공진과 Q

한 줄 요약 — LC가 만나면 특정 주파수에서 임피던스(impedance)가 극단으로 갑니다. 원하면 필터, 원하지 않으면 링잉(ringing)과 노이즈 증폭입니다.

공진 주파수

\boxed{f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}

기호

C정전용량capacitanceF

f_0공진 주파수resonant frequencyHz

L인덕턴스inductanceH

이 주파수에서 $|Z_L| = |Z_C|$ 가 되어 서로 상쇄됩니다.

구성	공진(resonance)에서
직렬 LC	임피던스 최소 (= ESR) → 전류 최대
병렬 LC	임피던스 최대 → 전류 최소

Q (품질 계수)

Q = \frac{f_0}{\Delta f_{-3dB}} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \quad(\text{직렬 RLC})

기호

Delta f대역폭bandwidthHz

C정전용량capacitanceF

f_-3dB−3 dB 대역폭−3 dB bandwidthHz

f_0공진 주파수resonant frequencyHz

L인덕턴스inductanceH

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

R저항resistanceΩ

Q	특성
< 0.5	과감쇠 — 진동 없음
0.5	임계 감쇠 — 가장 빠른 무진동 응답
0.707	버터워스 — 최대 평탄
1~10	약한 공진, 링잉 있음
> 10	강한 공진, 좁은 대역, 긴 링잉

시간 영역에서의 Q

Q가 높으면 스텝 입력에 대해 오래 울립니다(ringing). 링잉이 사라지는 데 걸리는 사이클 수는 대략 $Q$ 에 비례합니다.

★ 원하지 않는 공진 — 실전에서 더 중요

측정 회로에서 LC 공진기를 일부러 만드는 일은 드뭅니다. 문제는 기생 성분(parasitic)기생 성분 parasitics부품과 배선이 표기값 말고 원치 않게 함께 갖는 저항·용량·인덕턴스로, 고주파에서 회로의 성질을 바꿔 놓습니다.자세히 보기 →이 만드는 공진입니다.

1. 커패시터의 자기공진

모든 커패시터(capacitor)는 ESL을 가지므로 직렬 LC입니다 (3-03).

f_{SRF} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{ESL}C}}

기호

C정전용량capacitanceF

ESL등가 직렬 인덕턴스equivalent series inductanceH

f_SRF주파수 (SRF)frequency (SRF)Hz

L_ 인덕턴스 ()inductance ()H

커패시터	SRF (대략)
10 µF 0805	~2 MHz
1 µF 0603	~5 MHz
100 nF 0402	~30 MHz
10 nF 0402	~100 MHz
1 nF 0402	~300 MHz

SRF 위에서는 인덕터(inductor)로 동작합니다 → 11-02

2. 반공진 (anti-resonance)

값이 다른 커패시터를 병렬로 두면, 두 SRF 사이에서 한쪽은 인덕터, 다른 쪽은 커패시터가 되어 병렬 LC 공진이 생깁니다. 이 주파수에서 임피던스가 오히려 치솟습니다.

값이 다른 커패시터를 병렬로 쓰면 그 사이에 반공진 피크가 생깁니다.

주파수 구간	10 µF	100 nF	결과
SRF1 아래	커패시터	커패시터	정상
SRF1 ~ SRF2	인덕터	커패시터	병렬 LC 공진 → 임피던스 치솟음
SRF2 위	인덕터	인덕터	둘 다 인덕터

한쪽이 인덕터가 되고 다른 쪽이 아직 커패시터인 구간에서 병렬 공진이 일어납니다. 그래서 요즘은 같은 값 여러 개를 쓰는 쪽을 권합니다.

완화 방법:

ESR이 적당히 있는 커패시터를 섞는다 (Q를 낮춤)
값 차이를 10배 이내로 (100 nF + 10 nF, 10배씩 촘촘히)
같은 값을 여러 개 병렬 (SRF가 같아 반공진 없음, ESL만 감소)

💡 현대의 디커플링 권장 방식은 “값이 다른 커패시터 여러 개”보다 “같은 값(100 nF) 여러 개 + 벌크 하나” 로 바뀌는 추세입니다. 반공진을 피하고 ESL을 병렬로 낮추는 것이 더 효과적이기 때문입니다.

3. 페라이트 비드 + 커패시터 공진

전원 필터에서 페라이트 비드(인덕터) 뒤에 커패시터를 두면 직렬 LC 저역통과 필터가 됩니다. Q가 높으면 공진 주파수에서 노이즈가 오히려 증폭됩니다.

