키르히호프 법칙 (KCL·KVL)

한 줄 요약 — 전하는 사라지지 않고(KCL), 에너지는 한 바퀴 돌면 제자리(KVL). 이 둘이 모든 회로 해석의 기초입니다.

KCL — 전류 법칙

한 노드로 들어가는 전류의 합 = 나오는 전류의 합

\sum I_{in} = \sum I_{out} \qquad\text{또는}\qquad \sum I = 0

기호

I전류currentA

I_in입력 전류input currentA

I_out출력 전류output currentA

왜 성립하는가

전하 보존입니다. 노드는 전하를 저장하지 못하므로(용량이 0), 들어온 만큼 나가야 합니다.

⚠️ 실제 노드에는 기생 용량(parasitic capacitance)기생 용량 parasitic capacitance부품·배선·케이블이 원치 않게 갖는 커패시턴스로, 고임피던스 신호원에서 대역폭을 가장 먼저 잡아먹습니다.자세히 보기 →이 있습니다. 그래서 아주 빠른 과도 현상에서는 순간적으로 KCL이 깨진 것처럼 보입니다 — 정확히는 기생 용량으로 흐르는 변위 전류를 포함하면 여전히 성립합니다. 이것이 11-05 기생 용량의 출발점입니다.

예

노드에 3 mA가 들어오고, 두 갈래로 나갑니다. 한쪽이 1.2 mA면 다른 쪽은?

3 = 1.2 + I_2 \quad\Rightarrow\quad I_2 = 1.8\ \text{mA}

기호

I_22번 전류current 2A

KVL — 전압 법칙

닫힌 루프를 한 바퀴 돌면 전압의 합은 0

\sum V = 0

기호

V전압voltageV

왜 성립하는가

에너지 보존입니다. 전하를 들고 한 바퀴 돌아 제자리에 오면 위치 에너지가 같아야 합니다. 산을 올라갔다 내려와 원위치하면 높이가 같은 것과 동일합니다.

⚠️ 변화하는 자기장이 루프를 관통하면 KVL이 깨집니다 (패러데이 법칙, $\oint E\cdot dl = -d\Phi/dt$ ). 이것이 유도성 결합(inductive coupling)유도성 결합 inductive coupling옆 루프를 흐르는 전류의 자기장이 내 루프에 전압을 만들어 내는 경로로, 저임피던스 회로에서 심합니다.자세히 보기 → 노이즈의 원리입니다 — 회로 루프가 외부 자기장을 받아 전압이 유도됩니다. 그래서 12-05에서 루프 면적(loop area)루프 면적 loop area가는 길과 오는 길이 감싸는 넓이로, 이것이 곧 안테나 크기이므로 좁힐수록 잡음이 줍니다.자세히 보기 →을 최소화하라고 하는 것입니다.

부호 규칙

한 방향(시계 또는 반시계)을 정하고 일관되게 적용합니다.

전압 상승(− → +로 통과): $+V$
전압 강하(+ → −로 통과): $-V$

방향은 아무렇게나 정해도 됩니다. 부호만 일관되면 답은 같습니다.

계산 예제

예제 1 — 단순 직렬 루프

9 V 전원에 1 kΩ과 2 kΩ이 직렬입니다.

KVL (시계 방향):

9 - V_{R1} - V_{R2} = 0

기호

V_R1전압 (R1)voltage (R1)V

V_R2전압 (R2)voltage (R2)V

9 - 1000I - 2000I = 0 \quad\Rightarrow\quad I = 3\ \text{mA}

기호

I전류currentA

$V_{R1} = 3$ V, $V_{R2} = 6$ V. 합이 9 V로 KVL 검산 통과.

예제 2 — 두 전원이 있는 회로

두 전원 회로 (KCL 검산)워크벤치에서 열기 →

중간 노드를 $V_x$ 라 하면, KCL로:

\frac{10-V_x}{1000} = \frac{V_x}{1000} + \frac{V_x-5}{2000}

기호

V_x전압 (x)voltage (x)V

양변에 2000을 곱하면:

2(10-V_x) = 2V_x + (V_x-5)

기호

V_x전압 (x)voltage (x)V

20 - 2V_x = 3V_x - 5

기호

V_x전압 (x)voltage (x)V

25 = 5V_x \quad\Rightarrow\quad V_x = 5\ \text{V}

기호

V_x전압 (x)voltage (x)V

$V_x = 5$ V이므로 $R_3$ 에는 전류가 흐르지 않습니다 ( $V_2$ 와 같은 전압).

