종속전원과 시험전압법

한 줄 요약 — 트랜지스터도 OP앰프도 소신호로 보면 종속전원 하나입니다. 이걸 다룰 줄 알면 6·7장의 모든 모델이 그냥 회로가 됩니다.

왜 이것부터 배워야 하는가

지금까지 다룬 전원은 전부 독립전원이었습니다 — 5 V 는 회로가 뭘 하든 5 V 입니다. 그런데 증폭 소자는 그렇지 않습니다.

소자	하는 일	등가
BJT·MOSFET	입력 전압 → 출력 전류	전압 제어 전류원 $i = g_m v$
OP앰프	입력 전압 차 → 출력 전압	전압 제어 전압원 $v_o = A v_d$
전류 미러	입력 전류 → 출력 전류	전류 제어 전류원
트랜스임피던스단	입력 전류 → 출력 전압	전류 제어 전압원

증폭이라는 것 자체가 종속전원입니다. 어떤 양이 다른 양을 제어한다는 것 — 그것 말고 증폭에 다른 뜻이 없습니다.

네 종류를 부르는 이름이 있습니다.

이름	제어	출력	계수의 단위
VCVS	전압	전압	무차원 (이득)
VCCS	전압	전류	S (지멘스) — 전달 컨덕턴스전달 컨덕턴스 transconductance입력 전압을 얼마나 큰 출력 전류로 바꾸는지를 나타내며, 증폭기의 이득이 여기서 출발합니다. $g_m = \frac{\partial I_{out}}{\partial V_{in}}$ 자세히 보기 →
CCVS	전류	전압	Ω — 트랜스임피던스
CCCS	전류	전류	무차원 ( $\beta$ )

푸는 법 — 규칙 하나만 더

노드 해석노드 해석 nodal analysis노드마다 KCL 을 세워 전압을 미지수로 푸는 방법으로, SPICE 가 쓰는 것이 이것입니다.자세히 보기 →에 규칙 하나만 더하면 끝납니다.

종속전원을 일단 독립전원처럼 방정식에 넣습니다
그다음 제어량을 노드 전압으로 표현한 식을 하나 더 씁니다

미지수가 하나 늘고 식도 하나 늘어 균형이 맞습니다.

예제 — 이미터 공통 증폭기의 이득

소신호 등가: 입력에 $r_\pi$ , 출력에 $g_m v_\pi$ 인 전류원과 $R_C$ .

출력 노드에 KCL:

g_m v_\pi + \frac{v_o}{R_C} = 0

기호

g_m전달 컨덕턴스transconductanceS

R_C컬렉터 저항collector resistanceΩ

v전압 (순시값)instantaneous voltageV

v_o출력 전압 (순시값)output instantaneous voltageV

제어량은 입력 전압 그 자체이므로 $v_\pi = v_{in}$ .

v_o = -g_m R_C\, v_{in} \quad\Rightarrow\quad A_v = -g_m R_C

기호

A_v전압 이득voltage gain

g_m전달 컨덕턴스transconductanceS

R_C컬렉터 저항collector resistanceΩ

v_in입력 전압 (순시값)input instantaneous voltageV

v_o출력 전압 (순시값)output instantaneous voltageV

마이너스 부호가 여기서 나옵니다 — 전류원이 노드에서 전류를 빼내므로 출력이 내려갑니다. 이미터 공통이미터 공통 common emitter베이스로 넣고 컬렉터에서 빼는 기본 증폭 구조로, 전압 이득이 크지만 신호가 뒤집힙니다.자세히 보기 → 증폭기가 신호를 뒤집는 이유를 회로로 설명한 것이 이 두 줄입니다.

⚠️ 중첩의 원리를 쓸 때 종속전원은 끄지 않습니다. 중첩중첩의 원리 superposition선형 회로에서는 전원을 하나씩만 켜고 푼 결과를 더하면 전체 답이 됩니다.자세히 보기 →은 독립전원을 하나씩 켜는 방법입니다. 종속전원은 회로의 일부(소자의 성질)이지 입력이 아닙니다. 이걸 끄면 트랜지스터를 뽑아 버린 것과 같습니다.