예: 비드 1 µH + 커패시터 10 µF

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-6}\times10^{-5}}} \approx 50\ \text{kHz}

기호

f_0공진 주파수resonant frequencyHz

스위칭 레귤레이터(regulator)스위칭 레귤레이터 switching regulator전압을 열로 버리는 대신 빠르게 껐다 켜서 바꾸는 방식으로, 효율은 높지만 잡음을 만듭니다.자세히 보기 →의 리플이 마침 이 근처면 필터가 노이즈를 키웁니다.

완화: 직렬 저항 추가(댐핑), ESR이 있는 커패시터 사용, 비드의 손실 특성 이용 → 16-03

4. 오실로스코프 프로브 접지 리드

접지 리드 인덕턴스(150 nH) + 프로브(probe) 용량(10 pF) → 약 130 MHz 공진 (3-03)

빠른 신호를 볼 때 나타나는 링잉의 정체입니다 → 14-02

5. 케이블 공진

긴 케이블은 분포 LC이므로 특정 주파수에서 공진합니다. 케이블 길이가 파장의 1/4일 때 임피던스가 극단으로 갑니다.

계산 예제

예제 1 — LC 필터의 공진

$L = 10\ \mu\text{H}$ , $C = 1\ \mu\text{F}$ :

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-5}\times10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\times10^{-5.5}} \approx 50.3\ \text{kHz}

기호

f_0공진 주파수resonant frequencyHz

직렬 저항이 0.1 Ω이면:

Q = \frac{1}{0.1}\sqrt{\frac{10^{-5}}{10^{-6}}} = 10\times3.16 = 31.6

기호

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

Q = 31.6은 매우 높습니다. 50 kHz 근처 노이즈가 31.6배(30 dB) 증폭됩니다.

댐핑 저항 3 Ω을 직렬로 넣으면:

Q = \frac{3.16}{3} \approx 1.05

기호

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

안전한 수준이 됩니다. 대신 3 Ω에서 전압 강하와 손실이 생깁니다 — 전형적인 트레이드오프입니다.

예제 2 — 크리스털의 Q

수정 진동자의 Q는 10,000~100,000에 달합니다. 그래서 주파수가 극도로 안정적이고, 정확한 클럭원으로 쓰입니다. 대신 기동 시간이 깁니다 (Q에 비례) — 수 ms가 걸립니다.

시뮬레이션으로 확인

LC 공진과 Q워크벤치에서 열기 →

# examples/04-ac-frequency/lc-resonance.yaml
meta:
  name: LC 공진과 Q
  lesson: docs/04-ac-frequency/05-resonance.md
components:
  - {ref: V1, type: vac, value: 1}
  - {ref: R1, type: r, value: 0.1, label: 댐핑 저항, sweep: {min: 10m, max: 100}}
  - {ref: L1, type: l, value: 10u}
  - {ref: C1, type: c, value: 1u}
nets:
  IN:  [V1.p, R1.1]
  MID: [R1.2, L1.1]
  OUT: [L1.2, C1.1]
  GND: [V1.n, C1.2]
analyses:
  - {type: ac, sweep: dec, points: 200, fstart: 1k, fstop: 1MEG}
expect:
  - {measure: gain_db, node: OUT, at: 50.3k, analysis: ac, value: 30, tol: 3}

출력이 입력보다 30 dB 큽니다 — 필터가 노이즈를 증폭하는 것을 눈으로 확인할 수 있습니다. R1을 3 Ω으로 바꾼 파일과 비교해보세요.

⚖️ 부품 트레이드오프

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
높은 Q	좁은 대역 선택성, 낮은 손실, 정확한 주파수	링잉, 공진 주파수에서 노이즈 증폭, 부품 오차에 민감, 느린 기동
낮은 Q (댐핑 추가)	링잉 없음, 안정, 노이즈 증폭 없음	손실 증가, 선택성 저하, 전압 강하
댐핑 저항 직렬	Q 감소, 안전	DC 손실과 전압 강하 — 전원 필터에서 특히 부담
댐핑 저항 병렬 (커패시터에 직렬 RC)	DC 손실 없이 댐핑	부품 추가, 고주파에서만 동작
ESR 있는 커패시터	자연스러운 댐핑	리플(ripple)리플 ripple직류가 되다 만 나머지 교류분으로, 평활 커패시터가 얼마나 큰지로 정해집니다. $V_r = \frac{I}{f\,C}$ 자세히 보기 → 전압 증가, 발열

💡 “손실 없는 필터가 항상 좋은 것이 아닙니다.” 전원 필터에서는 적당한 손실이 안정성을 줍니다. 무손실 LC 필터는 공진에서 노이즈를 키우고, 부하 과도응답(transient response)과도응답 transient response입력이 갑자기 바뀐 뒤 출력이 자리를 잡기까지의 움직임으로, 정상상태 해석으로는 안 보입니다.자세히 보기 →에서 링잉을 만듭니다.

