테브난·노턴 등가

한 줄 요약 — 아무리 복잡한 선형 회로도 밖에서 보면 전압원 하나 + 저항 하나입니다. 이 단순화가 측정 회로 설계의 언어입니다.

테브난 등가

두 단자에서 본 선형 회로는 전압원 $V_{th}$와 직렬 저항 $R_{th}$ 로 완전히 대체할 수 있습니다.

테브난 정리: 두 단자에서 밖을 볼 때, 안이 아무리 복잡해도 전압원 하나 + 저항 하나와 구별할 수 없습니다.

구하는 법

$R_{th}$를 구하는 다른 방법:

(개방 전압 ÷ 단락 전류)

⚠️ 종속 전원종속 전원종속전원 dependent source다른 곳의 전압이나 전류가 제어하는 전원으로, 모든 증폭 소자의 소신호 모델이 이것 하나입니다.자세히 보기 →이 있으면 전원을 끌 수 없습니다. 이때는 단자에 시험 전압 $V_t$를 걸고 흐르는 전류 $I_t$를 구해 $R_{th} = V_t/I_t$로 계산합니다.

노턴 등가

같은 회로를 전류원 $I_N$ + 병렬 저항 $R_N$ 으로 표현한 것입니다.

테브난과 노턴은 언제나 서로 변환됩니다. 어느 쪽이 계산에 편한지로 고릅니다 — 직렬 연결이면 테브난, 병렬 연결이면 노턴이 편합니다.

계산 예제

예제 1 — 분압기(voltage divider)의 테브난 등가 (가장 중요한 예)

$V_{in}=5$ V, $R_1=R_2=10\ \text{k}\Omega$ 분압기.

$V_{th}$ (개방 전압):

$R_{th}$ (전원 단락 후 본 저항): 전원을 단락하면 $R_1$과 $R_2$가 병렬이 됩니다.

즉 이 분압기는 “2.5 V 전원 + 5 kΩ 직렬 저항”과 완전히 같습니다.

이제 1-04의 부하 효과가 한 줄로 설명됩니다. 부하 $R_L$을 달면 그냥 2.5 V와 5 kΩ, $R_L$의 분압입니다:

$R_L = 10\ \text{k}$: $\ 2.5\times\frac{10}{15} = 1.667$ V ✅ (앞 장의 표와 일치)

💡 테브난 등가(Thévenin equivalent)를 구하면 부하 효과를 매번 다시 계산할 필요가 없습니다. 이것이 테브난의 실용적 가치입니다.

예제 2 — 전극(electrode)의 테브난 등가

전극에서 나오는 신호를 회로로 볼 때:

이 등가회로가 16-01 설계의 출발점입니다. $R_{th} = 1$ MΩ이라는 사실 하나가 이후 모든 설계 판단을 규정합니다:

• 배선(trace) 기생 용량(parasitic capacitance)기생 용량(parasitic capacitance)기생 용량 parasitic capacitance부품·배선·케이블이 원치 않게 갖는 커패시턴스로, 고임피던스 신호원에서 대역폭을 가장 먼저 잡아먹습니다.자세히 보기 → 20 pF과 만나면 대역폭 8 kHz (1-04 문제 3)
• 열잡음(thermal noise)열잡음(thermal noise)열잡음 thermal noise모든 저항이 온도 때문에 내는 피할 수 없는 잡음으로, 측정의 바닥을 정합니다.$$e_n = \sqrt{4k_BTR}$$자세히 보기 → 12.9 nV/√Hz × √R… 실제로는 $\sqrt{4kTR}$ = 128 nV/√Hz
• 입력 바이어스 전류(input bias current)입력 바이어스 전류(input bias current)입력 바이어스 전류 input bias currentOP앰프 입력이 스스로 빨아들이는 작은 전류로, 고임피던스 신호원에서는 이것이 곧 오프셋 전압이 됩니다.$$\Delta V = I_B R_{source}$$자세히 보기 → 1 nA면 1 mV 옵셋

세 가지 문제가 전부 $R_{th}$ 하나에서 나옵니다. 그래서 첫 단에서 임피던스(impedance)임피던스(impedance)임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다.$$Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$$자세히 보기 →를 낮추는 것(소스 팔로워(source follower)소스 팔로워(source follower)소스 팔로워 source follower전압 이득이 1인데도 쓰는 이유는 높은 임피던스를 낮은 임피던스로 바꿔 주기 때문입니다.자세히 보기 →)이 최우선 과제가 됩니다.

