중첩의 원리

한 줄 요약 — 전원이 여러 개면 하나씩만 켜서 풀고 더합니다. 선형 회로에서만 성립하며, 노이즈 해석의 기본 도구입니다.

원리

선형 회로에서 여러 전원이 있을 때, 각 전원이 단독으로 만드는 응답의 합이 전체 응답입니다.

V_{total} = V_{(\text{전원1만})} + V_{(\text{전원2만})} + \cdots

기호

V_( )전압 (( ))voltage (( ))V

V_total전체 전압total voltageV

전원을 “끄는” 방법

전원	끄는 법	왜
전압원	단락(short)	이상적 전압원의 내부 저항은 0. 0 V 전압원 = 도선
전류원	개방(open)	이상적 전류원의 내부 저항은 ∞. 0 A 전류원 = 끊어진 선

⚠️ 헷갈리기 쉽습니다. 전압원은 단락, 전류원은 개방입니다.

계산 예제

예제 — 두 전압원

중첩의 원리워크벤치에서 열기 →

① 10 V만 켜기 (5 V를 단락):

$R_2 \parallel R_3 = 2\text{k}\parallel2\text{k} = 1\ \text{k}\Omega$

V_{A1} = 10 \times \frac{1000}{1000+1000} = 5\ \text{V}

기호

V_A1전압 (A1)voltage (A1)V

② 5 V만 켜기 (10 V를 단락):

$R_1 \parallel R_3 = 1\text{k}\parallel2\text{k} = 667\ \Omega$

V_{A2} = 5 \times \frac{667}{2000+667} = 1.25\ \text{V}

기호

V_A2전압 (A2)voltage (A2)V

합:

V_A = 5 + 1.25 = 6.25\ \text{V}

기호

V_A전압 (A)voltage (A)V

검산 (노드 해석(nodal analysis)노드 해석 nodal analysis노드마다 KCL 을 세워 전압을 미지수로 푸는 방법으로, SPICE 가 쓰는 것이 이것입니다.자세히 보기 →):

\frac{V_A-10}{1000}+\frac{V_A-5}{2000}+\frac{V_A}{2000}=0

기호

V_A전압 (A)voltage (A)V

2(V_A-10)+(V_A-5)+V_A=0 \Rightarrow 4V_A = 25 \Rightarrow V_A = 6.25\ \text{V}

기호

V_A전압 (A)voltage (A)V

✅

★ 노이즈 해석에서의 중첩 — 실전 용도

중첩의 진짜 가치는 신호와 노이즈를 따로 계산할 수 있다는 데 있습니다.

측정 회로에서 출력에 나타나는 것은:

V_{out} = \underbrace{A_v \cdot V_{signal}}_{\text{신호}} + \underbrace{A_{n1}\cdot V_{n1} + A_{n2}\cdot V_{n2} + \cdots}_{\text{각 노이즈원의 기여}}

기호

A_n1이득 (n1)gain (n1)

A_n2이득 (n2)gain (n2)

A_v전압 이득voltage gain

V_n1전압 (n1)voltage (n1)V

V_n2전압 (n2)voltage (n2)V

V_out출력 전압output voltageV

V_signal신호 전압signal voltageV

각 노이즈원(저항 열잡음(thermal noise)열잡음 thermal noise모든 저항이 온도 때문에 내는 피할 수 없는 잡음으로, 측정의 바닥을 정합니다. $e_n = \sqrt{4k_BTR}$ 자세히 보기 →, OP앰프 입력 잡음, 전원 리플(ripple)리플 ripple직류가 되다 만 나머지 교류분으로, 평활 커패시터가 얼마나 큰지로 정해집니다. $V_r = \frac{I}{f\,C}$ 자세히 보기 →, 접지 간섭(interference))이 출력에 얼마나 기여하는지 하나씩 계산해서 더합니다. 이것이 13-02 노이즈 예산의 계산 방법입니다.