🔌 실제 쓰임새

용도	Q
크리스털 발진기	매우 높음 (10⁴~10⁵)
전원 LC 필터	낮게 유지 (댐핑 필수)
대역통과 필터	용도에 따라
안테나 정합	높음
원하지 않는 공진	낮추는 것이 목표

측정 회로에서는 대부분 “공진을 없애는 것”이 목표입니다.

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
LC만 고려	기생 성분이 예상치 못한 공진을 만듦
Q는 계산값	코어 손실, 표피 효과, 유전 손실로 실제 Q는 더 낮음
공진 주파수 고정	온도·DC 바이어스DC 바이어스 특성 DC bias derating세라믹 커패시터는 전압을 걸면 용량이 줄어들어, 표기값의 절반도 안 남는 일이 흔합니다.자세히 보기 →로 L·C가 변해 이동
하나의 공진	실제로는 여러 공진이 존재 (분포 정수 효과)

연습문제

문제 1. $L = 100\ \mu\text{H}$ , $C = 100\ \text{nF}$ 의 공진 주파수는?

exercises/04-05-lc-resonance.yaml

풀이

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-4}\times10^{-7}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-11}}} = \frac{1}{2\pi\times3.16\times10^{-6}} \approx 50.3\ \text{kHz}

기호

f_0공진 주파수resonant frequencyHz

문제 2. 10 µF 커패시터의 ESL이 2 nH입니다. 자기공진 주파수는? 그리고 10 MHz 노이즈에 대한 임피던스는?

연습 4-05-2 — 10 µF 의 자기공진과 10 MHz 임피던스워크벤치에서 열기 →

풀이

f_{SRF} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2\times10^{-9}\times10^{-5}}} = \frac{1}{2\pi\times1.41\times10^{-7}} \approx 1.13\ \text{MHz}

기호

f_SRF주파수 (SRF)frequency (SRF)Hz

10 MHz는 SRF보다 훨씬 위이므로 인덕터로 동작합니다:

|Z| = 2\pi \times 10^7 \times 2\times10^{-9} \approx 0.126\ \Omega

기호

Z임피던스impedanceΩ

이상적 커패시터라면 $1/(2\pi\times10^7\times10^{-5}) = 0.0016\ \Omega$ 이어야 하므로 79배 나쁩니다.

따라서 10 MHz 노이즈를 잡으려면 10 µF으로는 안 되고, SRF가 더 높은 작은 커패시터(100 nF, SRF ~30 MHz)가 필요합니다.

문제 3. 저잡음 아날로그 전원에 페라이트 비드(2.2 µH) + 22 µF 커패시터로 필터를 만들었습니다. 공진 주파수와 위험성은? 어떻게 개선합니까?

연습 4-05-3 — 페라이트 비드 + 22 µF 의 위험워크벤치에서 열기 →

풀이

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.2\times10^{-6}\times22\times10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\times6.96\times10^{-6}} \approx 22.9\ \text{kHz}

기호

f_0공진 주파수resonant frequencyHz

위험: 스위칭 레귤레이터의 리플이나 부하 과도가 이 주파수 근처에 있으면, Q가 높은 경우 노이즈가 오히려 증폭됩니다. 세라믹 커패시터는 ESR이 매우 낮아(수 mΩ) Q가 수십에 달할 수 있습니다.

Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{0.01}\sqrt{\frac{2.2\times10^{-6}}{22\times10^{-6}}} = 100\times0.316 = 31.6

기호

C정전용량capacitanceF

L인덕턴스inductanceH

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

R저항resistanceΩ

Q ≈ 32 → 공진에서 30 dB 증폭. 심각합니다.

개선 방법:

댐핑 저항 직렬 삽입 — 1~3 Ω. 단, DC 전압 강하 발생 (100 mA면 0.1~0.3 V)
RC 댐핑 네트워크 병렬 — 커패시터에 직렬 RC(예: 1 Ω + 100 µF)를 병렬로. DC 손실 없이 공진만 댐핑 ← 권장
ESR이 있는 커패시터 사용 — 폴리머나 전해를 세라믹과 병렬로
비드를 손실이 큰 것으로 — 공진 주파수 대역에서 저항 성분이 큰 비드 선택

자세한 전원 필터 설계 → 16-03 저잡음 전원

이전 ← 04 dB와 보드선도 | 다음 → 06 s영역과 전달함수