★ 최대 전력 전달 정리

부하 $R_L$에 전달되는 전력이 최대가 되는 조건은:

이때 전달 전력은

이고, 효율은 50% 입니다 (절반은 $R_{th}$에서 소비).

⚠️ 그런데 측정 회로에서는 이렇게 하면 안 됩니다

최대 전력 전달은 전력을 최대로 뽑고 싶을 때의 조건입니다. RF, 안테나, 오디오 파워 앰프에서는 중요합니다.

측정 회로에서는 정반대로 갑니다:

측정에서는 신호원에서 전력을 뽑는 것이 목적이 아니라 전압을 정확히 읽는 것이 목적입니다. 그래서 $R_L$을 최대한 크게 만듭니다. 이것이 “입력 임피던스는 높을수록 좋다”의 근거입니다 → 13-03

💡 RF에서는 임피던스 정합(50 Ω)이 필수인데 오디오·계측에서는 “브리징”(고임피던스 입력)을 쓰는 이유가 이 차이입니다. 무엇을 최대화하려는지가 다릅니다.

시뮬레이션으로 확인

# examples/02-circuit-analysis/thevenin.yaml
meta:
  name: 테브난 등가 검증
  lesson: docs/02-circuit-analysis/05-thevenin-norton.md
  note: 원래 회로와 등가 회로가 같은 부하에서 같은 출력을 내는지 확인
components:
  - {ref: V1, type: vdc, value: 5}
  - {ref: R1, type: r, value: 10k}
  - {ref: R2, type: r, value: 10k}
  - {ref: RL, type: r, value: 10k}
nets:
  VIN: [V1.p, R1.1]
  OUT: [R1.2, R2.1, RL.1]
  GND: [V1.n, R2.2, RL.2]
analyses:
  - {type: op}
expect:
  - {measure: v, node: OUT, value: 1.667, tol: 0.5%}

등가 회로(thevenin-equivalent.yaml: 2.5 V 전원 + 5 kΩ + 10 kΩ 부하)를 돌리면 똑같이 1.667 V가 나옵니다.

⚖️ 부품 트레이드오프 — 출력 임피던스를 낮추는 방법

🔌 실제 쓰임새

⚠️ 이상과 실제의 차이

전극 임피던스는 주파수에 따라 변합니다

전극은 저항 하나가 아니라 Randles 모델로 표현합니다:

저주파에서는 $C_{dl}$의 임피던스가 커서 전체 임피던스가 매우 높고, 고주파에서는 $R_s$에 수렴합니다. 그래서 “전극 임피던스 1 MΩ”이라는 말은 “1 kHz에서”처럼 주파수를 함께 말해야 의미가 있습니다.

이 모델은 16-00 방법론 1단계에서 자세히 다룹니다.

연습문제

문제 1. $R_1=1\text{k}$, $R_2=3\text{k}$인 분압기에 12 V를 걸었습니다. 테브난 등가는?

문제 2. 위 회로에 1 kΩ 부하를 달면 출력 전압은?

exercises/02-05-thevenin-loaded.yaml

문제 3. 전극 임피던스가 1 kHz에서 500 kΩ입니다. 이 신호를 입력 임피던스 10 MΩ, 입력 용량 5 pF인 증폭기로 받습니다. (a) DC 감쇠율은? (b) 대역폭은? (c) 소스 팔로워로 출력 임피던스를 1 kΩ으로 낮추면 대역폭은?

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