★ 시험전압법 — 임피던스를 구하는 유일한 방법

종속전원이 있으면 저항을 직렬·병렬로 묶어서 임피던스를 구할 수 없습니다. 그럴 때 쓰는 것이 시험전압법입니다.

이것이 테브난 등가테브난 등가 Thévenin equivalent아무리 복잡한 선형 회로도 밖에서 보면 전압원 하나와 저항 하나로 똑같이 행동합니다. $V_{th},\ R_{th}$ 자세히 보기 →의 $R_{th}$ 를 구하는 일반적인 방법이고, 종속전원이 없을 때는 그냥 저항 묶기와 같은 답을 줍니다.

예제 — 소스 팔로워의 출력 임피던스가 왜 $1/g_m$ 인가

소스 팔로워소스 팔로워 source follower전압 이득이 1인데도 쓰는 이유는 높은 임피던스를 낮은 임피던스로 바꿔 주기 때문입니다.자세히 보기 →의 소스에서 본 임피던스를 구합니다. 게이트는 접지(입력을 껐으므로), 소스에 $v_x$ 를 겁니다.

게이트-소스 전압은 $v_{gs} = 0 - v_x = -v_x$ .

소스로 들어가는 전류는 전류원이 뱉는 것의 반대이므로

i_x = -g_m v_{gs} = -g_m(-v_x) = g_m v_x

기호

g_m전달 컨덕턴스transconductanceS

i_x전류 (순시값) (x)instantaneous current (x)A

v_gs전압 (순시값) (gs)instantaneous voltage (gs)V

v_x전압 (순시값) (x)instantaneous voltage (x)V

R_{out} = \frac{v_x}{i_x} = \boxed{\frac{1}{g_m}}

기호

g_m전달 컨덕턴스transconductanceS

i_x전류 (순시값) (x)instantaneous current (x)A

R_out출력 저항output resistanceΩ

v_x전압 (순시값) (x)instantaneous voltage (x)V

저항을 하나도 안 놓았는데 $1/g_m$ 이라는 저항이 나옵니다. $g_m$ = 700 µS 면 1.4 kΩ — 16-01의 픽셀 소스 팔로워가 MΩ 전극을 1.4 kΩ 으로 바꾼다는 말이 이 두 줄에서 나옵니다.

이것이 종속전원의 힘입니다. 제어된 전류가 저항처럼 행동합니다.

전원 변환 — 종속전원에도 됩니다

\text{전압원 } v_s \text{ 직렬 } R \quad\longleftrightarrow\quad \text{전류원 } \frac{v_s}{R} \text{ 병렬 } R

기호

R저항resistanceΩ

v_s신호원 전압 (순시값)source instantaneous voltageV

종속전원에도 그대로 적용됩니다. $g_m v$ 인 전류원에 $r_o$ 가 병렬이면 $g_m r_o v$ 인 전압원에 $r_o$ 가 직렬인 것과 같습니다 — $g_m r_o$ 가 곧 그 소자가 낼 수 있는 최대 전압 이득(고유 이득) 입니다.

계산 예제 — 귀환이 임피던스를 바꾸는 것을 직접 계산

이미터에 저항 $R_E$ 를 단 증폭기의 입력 임피던스를 시험전압법으로 구합니다.

