전압잡음 8 µV, 전원 리플 기여 3 µV. 전체 잡음은? 그리고 저항을 절반으로 줄여 열잡음을 1.4 µV로 낮추면 전체는 얼마나 개선됩니까?
    풀이

    현재:

    $$v_n = \sqrt{2^2+8^2+3^2} = \sqrt{4+64+9} = \sqrt{77} \approx 8.77\ \mu\text{V}$$

    저항 개선 후:

    $$v_n = \sqrt{1.4^2+8^2+3^2} = \sqrt{1.96+64+9} = \sqrt{74.96} \approx 8.66\ \mu\text{V}$$

    개선폭은 1.3%로 거의 없습니다.

    이유: OP앰프 잡음 8 µV가 지배적이기 때문입니다. 저항을 아무리 줄여도 소용없고, 더 낮은 잡음의 OP앰프로 바꿔야 합니다.

    이것이 노이즈 예산 계산을 먼저 해야 하는 이유입니다. 계산 없이 감으로 개선하면 엉뚱한 곳에 노력을 씁니다. → 13-02

11. 테브난·노턴 등가$R_1=1\text{k}$, $R_2=3\text{k}$인 분압기에 12 V를 걸었습니다. 테브난 등가는?
    풀이

    $$V_{th} = 12\times\frac{3000}{4000} = 9\ \text{V}$$

    $$R_{th} = 1\text{k}\parallel3\text{k} = \frac{3000}{4} = 750\ \Omega$$

    9 V + 750 Ω 직렬

12. 테브난·노턴 등가위 회로에 1 kΩ 부하를 달면 출력 전압은?
    풀이

    $$V_{out} = 9 \times \frac{1000}{750+1000} = 5.14\ \text{V}$$

    무부하 9 V에서 43% 떨어집니다. 부하($1\text{k}$)가 $R_{th}$($750\ \Omega$)와 비슷해서 그렇습니다.

13. 테브난·노턴 등가전극 임피던스가 1 kHz에서 500 kΩ입니다. 이 신호를 입력 임피던스 10 MΩ, 입력 용량 5 pF인 증폭기로 받습니다. (a) DC 감쇠율은? (b) 대역폭은? (c) 소스 팔로워로 출력 임피던스를 1 kΩ으로 낮추면 대역폭은?
    풀이

    (a) DC 감쇠:

    $$\frac{10\text{M}}{500\text{k}+10\text{M}} = 0.952 \rightarrow \text{4.8\% 감쇠}$$

    (b) 대역폭: 소스 저항 500 kΩ과 입력 용량 5 pF (입력 저항 10 MΩ은 병렬이지만 훨씬 커서 무시)

    $$f_c = \frac{1}{2\pi \times 500\times10^3 \times 5\times10^{-12}} \approx 63.7\ \text{kHz}$$

    (c) 소스 팔로워 후 (1 kΩ):

    $$f_c = \frac{1}{2\pi \times 1000 \times 5\times10^{-12}} \approx 31.8\ \text{MHz}$$

    500배 개선. 그리고 이건 5 pF 기준입니다. 실제 케이블은 100 pF/m 수준이므로 1 m 케이블이면:

    • 버퍼 없음: $f_c = 3.2$ kHz — MUA 대역(300 Hz~5 kHz)조차 못 씀
    • 버퍼 있음: $f_c = 1.6$ MHz — 충분

    이 계산 하나가 "왜 픽셀마다 트랜지스터(transistor)를 넣는가"에 대한 답입니다. 신호를 증폭하기 위해서가 아니라 임피던스를 낮춰서 신호를 밖으로 꺼내기 위해서입니다. → 16-01

14. 출력 임피던스와 로딩출력 임피던스 50 kΩ인 센서를 입력 임피던스 100 kΩ인 회로에 연결했습니다. 신호는 몇 % 전달됩니까?
    풀이

    $$\frac{100\text{k}}{50\text{k}+100\text{k}} = 0.667 \rightarrow \textbf{66.7\%}$$

    33% 손실입니다. 게인으로 보상할 수는 있지만, 센서 임피던스가 온도나 개체에 따라 변하면 보정이 불가능해집니다. 버퍼를 넣는 것이 옳습니다.

15. 출력 임피던스와 로딩100 kΩ 소스에 1 m 케이블(100 pF/m)을 연결하면 대역폭은? 10 kHz 신호를 왜곡 없이 보려면 어떻게 해야 합니까?
    풀이

    $$f_c = \frac{1}{2\pi \times 10^5 \times 100\times10^{-12}} = 15.9\ \text{kHz}$$

    10 kHz는 $f_c$ 아래이긴 하지만, −3 dB 지점의 63%에 있어 이미 약 2 dB 감쇠하고 위상(phase)이 32° 지연됩니다. 파형이 눈에 띄게 왜곡됩니다.

