s영역과 전달함수

한 줄 요약 — $j\omega$ 를 $s$ 로 바꾸면 정상상태만 보던 눈이 과도까지 보게 됩니다. 극점 하나가 곧 시정수 하나입니다.

지금까지 임피던스임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다. $Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$ 자세히 보기 →를 $j\omega$ 로 썼습니다. 그것으로 보드선도보드선도 Bode plot주파수에 따른 이득과 위상을 로그 축에 그린 그림으로, 직선 몇 개로 회로의 거동을 읽습니다.자세히 보기 →를 그리고 차단 주파수차단 주파수 cutoff frequency필터의 출력이 입력보다 −3 dB(약 0.707배)로 떨어지는 주파수입니다. $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$ 자세히 보기 →를 구했습니다. 그런데 4-02에 이런 단서가 붙어 있었습니다.

페이저는 정상상태(steady state)에만 유효 — 과도 상태에서는 라플라스 변환 필요

이 문서가 그 각주를 갚습니다. 그리고 그러고 나면 “극점”이라는 말을 쓰는 다른 모든 문서가 비로소 말이 됩니다.

$j\omega$ 를 $s$ 로

페이저는 “영원히 계속되는 정현파”를 가정합니다. 스위치를 켠 직후처럼 시작이 있는 신호는 그 가정 밖입니다.

일반화는 놀랄 만큼 간단합니다. 정현파 $e^{j\omega t}$ 대신 커지거나 작아지면서 도는 신호를 씁니다.

e^{st}, \qquad s = \sigma + j\omega

기호

omega각주파수angular frequencyrad/s

sigma전도도conductivityS/m

e잡음 전압 밀도noise voltage densityV/√Hz

j허수 단위imaginary unit

t시간times

부분	뜻
$j\omega$	도는 속도 — 지금까지 보던 것
$\sigma$	커지거나(+) 작아지는(−) 속도 — 새로 생긴 것

임피던스 공식은 글자만 바뀝니다.

Z_R = R, \qquad Z_C = \frac{1}{sC}, \qquad Z_L = sL

기호

C정전용량capacitanceF

L인덕턴스inductanceH

R저항resistanceΩ

Z_C컬렉터 임피던스collector impedanceΩ

Z_L부하 임피던스load impedanceΩ

Z_R임피던스 (R)impedance (R)Ω

$s = j\omega$ 로 두면 원래대로 돌아옵니다. 잃는 것 없이 축 하나를 얻은 것입니다.

💡 왜 $e^{st}$ 인가 — 미분해도 자기 자신의 상수배( $se^{st}$ )인 함수가 이것뿐이기 때문입니다. 그래서 미분방정식이 곱셈과 나눗셈으로 바뀝니다. 커패시터의 $i = C\,dv/dt$ 가 $I = sCV$ 가 되는 것이 전부입니다.

전달함수

입력과 출력의 비를 $s$ 의 함수로 쓴 것이 전달함수입니다.

H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\text{분자 다항식}}{\text{분모 다항식}}

기호

V_in입력 전압input voltageV

V_out출력 전압output voltageV

RC 저역통과로 해 보면 — 이것은 분압분압 voltage divider직렬로 이은 두 저항은 입력 전압을 저항비대로 나눠 갖습니다. $V_{out} = V_{in}\,\frac{R_2}{R_1+R_2}$ 자세히 보기 →입니다.

H(s) = \frac{1/sC}{R + 1/sC} = \frac{1}{1+sRC} = \frac{1/RC}{s + 1/RC}

기호

C정전용량capacitanceF

R저항resistanceΩ

\begin{aligned} V_{in} &: \text{입력 전압} \\ V_{out} &: \text{출력 전압} \\ s &: \text{복소 주파수 } (\text{rad/s}) \\ RC &: \text{시정수 } \tau\ (\text{s}) \end{aligned}

기호

tau시정수time constants

C정전용량capacitanceF

d거리 또는 두께distance or thicknessm

e잡음 전압 밀도noise voltage densityV/√Hz

g컨덕턴스 (소신호)small-signal conductanceS

i전류 (순시값)instantaneous currentA

n비트 수 또는 개수number of bits or count

R저항resistanceΩ

V_in입력 전압input voltageV

V_out출력 전압output voltageV

극점과 영점

\boxed{\text{극점(pole) = 분모가 0이 되는 } s \qquad \text{영점(zero) = 분자가 0이 되는 } s}

위 RC의 극점은 $s = -1/RC = -1/\tau$ 입니다. 실수축 위, 원점 왼쪽.

