4장. 교류와 주파수 영역

연습문제

인쇄하면 답이 접힌 채로 나옵니다 — 그대로 문제지가 됩니다. 위의 “답도 함께 인쇄” 를 켜면 풀이까지 펴서 나옵니다.

1. 정현파와 RMS오실로스코프에서 $V_{pp}=2$ V인 정현파를 봤습니다. RMS는?
   풀이

   $$V_p = 1\ \text{V}, \qquad V_{rms} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707\ \text{V}$$

2. 정현파와 RMS잡음 밀도 8 nV/√Hz인 증폭기를 대역폭 1 kHz(1차 RC 필터)로 제한했습니다. 출력 잡음(rms)은?
   풀이

   잡음 등가 대역폭:

   $$\Delta f_n = 1.57 \times 1000 = 1570\ \text{Hz}$$

   $$v_n = 8\times10^{-9}\times\sqrt{1570} \approx 8\times10^{-9}\times39.6 = 317\ \text{nV} = 0.317\ \mu\text{V}$$

   약 0.32 µV(rms). 피크로는 3σ 기준 약 0.95 µV까지 나타납니다.

3. 정현파와 RMS50 µV(rms) 신호를 12비트 ADC(입력 범위 ±1 V)로 읽습니다. 잡음 피크 여유를 4σ로 잡을 때, 필요한 게인과 그때의 잡음 요구사항은?
   풀이

   게인: 신호를 ADC 범위에 맞춥니다. 신호 피크를 rms의 4배(생체 신호는 버스트가 있음)로 보고 200 µV(peak)라 하면, 여유를 두어 ±0.5 V를 목표로:

   $$G = \frac{0.5\ \text{V}}{200\ \mu\text{V}} = 2500\ \text{배} \ (68\ \text{dB})$$

   ADC 분해능(resolution): 12비트, ±1 V → LSB = $2/4096 = 488\ \mu\text{V}$

   입력 환산으로는 $488\mu\text{V}/2500 = 0.195\ \mu\text{V}$

   잡음 요구사항: 입력 환산 잡음(input-referred noise)이 ADC의 LSB보다 작아야 ADC 분해능이 의미가 있습니다.

   $$v_{n,input} < 0.195\ \mu\text{V (rms)}$$

   즉 입력 환산 잡음 0.2 µV(rms) 이하가 목표입니다. 대역폭 5 kHz(잡음 대역 7.85 kHz) 기준:

   $$e_n < \frac{0.195\times10^{-6}}{\sqrt{7850}} \approx 2.2\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}$$

   2.2 nV/√Hz 이하의 초저잡음 증폭기가 필요합니다. 그리고 1-05에서 봤듯 소스 저항이 300 Ω만 넘어도 저항 열잡음만으로 이 한계에 걸립니다 — 전극 임피던스가 MΩ급이면 애초에 불가능합니다.

   그래서 목표를 현실적으로 재설정해야 합니다. 전극(electrode) 임피던스(impedance)가 정해져 있으면 열잡음이 바닥을 정하고, 그 바닥에 맞춰 ADC 분해능과 대역폭을 정하는 것이 올바른 순서입니다. 이 역산 과정이 16-00 방법론 3단계입니다.

4. 페이저와 복소 임피던스10 nF 커패시터의 1 kHz, 100 kHz에서의 임피던스는?
   풀이

   $$|Z_C| = \frac{1}{2\pi fC}$$

   1 kHz: $\frac{1}{2\pi\times10^3\times10^{-8}} \approx 15.9\ \text{k}\Omega$

   100 kHz: $\frac{1}{2\pi\times10^5\times10^{-8}} \approx 159\ \Omega$

   주파수가 100배면 임피던스는 1/100.