    해결 (효과 순):

    1. 소스 옆에 버퍼 → 출력 임피던스 100 Ω이면 $f_c = 16$ MHz ✅ 최선
    2. 케이블을 10 cm로 단축 → $f_c = 159$ kHz ✅
    3. 저용량 케이블 (30 pF/m) → $f_c = 53$ kHz △
    4. 드리븐 실드 → 용량 사실상 무효화 ✅ (복잡)
16. 출력 임피던스와 로딩MCU ADC의 데이터시트에 "권장 소스 임피던스 ≤ 10 kΩ"이라고 되어 있습니다. 왜 이런 제한이 있습니까?
    풀이

    ADC는 내부에 샘플링 커패시터(보통 수 pF ~ 수십 pF)가 있고, 샘플링 순간 이 커패시터를 입력 전압까지 충전해야 합니다.

    충전 시정수는 $\tau = (R_{source} + R_{switch}) \times C_{sample}$ 입니다.

    예: $C_{sample} = 10$ pF, $R_{switch} = 1$ kΩ, $R_{source} = 10$ kΩ

    $$\tau = 11\text{k} \times 10\text{p} = 110\ \text{ns}$$

    12비트 정확도(1/4096)를 얻으려면 약 $9\tau \approx 1\ \mu\text{s}$의 획득 시간(acquisition time)이 필요합니다.

    소스 임피던스가 100 kΩ이면 $\tau = 1.01\ \mu\text{s}$, 필요한 획득 시간은 약 9 µs. 설정된 샘플링 시간이 그보다 짧으면 커패시터가 다 충전되지 않아 측정값이 실제보다 낮게 나옵니다.

    해결: ① 소스 임피던스를 낮춘다 ② 샘플링 시간을 늘린다 ③ ADC 입력 옆에 커패시터(100 nF)를 달아 전하를 공급한다 ④ ADC 드라이버(버퍼)를 넣는다

    자세한 계산 → 10-03 ADC 입력 설계

17. 종속전원과 시험전압법$g_m$ = 5 mS 인 소자의 소스 팔로워 출력 임피던스는? 이 값이 1 nF 부하와 만나면 대역폭은?
    풀이

    $$R_{out} = \frac{1}{g_m} = \frac{1}{0.005} = 200\ \Omega$$

    $$f_{-3\mathrm{dB}} = \frac{1}{2\pi \cdot 200 \cdot 10^{-9}} \approx 796\ \text{kHz}$$

    약 800 kHz. $g_m$ 을 키우면(전류를 더 흘리면) 임피던스가 내려가 대역이
    넓어집니다 — 전력과 속도를 맞바꾸는 것이고, 이것이 아날로그 설계의
    가장 기본적인 저울입니다.

18. 종속전원과 시험전압법이미터에 220 Ω 을 단 증폭기($\beta$ = 100, $I_C$ = 2 mA)의 입력 임피던스는?
    풀이

    $$g_m = \frac{I_C}{V_T} = \frac{0.002}{0.026} = 77\ \text{mS}, \qquad r_\pi = \frac{\beta}{g_m} = \frac{100}{0.077} = 1.3\ \text{k}\Omega$$

    $$R_{in} = r_\pi + (\beta+1)R_E = 1300 + 101 \times 220 = 1300 + 22220 \approx 23.5\ \text{k}\Omega$$

    $R_E$ 없이는 1.3 kΩ 이던 것이 23.5 kΩ 이 됩니다. 18배입니다.

    ⚠️ 대신 이득이 $-g_m R_C$ 에서 $\approx -R_C/R_E$ 로 떨어집니다. $R_C$ = 2.2 kΩ
    이면 169 → 10 입니다.

19. 종속전원과 시험전압법중첩의 원리로 소신호 회로를 풀려는데, 종속전원 $g_m{v}_{\pi }$ 도 "전원이니까" 껐습니다. 무슨 일이 일어납니까?
    풀이

    증폭이 사라집니다. 남는 것은 $r_\pi$·$R_C$ 같은 수동 소자뿐이라 이득이
    0 이 나옵니다.

    중첩은 독립전원을 하나씩 켜는 방법입니다. 종속전원은 입력이 아니라
    소자가 어떻게 행동하는지를 적어 놓은 것 — 회로의 구조 자체입니다.
    이걸 끄는 것은 트랜지스터를 뽑아 놓고 회로를 푸는 것과 같습니다.

    같은 이유로 테브난 저항을 구할 때도 종속전원은 그대로 둡니다. 그래서
    저항 묶기로는 안 되고 시험전압법이 필요한 것입니다.