베이스에 $v_x$ 를 걸면, 이미터 전압은 흐르는 전류 때문에 따라 올라갑니다.

i_x = \frac{v_x - v_e}{r_\pi}, \qquad v_e = (\beta+1)\,i_x\,R_E

기호

beta전류 이득 (BJT)current gain

i_x전류 (순시값) (x)instantaneous current (x)A

r저항 (소신호)small-signal resistanceΩ

R_E이미터 저항emitter resistanceΩ

v_e전압 (순시값) (e)instantaneous voltage (e)V

v_x전압 (순시값) (x)instantaneous voltage (x)V

v_x = i_x r_\pi + (\beta+1) i_x R_E \quad\Rightarrow\quad \boxed{R_{in} = r_\pi + (\beta+1)R_E}

기호

beta전류 이득 (BJT)current gain

i_x전류 (순시값) (x)instantaneous current (x)A

r저항 (소신호)small-signal resistanceΩ

R_in입력 저항input resistanceΩ

R_E이미터 저항emitter resistanceΩ

v_x전압 (순시값) (x)instantaneous voltage (x)V

이미터의 저항이 베이스에서는 $(\beta+1)$ 배로 보입니다. $\beta$ = 150, $R_E$ = 100 Ω 이면 15.1 kΩ 이 $r_\pi$ 에 더해집니다.

$r_\pi = \beta/g_m$ 이고 $I_C$ = 1 mA 에서 $g_m$ = 38.5 mS 이므로 $r_\pi = 150/0.0385 = 3.9$ kΩ. 합치면

R_{in} = 3.9\text{k} + 15.1\text{k} = 19\ \text{k}\Omega

기호

R_in입력 저항input resistanceΩ

설계 판단: 신호원이 10 kΩ 이라면 $R_E$ 없이는 3.9 kΩ 이라 신호의 72% 를 잃습니다. $R_E$ 100 Ω 을 넣으면 19 kΩ 이라 34% 만 잃습니다. 대신 이득이 $g_m R_C$ 에서 $R_C/R_E$ 로 떨어집니다 — 임피던스와 이득을 맞바꾼 것이고, 이것이 부귀환이 하는 일의 가장 단순한 형태입니다 (7-08).

시뮬레이션으로 확인

전압 제어 전류원의 출력 임피던스워크벤치에서 열기 →

# examples/02-circuit-analysis/dependent-source.yaml
meta:
  name: 전압 제어 전류원의 출력 임피던스
  lesson: docs/02-circuit-analysis/07-dependent-sources.md
  note: 시험전압 VX 를 걸고 흐르는 전류를 본다. R = VX / I 가 1/gm 에 가까운지
components:
  - {ref: VP, type: vdc, value: 5}
  - {ref: VX, type: vac, value: 1, label: 시험전압}
  - {ref: M1, type: m_nmos, model: 2N7002}
  - {ref: RD, type: r, value: 1k}
  - {ref: VG, type: vdc, value: 2, label: 게이트 바이어스}
nets:
  VCC: [VP.p, RD.1]
  D: [RD.2, M1.d]
  G: [VG.p, M1.g]
  S: [M1.s, VX.p]
  GND: [VP.n, VX.n, VG.n]
analyses:
  - {type: ac, sweep: dec, points: 10, fstart: 10, fstop: 1MEG}

소스에서 본 임피던스가 $1/g_m$ 근처로 나오는지 봅니다. 게이트를 접지에 묶어 두었는데도 저항이 보이는 것이 종속전원의 결과입니다.

⚖️ 트레이드오프 — 어떤 방법으로 풀 것인가

방법	✅ 유리	⚠️ 불리
노드 해석 + 제어식	종속전원이 몇 개든 기계적으로 풀림	손으로 하면 식이 금방 커짐
시험전압법	임피던스는 이것뿐	이득은 못 구함
전원 변환	식을 크게 줄여 줌	어디를 바꿀지 감이 필요
바로 SPICE	실수 없음	왜 그런지 안 남음 — 값을 바꿀 때 감이 없습니다

🔌 실제 쓰임새

6장 전부 — BJT·MOSFET 소신호 모델이 곧 VCCS 입니다 (6-08)
7장 전부 — OP앰프는 VCVS 에 유한한 $A$ 와 출력 저항을 붙인 것입니다
소스 팔로워의 $1/g_m$ — 위 유도가 그것입니다
부귀환의 임피던스 변환 — $(1+T)$ 배가 되는 것을 시험전압법으로 확인할 수 있습니다 (7-08)