검산: $I_{R1} = (10-5)/1000 = 5$ mA, $I_{R2} = 5/1000 = 5$ mA, $I_{R3} = 0$ . KCL 만족 ✅

이것이 사실상 노드 해석(nodal analysis)노드 해석 nodal analysis노드마다 KCL 을 세워 전압을 미지수로 푸는 방법으로, SPICE 가 쓰는 것이 이것입니다.자세히 보기 →입니다 → 02

예제 3 — 접지 전류가 만드는 문제 (KCL의 실전 의미)

측정 회로에서 KCL은 “모든 전류는 반드시 돌아온다”는 뜻입니다.

MCU가 접지로 100 mA를 내보내면, 그 100 mA는 어딘가를 통해 전원으로 돌아가야 합니다. 그 경로가 센서의 기준선과 겹치면, 센서 기준점(fiducial)이 흔들립니다 (0-05).

“이 전류는 어디로 돌아가는가?” 이 질문을 항상 던지는 것이 12-05 리턴 패스의 핵심입니다. KCL이 그 질문의 근거입니다.

시뮬레이션으로 확인

두 전원 회로 (KCL 검산)워크벤치에서 열기 →

# examples/02-circuit-analysis/two-source.yaml
meta:
  name: 두 전원 회로 (KCL 검산)
  lesson: docs/02-circuit-analysis/01-kirchhoff.md
components:
  - {ref: V1, type: vdc, value: 10}
  - {ref: V2, type: vdc, value: 5}
  - {ref: R1, type: r,   value: 1k}
  - {ref: R2, type: r,   value: 1k}
  - {ref: R3, type: r,   value: 2k}
nets:
  N1:  [V1.p, R1.1]
  MID: [R1.2, R2.1, R3.1]
  N2:  [R3.2, V2.p]
  GND: [V1.n, V2.n, R2.2]
analyses:
  - {type: op}
expect:
  - {measure: v, node: MID, value: 5.0,  tol: 0.5%}
  - {measure: i, through: R3, value: 0,  tol: 1u}

해석 절차 (일반화)

노드에 이름을 붙이고 접지를 정합니다
미지수를 정합니다 — 노드 전압(노드 해석) 또는 루프 전류(메시 해석(mesh analysis)메시 해석 mesh analysis닫힌 고리마다 KVL 을 세워 루프 전류를 미지수로 푸는 방법입니다.자세히 보기 →)
방정식을 세웁니다 — 노드마다 KCL, 루프마다 KVL
풉니다
검산합니다 — 다른 법칙으로 확인. 전력 수지가 맞는지도 좋은 검산입니다

💡 미지수 개수 = 방정식 개수여야 풀립니다. 노드 해석은 미지수가 (노드 수 − 1)개, 메시 해석은 (독립 루프 수)개입니다. 어느 쪽이 미지수가 적은지 보고 고르면 계산이 줄어듭니다.

⚖️ 해석법 트레이드오프

방법	✅ 유리한 경우	⚠️ 불리한 경우
노드 해석	전류원이 많음, 노드가 적음, 전압을 알고 싶을 때	부유 전압원(접지에 닿지 않은 전압원)에 슈퍼노드 필요
메시 해석	전압원이 많음, 루프가 적음, 전류를 알고 싶을 때	두 메시가 공유하는 전류원에 슈퍼메시 필요, 평면 회로에만 적용 쉬움
중첩중첩의 원리 superposition선형 회로에서는 전원을 하나씩만 켜고 푼 결과를 더하면 전체 답이 됩니다.자세히 보기 →	전원이 몇 개 안 되고 각각의 기여를 알고 싶을 때	전원이 많으면 계산 폭증, 비선형 소자에 사용 불가
테브난 등가(Thévenin equivalent)	부하를 바꿔가며 볼 때	회로 내부 전류를 알 수 없음