⚠️ 단, 잡음은 전압이 아니라 전력(제곱)으로 더합니다. 서로 무관한(uncorrelated) 잡음원이므로:
$v_{n,total} = \sqrt{v_{n1}^2 + v_{n2}^2 + \cdots}$
기호
v_n,total잡음 전체 전압 (순시값)noise total instantaneous voltageV
v_n1전압 (순시값) (n1)instantaneous voltage (n1)V
v_n2전압 (순시값) (n2)instantaneous voltage (n2)V

중첩으로 각 기여를 구한 뒤, 마지막에 제곱합의 제곱근(RSS)으로 합칩니다.

예: 두 잡음원

프리앰프 입력에 저항 열잡음 3 µV와 OP앰프 잡음 4 µV가 있으면:

v_{n} = \sqrt{3^2+4^2} = 5\ \mu\text{V}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

v_n잡음 전압 (순시값)noise instantaneous voltageV

7 µV가 아니라 5 µV입니다. 그리고 여기서 중요한 사실:

가장 큰 잡음원이 전체를 지배합니다. 3 µV와 10 µV를 합치면 10.4 µV — 작은 쪽을 아무리 줄여도 소용이 없습니다. 노이즈 예산에서는 가장 큰 항부터 손대야 합니다.

성립하지 않는 경우

중첩은 선형 회로에만 적용됩니다.

성립	성립 안 함
저항, 커패시터(capacitor), 인덕터	다이오드
이상적 전압원·전류원	트랜지스터(대신호)
선형 종속 전원	포화된 OP앰프
선형 영역의 증폭기	곱셈기, 정류기

⚠️ 전력은 중첩되지 않습니다. $P = V^2/R$ 인데 $(V_1+V_2)^2 \neq V_1^2 + V_2^2$ 이기 때문입니다. 전압·전류를 중첩으로 구한 뒤에 전력을 계산해야 합니다.

소신호 근사

트랜지스터(transistor)·다이오드는 비선형이지만, 동작점(operating point)동작점 operating point신호가 없을 때 트랜지스터가 앉아 있는 전압·전류 자리로, 여기가 어긋나면 증폭이 잘려 나갑니다.자세히 보기 → 근처의 작은 변화에 대해서는 선형으로 근사할 수 있습니다. 이것이 소신호 해석(small-signal analysis) 이고, 증폭기 설계의 표준 방법입니다 → 6-03, 7-01

즉 DC 바이어스는 비선형으로 풀고, 신호는 선형(중첩)으로 푼다는 2단계 접근입니다.

시뮬레이션으로 확인

중첩의 원리워크벤치에서 열기 →

# examples/02-circuit-analysis/superposition.yaml
meta:
  name: 중첩의 원리
  lesson: docs/02-circuit-analysis/04-superposition.md
components:
  - {ref: V1, type: vdc, value: 10}
  - {ref: V2, type: vdc, value: 5}
  - {ref: R1, type: r, value: 1k}
  - {ref: R2, type: r, value: 2k}
  - {ref: R3, type: r, value: 2k}
nets:
  N1:  [V1.p, R1.1]
  A:   [R1.2, R2.1, R3.1]
  N2:  [R2.2, V2.p]
  GND: [V1.n, V2.n, R3.2]
analyses:
  - {type: op}
expect:
  - {measure: v, node: A, value: 6.25, tol: 0.5%}

V2를 0 V로 바꾼 파일과 V1을 0 V로 바꾼 파일을 각각 돌리면 5 V와 1.25 V가 나오고, 합이 6.25 V임을 확인할 수 있습니다.