5. 페이저와 복소 임피던스$R=10\text{k}\Omega$과 $C=1\text{nF}$ 직렬. 차단주파수와 그 지점의 위상은?
   풀이

   $$f_c = \frac{1}{2\pi RC} = \frac{1}{2\pi\times10^4\times10^{-9}} \approx 15.9\ \text{kHz}$$

   차단주파수에서 $|Z_R| = |Z_C| = 10\ \text{k}\Omega$이므로

   $$Z = 10\text{k} - j10\text{k}, \qquad \theta = -45°$$

6. 페이저와 복소 임피던스전극 임피던스가 1 kHz에서 200 kΩ, 10 Hz에서 5 MΩ입니다. 입력 바이어스 전류 10 pA인 증폭기를 쓰면 각 주파수에서의 옵셋 오차는? 그리고 이것이 왜 중요합니까?
   풀이

   바이어스 전류가 만드는 DC 옵셋은 DC 임피던스(가장 낮은 주파수 극한)에 비례합니다. 10 Hz 값으로 근사하면:

   $$\Delta V = 10\times10^{-12} \times 5\times10^{6} = 50\ \mu\text{V}$$

   50 µV의 DC 옵셋. ECoG 신호 자체와 같은 크기입니다!

   왜 중요한가:

   1. 이 옵셋이 게인 1000배 증폭되면 50 mV가 되어 출력 레인지를 잡아먹습니다
   2. 채널마다 전극 임피던스가 다르면 채널별로 옵셋이 달라 보정이 어렵습니다
   3. 전극 임피던스가 시간에 따라 변하면 옵셋이 드리프트합니다

   해결:

   • 바이어스 전류가 더 낮은 소자 (fA급 CMOS 입력)
   • AC 커플링으로 DC 옵셋 차단 (3-01)
   • DC 서보 루프로 능동 제거 (13-05)

   이 문제가 생체 측정 프론트엔드 설계에서 가장 골치 아픈 부분 중 하나입니다.

7. 주파수 응답과 필터$f_c=1$ kHz인 저역통과 RC를 만드세요. $C=10$ nF일 때 R은?
   풀이

   $$R = \frac{1}{2\pi f_c C} = \frac{1}{2\pi\times1000\times10^{-8}} \approx 15.9\ \text{k}\Omega$$

   E24에서 16 kΩ을 씁니다. ($f_c = 995$ Hz)

8. 주파수 응답과 필터1차 LPF ($f_c=1$ kHz)가 10 kHz에서 감쇠하는 양은?
   풀이

   $10f_c$이므로 −20 dB/decade에서 −20 dB (1/10 진폭).

   정확히는:

   $$|H| = \frac{1}{\sqrt{1+10^2}} = \frac{1}{\sqrt{101}} \approx 0.0995 \rightarrow -20.04\ \text{dB}$$

9. 주파수 응답과 필터신경 스파이크(폭 ~1 ms, 300 Hz~5 kHz)를 측정합니다. 4차 버터워스 LPF(5 kHz)와 4차 베셀 LPF(5 kHz) 중 어느 것을 써야 하고, 왜입니까?
   풀이

   베셀을 써야 합니다.

   이유: 스파이크는 넓은 주파수 대역에 걸친 성분들이 특정 위상 관계로 합쳐진 파형입니다. 필터의 군지연(group delay)이 주파수에 따라 다르면 각 성분이 다른 시간에 도착해 파형 모양이 변형됩니다.

   • 버터워스 4차: 통과대역 이득은 평탄하지만 군지연이 주파수에 따라 크게 변함 → 스파이크에 링잉(ringing) 이 생기고 폭이 넓어짐
   • 베셀 4차: 군지연이 평탄 → 파형 모양이 보존됨. 대신 차단이 완만해서 5 kHz 위 감쇠가 버터워스보다 약함

   실무적 함의: 스파이크 분류(spike sorting)는 파형 모양으로 뉴런을 구분하므로, 필터가 파형을 왜곡하면 분류 정확도가 떨어집니다.

   보완: 베셀의 완만한 차단이 걱정되면 오버샘플링으로 보완합니다. 샘플링률을 높이면 아날로그 필터의 부담이 줄고, 디지털에서 원하는 특성(선형 위상 FIR)으로 다시 필터링할 수 있습니다.