이 한 점이 회로의 모든 것을 담고 있습니다.

극점 $s = -1/\tau$ 에서 읽는 것	값
시간 응답	$e^{-t/\tau}$ — 시정수 $\tau$ 로 사라짐
차단 주파수	$\omega_c = 1/\tau$ , 즉 $f_c = 1/2\pi RC$
그 위 기울기	$-20$ dB/decade
그 위 위상	$-90°$ (극점에서 $-45°$ )

4-04가 표로 주던 “극점 = −20 dB/dec, −90°“가 여기서 나옵니다. $|H(j\omega)| = 1/\sqrt{1+(\omega\tau)^2}$ 이므로 $\omega\tau \gg 1$ 에서 $|H| \approx 1/\omega\tau$ — 주파수 10배에 크기 1/10, 정확히 −20 dB/decade 입니다.

극점의 위치가 곧 거동

극점 위치	$e^{st}$	회로에서
실수 음수 $-a$	$e^{-at}$	지수 감쇠 — RC
복소 켤레 $-a \pm jb$	$e^{-at}\cos bt$	감쇠 진동 = 링잉
순허수 $\pm jb$	$\cos bt$	영원히 울림 — 손실 없는 LC
실수 양수 $+a$	$e^{+at}$	발산 = 발진

“극점이 왼쪽에 있으면 안정하다” 는 이 표 한 줄입니다. 안정성 판정이 결국 극점의 부호를 보는 일이라는 것도 여기서 드러납니다.

영점은 무엇을 하나

영점은 극점의 반대입니다 — 기울기를 $+20$ dB/dec 올리고 위상을 $+90°$ 되돌립니다.

위상을 되돌린다는 것이 설계에서 중요합니다. 극점이 깎아 먹은 위상 여유위상 여유 phase margin루프 이득이 1이 되는 주파수에서 발진까지 얼마나 남았는지를 각도로 나타낸 값입니다. $\mathrm{PM} = 180^\circ + \angle T(f_{0\mathrm{dB}})$ 자세히 보기 →를 영점으로 되사는 것이 보상(compensation) 의 정체입니다.

실전에서 영점이 생기는 곳	어떻게
커패시터의 ESR	$\mathrm{ESR} + 1/sC$ 의 분자가 0이 되는 곳
피드백 저항에 병렬 $C_f$	TIA 보상 (7-01)
출력 직렬 $R_{iso}$	용량성 부하 대책 (7-07)
이미터/소스 디제너레이션	바이패스 커패시터와 함께

⚠️ 오른쪽 절반의 영점(RHP zero)우반면 영점 right-half-plane zero이득은 올리면서 위상은 내리는 최악의 조합으로, 보상으로 없앨 수 없고 대역폭을 낮추는 수밖에 없습니다.자세히 보기 → 은 위상을 되돌리는 게 아니라 더 깎습니다 (크기는 올리면서 위상은 −90°). 부스트 컨버터가 안정화하기 어려운 이유이고, 영점이라고 다 좋은 것이 아니라는 예입니다.

여러 극점이 겹치면

극점 두 개가 있으면 위상이 최대 −180° 까지 갑니다. 부귀환에서 −180° 는 빼는 것이 더하는 것으로 뒤집히는 지점입니다. 4-04가 “극이 2개 이상 겹치면 발진합니다”라고 한 것이 이 뜻입니다.

극점 개수	최대 위상 지연	부귀환에서
1	−90°	절대 발진 안 함
2	−180°	경계 — 위치에 따라 갈림
3 이상	−270°	보상 없이는 위험

극점이 둘이면 2차 시스템이고, 그때 오버슈트·정착이 어떻게 되는지가 바로 다음 문서입니다 → 4-07

계산 예제

예제 1 — 두 RC를 직렬로 잇기

$R_1C_1 = 1$ ms, $R_2C_2 = 10\ \mu$ s 인 두 저역통과를 버퍼로 분리해 이었습니다.

H(s) = \frac{1}{(1+s\times10^{-3})(1+s\times10^{-5})}

극점 두 개: $s = -1000$ , $s = -10^5$ (rad/s) → $f_{p1} = 159$ Hz, $f_{p2} = 15.9$ kHz.

159 Hz 까지 평탄
159 Hz ~ 15.9 kHz: −20 dB/dec
15.9 kHz 위: −40 dB/dec

버퍼로 분리하지 않으면 두 단이 서로를 로딩로딩 loading뒷단이 앞단에서 전류를 끌어가면서 신호가 줄어드는 현상으로, 고임피던스 신호원에서 특히 심합니다.자세히 보기 →해서 극점이 저 자리에 있지 않습니다 — 이것이 필터를 캐스케이드할 때 버퍼를 끼우는 이유입니다.

