필터 근사 — 버터워스·베셀·체비셰프

한 줄 요약 — 같은 차수로 평탄함·급준함·파형 보존 셋을 다 가질 수는 없습니다. 무엇을 버릴지 정하는 것이 필터 근사를 고르는 일입니다.

왜 이름이 여럿인가

2차 저역통과의 전달함수는 하나입니다.

$\zeta$ 하나만 다르게 잡은 것들에 이름이 붙어 있습니다.

같은 회로에 저항·커패시터 값만 다릅니다. 부품이 늘어나는 게 아닙니다.

💡 $\zeta = 0.707$ 이 4-07에서 계속 나온 이유가 이것입니다 — 버터워스입니다.

셋을 나란히

크기 응답 (통과대역)

버터워스는 $\omega=0$ 에서 미분이 $2n-1$ 차까지 0 입니다 — 그래서 “최대 평탄(maximally flat)” 이라고 합니다.

차수당 −6 dB/옥타브 (−20 dB/decade) 는 셋 다 같습니다. 차이는 차단 근처의 모양입니다.

차단 근처 (1.5 $f_c$ 에서, 2차 기준)

스텝 응답 — ★ 여기가 갈리는 곳

급준할수록 오버슈트가 큽니다. 예외가 없습니다 — 주파수 영역에서 얻은 것을 시간 영역에서 갚습니다.

★ 군지연 — 파형이 왜 일그러지나

필터가 모든 주파수를 같은 시간만큼 미루면 파형은 통째로 지연될 뿐 모양이 안 변합니다.

$\tau_g$ 가 주파수에 따라 다르면 성분마다 다른 시간에 도착해 파형이 일그러집니다.

베셀은 군지연이 평탄하도록 설계된 것이고, 그 대가로 차단이 무릅니다.

언제 이게 중요한가

⚠️ 측정 회로에서 파형의 모양을 본다면 베셀입니다. 이 자료가 다루는 신호 측정 대부분이 그렇습니다.

⚖️ 트레이드오프

1. 셋 중 무엇을

의심스러우면 버터워스입니다. 어느 쪽으로도 크게 나쁘지 않은 절충입니다.

2. 급준함을 차수로 살 것인가 근사로 살 것인가

같은 저지대역 감쇠를 얻는 두 가지 방법이 있습니다.

Q 가 높아지면 부품 오차에 민감해집니다. 체비셰프 1 dB 2차의 Q 는 1.02 로 버터워스(0.707)보다 44 % 높고, 5 % 저항을 쓰면 리플이 설계값에서 크게 벗어납니다.

3. 안티에일리어싱에는

13-06의 요구는 “나이퀴스트에서 충분히 감쇠” 입니다. 통과대역의 평탄함이나 파형은 그 다음 문제입니다.

그런데 오버샘플링을 쓰면 전이대역이 넓어져 2차 버터워스로 충분해집니다. 급준한 필터가 필요한 상황 자체가 줄어듭니다.

🔌 실제 쓰임새

값을 어떻게 정하나

살렌-키 저역통과에서 $R_1=R_2=R$, $C_1$, $C_2$ 이면

$C_1/C_2$ 비가 Q 를 정합니다.

버터워스는 $C_1 = 2C_2$ — 외우기 쉽습니다.

고차는 2차를 겹칩니다

4차 버터워스는 Q 가 다른 2차 두 개입니다.

같은 2차 두 개를 잇는 것이 아닙니다. Q 0.707 짜리 둘을 이으면 −6 dB 가 되어 차단 주파수가 어긋납니다.

⚠️ Q 가 높은 단을 뒤에 둡니다. 앞에 두면 그 단의 피킹이 뒷단으로 들어가 슬루레이트슬루레이트슬루레이트 slew rate출력이 오를 수 있는 최고 속도로, 이걸 넘기면 정현파가 삼각파로 잘려 나옵니다.$$f_{max} = \frac{\mathrm{SR}}{2\pi V_p}$$자세히 보기 →나 포화에 먼저 걸립니다.

부품값이 E24 에 없을 때

계산값이 표준값에 없으면 E 계열 반올림을 해야 하는데, Q 가 높을수록 그 반올림이 아프게 옵니다. 계산기의 E 계열 기능이 오차를 %로 보여 주므로, 그 값을 넣고 다시 시뮬레이션해 확인하세요.