10. dB와 보드선도전압 이득이 250배입니다. dB로는?
    풀이

    $$20\log_{10}250 = 20 \times 2.398 \approx 48\ \text{dB}$$

    암산: 250 = 2 × 125 ≈ 2 × 128 = 2 × 2⁷ = 2⁸ → 8 × 6 dB = 48 dB ✅

11. dB와 보드선도GBW 5 MHz OP앰프로 이득 200배 증폭기를 만들면 대역폭은? 5 kHz 신호에 충분합니까?
    풀이

    $$f_{-3dB} = \frac{5\ \text{MHz}}{200} = 25\ \text{kHz}$$

    5 kHz 신호에는 충분해 보이지만, −3 dB 지점의 1/5이라 이미 위상이 11° 지연되고 이득도 약간 떨어집니다. 파형 충실도가 중요하면 여유가 부족합니다.

    권장: 신호 대역의 최소 10배, 파형 보존이 중요하면 20~50배의 대역폭을 확보하세요. 5 kHz라면 50~250 kHz 대역폭 → 이득을 100배 이하로 낮추거나 GBW가 더 큰 OP앰프를 씁니다.

12. dB와 보드선도86 dB의 총 게인이 필요합니다. GBW 10 MHz OP앰프로 최소 200 kHz 대역폭을 확보하려면 몇 단이 필요합니까?
    풀이

    각 단의 최대 이득 (대역폭 200 kHz 확보):

    $$G_{stage} \leq \frac{10\ \text{MHz}}{200\ \text{kHz}} = 50\ \text{배} = 34\ \text{dB}$$

    필요 단수:

    $$n \geq \frac{86\ \text{dB}}{34\ \text{dB}} = 2.5 \rightarrow \textbf{3단}$$

    3단, 각 28.7 dB(27배) 로 설계합니다. 각 단 대역폭은 $10\text{MHz}/27 = 370$ kHz.

    ⚠️ 다단의 대역폭 축소 효과: $n$개의 동일한 1차 단을 직렬로 연결하면 전체 −3 dB 대역폭이 줄어듭니다.

    $$f_{total} = f_{stage}\sqrt{2^{1/n}-1}$$
    $n=3$: $f_{total} = 370\text{kHz}\times0.51 = 189$ kHz

    거의 목표에 맞습니다. 여유를 두려면 각 단 게인을 조금 낮추거나 4단으로 갑니다.

13. 공진과 Q$L=100\mu \text{H}$, $C=100\text{nF}$의 공진 주파수는?
    풀이

    $$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-4}\times10^{-7}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-11}}} = \frac{1}{2\pi\times3.16\times10^{-6}} \approx 50.3\ \text{kHz}$$

14. 공진과 Q10 µF 커패시터의 ESL이 2 nH입니다. 자기공진 주파수는? 그리고 10 MHz 노이즈에 대한 임피던스는?
    풀이

    $$f_{SRF} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2\times10^{-9}\times10^{-5}}} = \frac{1}{2\pi\times1.41\times10^{-7}} \approx 1.13\ \text{MHz}$$

    10 MHz는 SRF보다 훨씬 위이므로 인덕터로 동작합니다:

    $$|Z| = 2\pi \times 10^7 \times 2\times10^{-9} \approx 0.126\ \Omega$$

    이상적 커패시터라면 $1/(2\pi\times10^7\times10^{-5}) = 0.0016\ \Omega$이어야 하므로 79배 나쁩니다.

    따라서 10 MHz 노이즈를 잡으려면 10 µF으로는 안 되고, SRF가 더 높은 작은 커패시터(100 nF, SRF ~30 MHz)가 필요합니다.

15. 공진과 Q저잡음 아날로그 전원에 페라이트 비드(2.2 µH) + 22 µF 커패시터로 필터를 만들었습니다. 공진 주파수와 위험성은? 어떻게 개선합니까?
    풀이

    $$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.2\times10^{-6}\times22\times10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\times6.96\times10^{-6}} \approx 22.9\ \text{kHz}$$

    위험: 스위칭 레귤레이터의 리플이나 부하 과도가 이 주파수 근처에 있으면, Q가 높은 경우 노이즈가 오히려 증폭됩니다. 세라믹 커패시터는 ESR이 매우 낮아(수 mΩ) Q가 수십에 달할 수 있습니다.

    $$Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{0.01}\sqrt{\frac{2.2\times10^{-6}}{22\times10^{-6}}} = 100\times0.316 = 31.6$$

    Q ≈ 32 → 공진에서 30 dB 증폭. 심각합니다.