예제 2 — 극점을 시정수로 되읽기

어떤 증폭기의 전달함수가

H(s) = \frac{10^6}{(s+10)(s+10^6)}

DC 이득은 $s = 0$ 을 넣어 $10^6/(10\times10^6) = 0.1$ .

극점은 $f_1 = 10/2\pi = 1.6$ Hz, $f_2 = 10^6/2\pi = 159$ kHz.

계단을 넣으면 두 개의 지수가 겹칩니다 — 빠른 것( $\tau_2 = 1\ \mu$ s)이 먼저 움직이고, 느린 것( $\tau_1 = 100$ ms)이 꼬리를 만듭니다. 스코프에서 “거의 다 올라갔는데 마지막이 안 붙는” 파형이 이것입니다.

정밀 측정에서 긴 꼬리가 문제가 되는 이유입니다. 16비트 정착을 요구하면 느린 극점 $\tau_1$ 이 $0.693\times17\times100\ \text{ms} = 1.2$ 초를 요구합니다.

시뮬레이션으로 확인

극점 두 개의 보드선도워크벤치에서 열기 →

# examples/04-ac-frequency/two-pole-cascade.yaml
meta:
  name: 극점 두 개의 보드선도
  lesson: docs/04-ac-frequency/06-s-domain.md
  note: 159 Hz와 15.9 kHz에 극점. 기울기가 -20에서 -40 dB/dec로 꺾이는지 본다
components:
  - {ref: V1, type: vac, value: 1}
  - {ref: R1, type: r, value: 10k}
  - {ref: C1, type: c, value: 100n}
  - {ref: R2, type: r, value: 1k, sweep: {min: 100, max: 100k}}
  - {ref: C2, type: c, value: 10n}
nets:
  IN: [V1.p, R1.1]
  MID: [R1.2, C1.1, R2.1]
  OUT: [R2.2, C2.1]
  GND: [V1.n, C1.2, C2.2]
analyses:
  - {type: ac, sweep: dec, fstart: 1, fstop: 1MEG, points: 20}

⚠️ 이 예제는 일부러 버퍼 없이 이었습니다. 계산한 159 Hz / 15.9 kHz 가 실제로는 어긋납니다 — 뒷단이 앞단을 로딩하기 때문입니다. 예제 1의 경고를 눈으로 확인하는 회로입니다.

⚖️ 부품 트레이드오프

선택	얻는 것	잃는 것
극점을 낮게 (큰 RC)	노이즈 대역 좁힘	느려짐, 긴 꼬리
극점을 높게	빠른 정착	노이즈·에일리어싱 증가
극점을 두 개로 나눔	차단이 가팔라짐	위상 지연 −180°, 발진 위험
영점으로 보상	위상 회복, 안정	고주파 잡음 통과, 부품 추가
단을 버퍼로 분리	극점이 계산대로	부품·전류·잡음 추가

🔌 실제 쓰임새

어디에	무엇을 s로 보나
OP앰프 데이터시트	개루프 이득 곡선 = 극점 하나(보상)와 그 위의 것들
LDO 안정도	출력 커패시터 극점 + ESR 영점 (8-02)
TIA 보상	입력 용량이 만드는 극점을 $C_f$ 영점으로 상쇄 (13-04)
안티에일리어싱	필요한 차수 = 필요한 극점 개수 (10-04)
SPICE `.ac`	결국 $s = j\omega$ 를 훑는 것 (17-03)

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
극점이 두세 개	실제 회로에는 기생 성분이 만드는 극점이 수십 개 있습니다
극점 위치가 고정	온도·부하·전원에 따라 움직입니다
선형 시스템	슬루율·포화에 걸리면 $H(s)$ 자체가 무의미해집니다
전달함수만 알면 됨	초기 조건(커패시터에 남은 전하)은 $H(s)$ 에 안 들어 있습니다
영점은 위상을 되돌림	RHP 영점은 반대로 깎습니다

⚠️ 데이터시트의 보드선도는 정해진 부하·전원·온도에서의 것입니다. 케이블을 물리는 순간 극점이 하나 더 생기고 그 그림은 더 이상 맞지 않습니다.

연습문제

문제 1. $H(s) = \dfrac{100}{s+100}$ 의 차단 주파수와 시정수는?