⚖️ 트레이드오프

방법	✅ 유리	⚠️ 불리
중첩	각 전원의 기여를 분리해서 볼 수 있음 — 노이즈 예산의 핵심 도구	전원이 $n$ 개면 회로를 $n$ 번 풀어야 함, 비선형 불가, 전력 계산 불가
노드/메시 해석(mesh analysis)메시 해석 mesh analysis닫힌 고리마다 KVL 을 세워 루프 전류를 미지수로 푸는 방법입니다.자세히 보기 →	한 번에 전부 계산	어느 전원이 얼마나 기여했는지 알 수 없음

“어느 노이즈원이 문제인가”를 알아야 고칠 수 있습니다. 노드 해석은 답을 주지만 원인을 알려주지 않습니다. 중첩은 원인을 알려줍니다.

🔌 실제 쓰임새

용도	설명
노이즈 예산	각 잡음원의 출력 기여를 개별 계산 후 RSS 합산 (13-02)
전원 리플의 영향	전원 노이즈가 출력에 얼마나 새는가 → PSRR (8-06)
공통모드 vs 차동모드	두 입력을 공통 성분과 차동 성분으로 분해 (12-07)
바이어스 + 신호 분리	DC 동작점과 AC 신호를 따로 해석 (6-03)
크로스토크(crosstalk)크로스토크 crosstalk옆 배선의 신호가 용량이나 자기장을 타고 내 신호에 섞여 들어오는 것입니다.자세히 보기 → 분석	인접 채널의 신호가 이 채널에 얼마나 새는가 (16-01)

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
회로가 선형	반도체는 비선형. 신호가 커지면 중첩이 깨짐
전원을 끄면 이상적 단락/개방	실제 전원은 유한한 출력 임피던스(impedance)출력 임피던스 output impedance회로가 부하에 전압을 얼마나 굳건히 유지해 주는지를 나타내는 값으로, 낮을수록 부하에 덜 흔들립니다.자세히 보기 →를 가짐
잡음원이 서로 무관	상관된(correlated) 잡음은 RSS가 아니라 직접 더해야 함 (전원 노이즈가 여러 경로로 들어오는 경우)

💡 상관 잡음의 예: 같은 전원 리플이 두 채널에 동시에 들어오면 서로 상관되어 있으므로 RSS가 아니라 그냥 더해집니다. 대신 차동으로 측정하면 상쇄됩니다. 상관된 잡음은 나쁘게 작용할 수도, 좋게 작용할 수도 있습니다.

연습문제

문제 1. 5 V 전원과 2 mA 전류원이 있는 회로에서 중첩을 쓸 때, 전류원만 볼 때 전압원은 어떻게 처리합니까?

연습 2-04-1 — 전압원은 단락, 전류원은 개방워크벤치에서 열기 →

풀이

단락(short) 합니다. 전압원 자리를 도선으로 대체합니다.

반대로 전압원만 볼 때는 전류원을 개방(open) 합니다.

문제 2. 어떤 증폭기 출력에 세 개의 잡음 기여가 있습니다: 저항 열잡음 2 µV, OP앰프 전압잡음 8 µV, 전원 리플 기여 3 µV. 전체 잡음은? 그리고 저항을 절반으로 줄여 열잡음을 1.4 µV로 낮추면 전체는 얼마나 개선됩니까?

exercises/02-04-noise-rss.yaml

풀이

현재:

v_n = \sqrt{2^2+8^2+3^2} = \sqrt{4+64+9} = \sqrt{77} \approx 8.77\ \mu\text{V}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

v_n잡음 전압 (실효값)noise voltage (rms)V

저항 개선 후:

v_n = \sqrt{1.4^2+8^2+3^2} = \sqrt{1.96+64+9} = \sqrt{74.96} \approx 8.66\ \mu\text{V}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

v_n잡음 전압 (실효값)noise voltage (rms)V

개선폭은 1.3%로 거의 없습니다.

이유: OP앰프 잡음 8 µV가 지배적이기 때문입니다. 저항을 아무리 줄여도 소용없고, 더 낮은 잡음의 OP앰프로 바꿔야 합니다.

이것이 노이즈 예산 계산을 먼저 해야 하는 이유입니다. 계산 없이 감으로 개선하면 엉뚱한 곳에 노력을 씁니다. → 13-02

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