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
$g_m$ 이 상수	바이어스 전류에 따라 변합니다 ( $g_m = I_C/V_T$ )
전류원의 출력 임피던스가 ∞	$r_o$ 가 병렬로 있습니다 (얼리 효과)
제어가 즉시	소자 내부 용량 때문에 고주파에서 위상이 밀립니다
소신호 모델이 항상 맞음	작은 신호에서만 맞습니다. 크게 흔들면 비선형이 드러납니다

연습문제

문제 1. $g_m$ = 5 mS 인 소자의 소스 팔로워 출력 임피던스는? 이 값이 1 nF 부하와 만나면 대역폭은?

exercises/02-07-source-follower-zout.yaml

풀이

R_{out} = \frac{1}{g_m} = \frac{1}{0.005} = 200\ \Omega

기호

g_m전달 컨덕턴스transconductanceS

R_out출력 저항output resistanceΩ

f_{-3\mathrm{dB}} = \frac{1}{2\pi \cdot 200 \cdot 10^{-9}} \approx 796\ \text{kHz}

기호

f_-3 주파수 (-3)frequency (-3)Hz

약 800 kHz. $g_m$ 을 키우면(전류를 더 흘리면) 임피던스가 내려가 대역이 넓어집니다 — 전력과 속도를 맞바꾸는 것이고, 이것이 아날로그 설계의 가장 기본적인 저울입니다.

문제 2. 이미터에 220 Ω 을 단 증폭기( $\beta$ = 100, $I_C$ = 2 mA)의 입력 임피던스는?

연습 2-07-2 — 이미터 저항이 입력 임피던스를 β 배로 키운다워크벤치에서 열기 →

풀이

g_m = \frac{I_C}{V_T} = \frac{0.002}{0.026} = 77\ \text{mS}, \qquad r_\pi = \frac{\beta}{g_m} = \frac{100}{0.077} = 1.3\ \text{k}\Omega

기호

beta전류 이득 (BJT)current gain

g_m전달 컨덕턴스transconductanceS

I_C컬렉터 전류collector currentA

r저항 (소신호)small-signal resistanceΩ

V_T열전압 (≈26 mV)thermal voltageV

R_{in} = r_\pi + (\beta+1)R_E = 1300 + 101 \times 220 = 1300 + 22220 \approx 23.5\ \text{k}\Omega

기호

beta전류 이득 (BJT)current gain

r저항 (소신호)small-signal resistanceΩ

R_in입력 저항input resistanceΩ

R_E이미터 저항emitter resistanceΩ

$R_E$ 없이는 1.3 kΩ 이던 것이 23.5 kΩ 이 됩니다. 18배입니다.

⚠️ 대신 이득이 $-g_m R_C$ 에서 $\approx -R_C/R_E$ 로 떨어집니다. $R_C$ = 2.2 kΩ 이면 169 → 10 입니다.

문제 3. 중첩의 원리로 소신호 회로를 풀려는데, 종속전원 $g_m v_\pi$ 도 “전원이니까” 껐습니다. 무슨 일이 일어납니까?

exercises/02-07-killing-dependent.yaml

풀이

증폭이 사라집니다. 남는 것은 $r_\pi$ · $R_C$ 같은 수동 소자뿐이라 이득이 0 이 나옵니다.

중첩은 독립전원을 하나씩 켜는 방법입니다. 종속전원은 입력이 아니라 소자가 어떻게 행동하는지를 적어 놓은 것 — 회로의 구조 자체입니다. 이걸 끄는 것은 트랜지스터를 뽑아 놓고 회로를 푸는 것과 같습니다.

같은 이유로 테브난 저항을 구할 때도 종속전원은 그대로 둡니다. 그래서 저항 묶기로는 안 되고 시험전압법이 필요한 것입니다.

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