연습 4-06-1 — H(s) = 100/(s+100) 이 무슨 회로인가워크벤치에서 열기 →

풀이

극점 $s = -100$ rad/s.

\tau = \frac{1}{100} = 10\ \text{ms}, \qquad f_c = \frac{100}{2\pi} \approx 15.9\ \text{Hz}

기호

tau시정수time constants

f_c차단 주파수cutoff frequencyHz

문제 2. $H(s) = \dfrac{s}{s+\omega_c}$ 는 어떤 필터입니까?

exercises/04-06-highpass-s.yaml

풀이

원점에 영점, $-\omega_c$ 에 극점.

$s \to 0$ (DC): $H \to 0$ — DC를 막습니다
$s \to \infty$ : $H \to 1$ — 고주파는 통과

고역통과 필터입니다. AC 커플링이 이 꼴이고, 전극의 DC 오프셋을 막는 데 씁니다 (13-05).

문제 3. 어떤 증폭기의 개루프 이득이 DC에서 $10^5$ 이고 극점이 10 Hz에 하나 있습니다. GBW는 얼마이고, 이득 100으로 쓰면 대역폭은?

exercises/04-06-gbw-tradeoff.yaml

풀이

H(s) = \frac{10^5}{1+s/(2\pi\times10)}

이득이 1이 되는 주파수:

\mathrm{GBW} = 10^5 \times 10\ \text{Hz} = 1\ \text{MHz}

기호

GBW이득 대역폭 곱gain-bandwidth productHz

GBW이득대역폭곱 gain-bandwidth productOP앰프가 낼 수 있는 이득과 대역폭의 곱은 일정하므로, 이득을 키우면 대역이 그만큼 줄어듭니다. $f_{-3\mathrm{dB}} = \frac{\mathrm{GBW}}{G_N}$ 자세히 보기 →는 상수이므로 이득 100에서

f_{-3\mathrm{dB}} = \frac{10^6}{100} = 10\ \text{kHz}

기호

f_-3 주파수 (-3)frequency (-3)Hz

극점이 하나뿐이므로 위상 지연이 최대 −90° 이고, 그래서 이 증폭기는 어떤 이득으로 써도 발진하지 않습니다. OP앰프 안에 일부러 큰 커패시터를 넣어 극점을 낮게 만드는(지배극 보상) 이유가 이것입니다.

문제 4. 7-07은 용량성 부하에 직렬 저항 $R_{iso}$ 를 넣으라고 합니다. $R_{iso}$ 가 극점과 영점을 각각 어디에 만드는지 쓰고, 왜 안정성이 좋아지는지 설명하세요.

exercises/04-06-riso-zero.yaml

풀이

OP앰프 출력 저항 $R_o$ , 직렬 $R_{iso}$ , 부하 $C_L$ 일 때 부하가 보는 임피던스는

Z(s) = R_o + \frac{R_{iso} + 1/sC_L \cdot 0}{\;} \;\longrightarrow\; H_{load}(s) = \frac{1+sR_{iso}C_L}{1+s(R_o+R_{iso})C_L}

기호

C_L부하 정전용량load capacitanceF

R_iso분리 저항isolation resistanceΩ

R_o출력 저항output resistanceΩ

Z임피던스impedanceΩ

영점: $f_z = \dfrac{1}{2\pi R_{iso}C_L}$
극점: $f_p = \dfrac{1}{2\pi (R_o+R_{iso})C_L}$

$R_{iso} > 0$ 이면 영점이 항상 극점보다 높은 주파수에 있습니다.

극점이 −90° 를 깎은 뒤 영점이 +90° 를 되돌리므로, 두 주파수 사이에서만 위상이 내려갔다가 회복합니다. 루프 이득이 1이 되는 지점이 영점 위에 오도록 $R_{iso}$ 를 잡으면 위상 여유가 살아납니다.

대가는 $R_{iso}$ 가 피드백 루프 밖에 있다는 것입니다 — 부하 전류가 흐르면 $R_{iso}$ 에서 전압이 떨어지고, 그만큼 DC 정확도를 잃습니다.

이전 ← 05 공진과 Q | 다음 → 07 2차 시스템

s영역과 전달함수

jωj\omegajω 를 sss 로

전달함수

극점과 영점

극점의 위치가 곧 거동

영점은 무엇을 하나

여러 극점이 겹치면

계산 예제

시뮬레이션으로 확인

⚖️ 부품 트레이드오프

🔌 실제 쓰임새

⚠️ 이상과 실제의 차이

연습문제

$j\omega$ 를 $s$ 로