    개선 방법:

    1. 댐핑 저항 직렬 삽입 — 1~3 Ω. 단, DC 전압 강하 발생 (100 mA면 0.1~0.3 V)
    2. RC 댐핑 네트워크 병렬 — 커패시터에 직렬 RC(예: 1 Ω + 100 µF)를 병렬로. DC 손실 없이 공진만 댐핑 ← 권장
    3. ESR이 있는 커패시터 사용 — 폴리머나 전해를 세라믹과 병렬로
    4. 비드를 손실이 큰 것으로 — 공진 주파수 대역에서 저항 성분이 큰 비드 선택

    자세한 전원 필터 설계 → 16-03 저잡음 전원

16. s영역과 전달함수$H(s)=\frac{100}{s+100}$ 의 차단 주파수와 시정수는?
    풀이

    극점 $s = -100$ rad/s.

    $$\tau = \frac{1}{100} = 10\ \text{ms}, \qquad f_c = \frac{100}{2\pi} \approx 15.9\ \text{Hz}$$

17. s영역과 전달함수$H(s)=\frac{s}{s+{\omega }_c}$ 는 어떤 필터입니까?
    풀이

    원점에 영점, $-\omega_c$ 에 극점.

    • $s \to 0$ (DC): $H \to 0$ — DC를 막습니다
    • $s \to \infty$: $H \to 1$ — 고주파는 통과

    고역통과 필터입니다. AC 커플링이 이 꼴이고, 전극의 DC 오프셋을 막는 데
    씁니다 (13-05).

18. s영역과 전달함수어떤 증폭기의 개루프 이득이 DC에서 $10^5$ 이고 극점이 10 Hz에 하나 있습니다. GBW는 얼마이고, 이득 100으로 쓰면 대역폭은?
    풀이

    $$H(s) = \frac{10^5}{1+s/(2\pi\times10)}$$

    이득이 1이 되는 주파수:

    $$\mathrm{GBW} = 10^5 \times 10\ \text{Hz} = 1\ \text{MHz}$$

    GBW는 상수이므로 이득 100에서

    $$f_{-3\mathrm{dB}} = \frac{10^6}{100} = 10\ \text{kHz}$$

    극점이 하나뿐이므로 위상 지연이 최대 −90° 이고, 그래서 이 증폭기는
    어떤 이득으로 써도 발진하지 않습니다. OP앰프 안에 일부러 큰 커패시터를 넣어
    극점을 낮게 만드는(지배극 보상) 이유가 이것입니다.

19. s영역과 전달함수7-07은 용량성 부하에 직렬 저항 $R_{iso}$ 를 넣으라고 합니다. $R_{iso}$ 가 극점과 영점을 각각 어디에 만드는지 쓰고, 왜 안정성이 좋아지는지 설명하세요.
    풀이

    OP앰프 출력 저항 $R_o$, 직렬 $R_{iso}$, 부하 $C_L$ 일 때 부하가 보는
    임피던스는

    $$Z(s) = R_o + \frac{R_{iso} + 1/sC_L \cdot 0}{\;} \;\longrightarrow\; H_{load}(s) = \frac{1+sR_{iso}C_L}{1+s(R_o+R_{iso})C_L}$$

    • 영점: $f_z = \dfrac{1}{2\pi R_{iso}C_L}$
    • 극점: $f_p = \dfrac{1}{2\pi (R_o+R_{iso})C_L}$

    $R_{iso} > 0$ 이면 영점이 항상 극점보다 높은 주파수에 있습니다.

    극점이 −90° 를 깎은 뒤 영점이 +90° 를 되돌리므로, 두 주파수 사이에서만
    위상이 내려갔다가 회복합니다. 루프 이득이 1이 되는 지점이 영점 위에
    오도록 $R_{iso}$ 를 잡으면 위상 여유가 살아납니다.

    대가는 $R_{iso}$ 가 피드백 루프 밖에 있다는 것입니다 — 부하 전류가
    흐르면 $R_{iso}$ 에서 전압이 떨어지고, 그만큼 DC 정확도를 잃습니다.