⚠️ 이상과 실제의 차이

⚠️ OP앰프의 GBW 가 부족하면 설계한 Q 가 안 나옵니다. 살렌-키에서 필요한 GBW 는 대략 $100\,Q\,f_c$ 입니다. 10 kHz·Q 1.3 이면 1.3 MHz 이상이 필요합니다.

시뮬레이션으로 확인

# examples/04-ac-frequency/filter-approximations.yaml
meta:
  name: 베셀·버터워스·체비셰프 — ζ 하나가 다를 뿐
  lesson: docs/04-ac-frequency/08-filter-approximations.md
  note: |
    같은 RLC 2차 저역통과입니다. R1 하나로 ζ 를 바꿉니다.

        ζ = (R/2)·√(C/L),   즉  R = 2ζ·√(L/C)

    L = 10 mH, C = 100 nF 이면 √(L/C) = 316 Ω 이므로

        R = 548 Ω  → ζ = 0.866  베셀         첫 봉우리 1.004 @ 199 µs
        R = 447 Ω  → ζ = 0.707  버터워스     첫 봉우리 1.043 @ 140 µs
        R = 309 Ω  → ζ = 0.489  체비셰프 1dB  첫 봉우리 1.172 @ 114 µs
        R = 632 Ω  → ζ = 1.0    임계 감쇠     오버슈트 없음

    f_n = 1/(2π√(LC)) = 5.03 kHz.

    R1 을 밀어 보세요. 급준할수록(ζ 가 작을수록) 오버슈트가 큽니다 —
    주파수 영역에서 얻은 것을 시간 영역에서 갚습니다. 예외가 없습니다.

    기본값은 버터워스(447 Ω)입니다.
components:
  - {ref: V1, type: vpulse, params: {v1: 0, v2: 1, td: 0, tr: 1u, tf: 1u, pw: 5m, per: 10m}}
  - {ref: R1, type: r, value: 447, label: ζ 를 정합니다 (R = 2ζ√(L/C)), sweep: {min: 100, max: 900, log: false}}
  - {ref: L1, type: l, value: 10m}
  - {ref: C1, type: c, value: 100n}
nets:
  IN:  [V1.p, R1.1]
  MID: [R1.2, L1.1]
  OUT: [L1.2, C1.1]
  GND: [V1.n, C1.2]
analyses:
  - {type: tran, tstop: 1m, tstep: 200n}
expect:
  # 버터워스(ζ=0.707)의 첫 봉우리는 140 µs 에서 1.043
  - {measure: v, node: OUT, at: 140u, analysis: tran, value: 1.043, tol: 2%}
  # 정상상태는 1 V
  - {measure: v, node: OUT, at: 900u, analysis: tran, value: 1.0, tol: 2%}

돌려 보면 140 µs 에서 첫 봉우리가 1.0433 — 오버슈트 4.33 % 입니다. 이론값과 소수점 둘째 자리까지 맞습니다.

$\zeta = 1/\sqrt2$ 일 때 지수가 정확히 $-\pi$ 가 되는 것이 버터워스의 깔끔한 점입니다.

★ R1 을 밀어 보세요. $R = 2\zeta\sqrt{L/C}$ 이고 $\sqrt{L/C} = 316\ \Omega$ 입니다.

같은 부품 세 개로 셋 다 만듭니다 — 저항값 하나만 다릅니다. 필터 근사가 “다른 회로” 가 아니라 “같은 회로의 다른 값” 이라는 것이 여기서 보입니다.

연습문제

문제 1. 심전도 프론트엔드의 저역통과(150 Hz)를 설계합니다. 버터워스와 베셀 중 어느 것을 쓰겠습니까?

문제 2. 4차 버터워스를 살렌-키 두 단으로 만듭니다. Q 0.541 단과 Q 1.31 단 중 어느 것을 앞에 두겠습니까?

exercises/04-08-stage-order.yaml

문제 3. 체비셰프 1 dB 4차 필터를 5 % 저항으로 만들었더니 통과대역 리플이 2.5 dB 나왔습니다. 왜?

exercises/04-08-chebyshev-tolerance.yaml

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