🔌 실제 쓰임새

법칙	측정 회로에서의 의미
KCL	“이 전류는 어디로 돌아가는가” — 리턴 패스(return path)리턴 패스 return path전류가 되돌아가는 길로, 고주파에서는 최단 거리가 아니라 신호 배선 바로 밑을 따라갑니다.자세히 보기 → 설계 (12-05)
KCL	노드에 모이는 누설·바이어스 전류의 합이 옵셋을 만듦 (7-06)
KVL	루프가 자기장을 받아 전압을 유도 → 루프 면적 최소화 (12-05)
KVL	접지 배선(trace)의 전압 강하가 신호에 직렬로 더해짐 (0-05)

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
노드는 전하를 저장 안 함	기생 용량이 있어 과도 상태에서 전류가 잠시 다르게 흐름
루프 전압 합 = 0	변화하는 자기장이 통과하면 유도 전압이 생겨 성립하지 않음
배선은 전압 강하 없음	저항·인덕턴스(inductance)로 전압 강하 발생
노드는 한 점	물리적으로 퍼져 있어 위치마다 전위가 다름

💡 KVL이 깨지는 것이 노이즈의 근원 중 하나라는 점이 실전에서 중요합니다. 회로도에서는 완벽한 루프인데 실제로는 그 루프가 안테나로 동작합니다.

연습문제

문제 1. 한 노드에 5 mA와 3 mA가 들어오고, 2 mA가 나갑니다. 남은 한 가지의 전류는?

exercises/02-01-kcl-node.yaml

풀이

5 + 3 = 2 + I \quad\Rightarrow\quad I = 6\ \text{mA (나가는 방향)}

기호

I전류currentA

문제 2. 12 V 전원에 3 kΩ, 2 kΩ, 1 kΩ이 직렬입니다. 각 저항 양단 전압은?

연습 2-01-2 — 직렬 세 개의 전압 분배워크벤치에서 열기 →

풀이

I = \frac{12}{3000+2000+1000} = 2\ \text{mA}

기호

I전류currentA

$V_1 = 6$ V, $V_2 = 4$ V, $V_3 = 2$ V. 합 12 V ✅

(분압 공식으로도 바로: 전체의 1/2, 1/3, 1/6)

문제 3. 아래 회로에서 $V_x$ 를 구하세요.

직렬 + 병렬 두 갈래워크벤치에서 열기 →

풀이

$R_2$ 와 $R_3$ 가 병렬입니다: $4\text{k}\parallel4\text{k} = 2\ \text{k}\Omega$

분압:

V_x = 12 \times \frac{2000}{2000+2000} = 6\ \text{V}

기호

V_x전압 (x)voltage (x)V

검산 (KCL): $I_{R1} = (12-6)/2000 = 3$ mA. $I_{R2} = I_{R3} = 6/4000 = 1.5$ mA. 합 3 mA ✅

문제 4. 어떤 회로 루프가 20 cm × 10 cm 면적을 갖고, 주변에 60 Hz 자기장 $B = 1\ \mu\text{T}$ 가 수직으로 통과합니다. 유도되는 전압은?

exercises/02-01-loop-pickup.yaml

풀이

패러데이 법칙:

V = \frac{d\Phi}{dt} = A\frac{dB}{dt} = A \cdot B_{peak} \cdot 2\pi f

기호

A이득gain

B대역폭 또는 자속밀도bandwidth or flux density

B_peak대역폭 또는 자속밀도 (peak)bandwidth or flux density (peak)

d거리 또는 두께distance or thicknessm

f주파수frequencyHz

t시간times

V전압voltageV

A = 0.2 \times 0.1 = 0.02\ \text{m}^2

기호

A이득gain

V = 0.02 \times 1\times10^{-6} \times 2\pi \times 60 \approx 7.5\ \mu\text{V (peak)}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

V전압voltageV

약 7.5 µV. 우리가 재려는 ECoG 신호(50 µV)의 15%에 해당합니다!

루프 면적을 1/10로 줄이면(신호선과 리턴선을 나란히 붙이면) 유도 전압도 1/10인 0.75 µV가 됩니다.

이것이 12-05에서 “신호선과 리턴선을 최대한 붙여라”라고 하는 이유의 정량적 근거입니다. 꼬임선(twisted pair)이 효과적인 이유도 같습니다 — 꼬으면 인접 루프의 유도 전압이 서로 상쇄됩니다.

다음 → 02 노드 해석