20. 2차 시스템 — 오버슈트와 정착 시간$\zeta =0.5$ 인 회로의 오버슈트는?
    풀이

    $$M_p = e^{-\pi(0.5)/\sqrt{1-0.25}} = e^{-1.5708/0.866} = e^{-1.814} \approx 0.163$$

    약 16%.

21. 2차 시스템 — 오버슈트와 정착 시간오버슈트를 2% 이하로 만들려면 위상 여유가 최소 얼마여야 합니까?
    풀이

    $$0.02 = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \;\Rightarrow\; \frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 3.91$$

    풀면 $\zeta \approx 0.78$. 근사식 $\zeta \approx \mathrm{PM}/100$ 에서

    PM ≈ 78° 이상.

    실무에서 "PM 60°면 충분"이라고들 하지만, 그것은 오버슈트 9%를 받아들인다는
    뜻입니다. 정밀 측정에서 2%를 요구하면 훨씬 보수적으로 잡아야 합니다.

22. 2차 시스템 — 오버슈트와 정착 시간12비트 ADC 앞단이 $\tau =1\mu$s 인 1차 회로일 때 필요한 정착 시간을 구하고, 같은 대역폭의 2차 회로($\zeta =0.3$)로 바꾸면 왜 더 오래 걸리는지 설명하세요.
    풀이

    1차:

    $$t_s = 0.693(12+1)\times1\ \mu\text{s} = 9.0\ \mu\text{s}$$

    2차 ($\zeta = 0.3$): 포락선의 시정수는 $1/\zeta\omega_n$ 입니다. 같은
    $-3$ dB 대역폭을 유지하려면 $\omega_n$ 이 커지지만, $\zeta$ 가 작아 포락선
    자체는 크게 빨라지지 않습니다.

    더 중요한 것은 오버슈트 37% 라는 점입니다. 12비트 정착 창은 최종값의
    $\pm0.012\%$ 인데, 응답이 그 창을 위아래로 여러 번 통과한 뒤에야
    머무릅니다. 창 안에 "들어왔다"가 아니라 "들어와서 머문다"가 조건이므로,
    울림이 충분히 잦아들 때까지 기다려야 합니다.

    결론: 정착이 중요한 자리에서는 대역폭을 넓히는 것보다 $\zeta$ 를
    0.7~0.8로 맞추는 것이 먼저입니다.

23. 2차 시스템 — 오버슈트와 정착 시간어떤 LDO가 $C_{out}$ 의 ESR이 너무 낮으면 발진한다고 데이터시트에 적혀 있습니다. ESR이 왜 안정성에 도움이 되는지 이 문서의 언어로 설명하세요.
    풀이

    LDO는 부귀환 루프이고, 출력 커패시터가 그 루프 안에 있습니다.
    $C_{out}$ 은 극점을 만들어 위상을 −90° 더 깎습니다. 패스 소자의 극점과
    합쳐지면 위상이 −180°에 닿아 $\zeta \to 0$ 이 됩니다.

    ESR은 커패시터와 직렬이므로 임피던스가 $\mathrm{ESR} + 1/j\omega C$ 이고,
    $f = 1/(2\pi\,\mathrm{ESR}\,C)$ 에서 영점을 만듭니다. 영점은 위상을 +90°
    되돌려 주므로, 이 영점을 교차 주파수 근처에 두면 PM이 회복됩니다.

    그래서 데이터시트가 "ESR 0.1~2 Ω" 같은 범위를 주는 것입니다 — 너무 낮으면
    영점이 너무 높은 주파수에 있어 도움이 안 되고, 너무 높으면 리플이 커집니다.

    세라믹 커패시터는 ESR이 수 mΩ 이라 옛날 LDO에서 발진했고, 요즘 "세라믹
    안정(ceramic-stable)" LDO는 내부에서 보상을 따로 해 이 문제를 없앤 것입니다
    (8-02).

24. 필터 근사 — 버터워스·베셀·체비셰프심전도 프론트엔드의 저역통과(150 Hz)를 설계합니다. 버터워스와 베셀 중 어느 것을 쓰겠습니까?
    풀이

    베셀입니다.

    심전도에서 판단 근거는 파형의 모양입니다 — QRS 폭, ST 분절의 높이, T 파의 대칭성. 이것들은 여러 주파수 성분의 상대적 시간 관계로 정해집니다.

    	통과대역 군지연 변화	QRS 에 미치는 영향
    버터워스	±20 %	고주파 성분이 늦게 도착 → QRS 가 퍼지고 비대칭
    베셀	±1 %	통째로 지연될 뿐 모양 유지

    대가: 베셀은 차단이 무릅니다. 150 Hz 에서 −3 dB 를 맞추면 300 Hz 에서 버터워스보다 몇 dB 덜 감쇠합니다.

    벌충: 차수를 하나 올립니다. 4차 베셀이 2차 버터워스보다 급준하면서도 군지연이 평탄합니다. 부품이 늘지만 파형을 지키는 값입니다.

    실제 심전도 규격(AAMI EC11)이 저역통과의 위상 응답을 규정하는 이유가 이것입니다.

25. 필터 근사 — 버터워스·베셀·체비셰프4차 버터워스를 살렌-키 두 단으로 만듭니다. Q 0.541 단과 Q 1.31 단 중 어느 것을 앞에 두겠습니까?
    풀이

    Q 가 낮은 단(0.541)을 앞에 둡니다.

    왜:

    Q 1.31 단은 차단 근처에서 피킹이 있습니다.

    $$|H|_{peak} = \frac{Q}{\sqrt{1 - 1/4Q^2}} = \frac{1.31}{\sqrt{1-0.146}} = 1.42 \quad(+3.0\ \text{dB})$$

    그 단을 앞에 두면 차단 근처의 큰 신호가 3 dB 더 커진 채로 뒷단에 들어갑니다. 그러면

    문제	왜
    포화	출력 범위를 먼저 넘음
    슬루레이트	큰 진폭이 빠르게 변함
    왜곡	위 둘의 결과

    Q 가 낮은 단을 먼저 두면 그 성분이 이미 줄어든 뒤 고Q 단에 들어갑니다.

    반대 논리도 있습니다 — 잡음.

    고Q 단이 뒤에 있으면 그 단의 잡음이 앞단 이득으로 안 나눠집니다. 하지만 필터의 이득은 대개 1 이라 잡음 지수의 캐스케이드 관점에서 큰 차이가 없고, 포화 쪽 위험이 훨씬 큽니다.

    결론: 낮은 Q 먼저. 신호가 큰 경우일수록 확실합니다.

26. 필터 근사 — 버터워스·베셀·체비셰프체비셰프 1 dB 4차 필터를 5 % 저항으로 만들었더니 통과대역 리플이 2.5 dB 나왔습니다. 왜?
    풀이

    Q 가 부품 오차에 민감하기 때문입니다.

    살렌-키에서 $Q \propto \sqrt{C_1/C_2}$ 이고, 저항 비도 함께 들어갑니다. 부품이 각각 5 % 틀리면 Q 는 RSS 로 약 7 % 흔들립니다.

    리플은 Q 에 훨씬 민감합니다.

    4차 체비셰프 1 dB 의 두 번째 단은 Q ≈ 3.56 입니다. 이 단의 피크는

    $$|H|_{peak} \approx Q = 3.56 \quad(+11\ \text{dB})$$

    Q 가 7 % 올라 3.81 이 되면

    $$20\log(3.81/3.56) = +0.6\ \text{dB}$$

    두 단이 각각 이렇게 어긋나고 서로 상쇄되지 않으면 리플이 배로 늘어납니다.

    대책:

    방법	효과
    1 % 부품	Q 흔들림 1.4 % → 리플 거의 설계대로
    차수를 올리고 리플을 줄임 (0.1 dB 5차)	Q 가 낮아져 둔감해짐
    버터워스로 바꿈	Q 최대 1.31 로 훨씬 둔감
    디지털로 옮김	계수 오차 0 (13-11)

    여기서 배울 것: 급준함을 근사로 사면 부품 정밀도로 갚습니다. 체비셰프를 쓰려면 1 % 이하 부품이 사실상 필수이고, 그 값이면 차수를 하나 올린 버터워스가 대개 더 쌉니다.