2차 시스템 — 오버슈트와 정착 시간

한 줄 요약 — 출렁임의 정체는 숫자 하나, 감쇠비 $\zeta$ 입니다. 오버슈트도 정착 시간도 위상 여유도 전부 여기서 나옵니다.

이 문서는 다른 장이 표로만 주던 숫자들의 출처입니다.

왜 2차인가

1차 회로(RC 하나)는 절대 출렁이지 않습니다. 에너지를 저장하는 곳이 하나뿐이라 갈 곳이 없기 때문입니다. 출렁이려면 에너지를 주고받을 상대가 있어야 합니다.

세 번째가 핵심입니다. LC를 하나도 안 썼는데 OP앰프 회로가 울리는 이유가 이것입니다 — 부귀환부귀환부귀환 negative feedback출력의 일부를 되돌려 빼면 이득은 줄지만 정확도·선형성·대역폭·임피던스가 모두 좋아집니다.$$A_{CL} = \frac{A}{1+A\beta}$$자세히 보기 →이 두 번째 저장소 역할을 합니다.

표준형

에너지 저장소가 둘인 선형 회로는 전부 이 꼴로 정리됩니다.

$Q$ 와는 이렇게 이어집니다.

여기서 4-05의 표가 바로 나옵니다. $Q = 0.5$ 는 $\zeta = 1$, 즉 임계 감쇠입니다. 외워야 할 표가 아니라 정의였습니다.

극점의 위치가 곧 파형

분모를 0으로 두면 극점(pole)극점(pole)극점 pole전달함수의 분모가 0이 되는 지점으로, 극점 하나가 곧 시정수 하나이고 −20 dB/dec 기울기 하나입니다.자세히 보기 →이 나옵니다.

시간 응답은 $e^{st}$ 의 합이므로 실수부는 사라지는 속도, 허수부는 울리는 주파수입니다.

마지막 줄이 안정성의 정의입니다. 극점이 s평면 왼쪽에 있으면 안정이고, 오른쪽으로 넘어가면 발진합니다.

오버슈트 — 4%가 어디서 나오는가

계단 입력의 응답을 미분해 0이 되는 첫 지점(첫 봉우리)을 찾으면

이때의 값에서 최종값을 빼면 넘친 양입니다.

$\zeta = 0.707$ 에서 4% — 다른 장에서 “오버슈트 4%“로 나오던 그 값입니다. 버터워스가 $Q = 0.707$ 인 것과 같은 지점이라는 것도 여기서 보입니다.

위상 여유와 감쇠비

위상 여유위상 여유위상 여유 phase margin루프 이득이 1이 되는 주파수에서 발진까지 얼마나 남았는지를 각도로 나타낸 값입니다.$$\mathrm{PM} = 180^\circ + \angle T(f_{0\mathrm{dB}})$$자세히 보기 →는 주파수 영역의 양이고 오버슈트는 시간 영역의 양인데, 둘 다 $\zeta$ 를 거쳐 이어집니다. 2차 시스템에서

생긴 것이 험하지만 $\zeta \lesssim 0.7$ 에서는 놀랄 만큼 잘 맞는 근사가 있습니다.

45°~65° 에서는 근사가 1~3%p 안쪽으로 맞습니다. 70°를 넘으면 벌어지므로 (76° 행에서 2.5% 대 0%) 그 위에서는 위 식을 직접 풉니다. 설계에서 겨냥하는 곳이 대개 60° 근처라 이 근사로 충분합니다.

이제 13-04의 표를 외울 필요가 없습니다. PM을 100으로 나누면 $\zeta$, $\zeta$ 를 지수식에 넣으면 오버슈트입니다.

⚠️ 저 표에서 60°를 “오버슈트 4%“라고 적은 곳이 있는데, 정확히는 약 9% 입니다. 4%는 $\zeta = 0.707$, 즉 PM 약 65° 에 해당합니다. 설계 목표를 “오버슈트 4% 이하”로 잡았다면 PM은 60°가 아니라 65° 이상이어야 합니다.

정착 시간 — 세틀링 공식이 언제 틀리는가

포락선이 $e^{-\zeta\omega_n t}$ 이므로, 오차 $\varepsilon$ 안에 들어오는 시간은

$n$비트 정확도는 $\varepsilon = 2^{-(n+1)}$ 이므로 $-\ln\varepsilon = 0.693(n+1)$,

1차 회로에서 $\zeta\omega_n \to 1/\tau$ 이면 $t_s = 0.693(n+1)\tau$ — 공식 모음에 있던 그 식입니다.

그런데 2차에서는 $\zeta\omega_n$ 이 분모입니다. 여기서 두 가지가 갈립니다.

$\zeta\omega_n$ 이 일정하면 $\zeta$ 를 줄여도 포락선은 그대로인데 울림 때문에 오차 창을 벗어났다 들어왔다 합니다. 그래서 실제 정착은 위 식보다 나빠집니다.

💡 가장 빨리 정착시키려면 $\zeta \approx 0.7\sim0.8$ 입니다. 더 감쇠시키면 느려지고, 덜 감쇠시키면 울림이 정착을 늦춥니다. 다채널 멀티플렉서의 채널당 시간을 정할 때 이것이 상한을 만듭니다 (16-00 7단계).

계산 예제

예제 1 — 케이블을 물린 버퍼의 오버슈트

출력 저항 $R_o = 50\ \Omega$ 인 버퍼에 케이블 용량 $C_L = 2$ nF, 그리고 OP앰프의 GBWGBW이득대역폭곱 gain-bandwidth productOP앰프가 낼 수 있는 이득과 대역폭의 곱은 일정하므로, 이득을 키우면 대역이 그만큼 줄어듭니다.$$f_{-3\mathrm{dB}} = \frac{\mathrm{GBW}}{G_N}$$자세히 보기 →가 10 MHz 입니다. 링잉이 얼마나 날까요?

부하 극점:

버퍼는 $G_N = 1$ 이므로 루프 이득이 1이 되는 곳이 GBW = 10 MHz 인데, 그 전에 부하 극점 1.6 MHz 가 있습니다. 두 극점이 모두 교차 주파수 아래이므로 위상은 거의 −180°, 즉 PM ≈ 0.

$\zeta \approx 0 \Rightarrow M_p \approx 100\%$ — 반쯤 발진합니다. 실제로 이런 회로는 계단 입력에 심하게 울립니다.

예제 2 — 직렬 저항으로 얼마나 감쇠시킬 것인가

위 회로에 $R_{iso}$ 를 직렬로 넣어 오버슈트를 10% 아래로 만들려면?

$M_p < 0.10 \Rightarrow \zeta > 0.59$. PM 근사로 약 59° 이상이 필요합니다.

$R_{iso}$ 는 부하 극점을 밀어내고 영점을 하나 만듭니다.

영점이 교차 주파수 근처에 오게 잡으면 위상이 회복됩니다. $f_z \approx 3$ MHz 로 두면

E24에서 27 Ω. 7-07이 경험식으로 주던 값과 같은 자리에 도착합니다.

시뮬레이션으로 확인

# examples/04-ac-frequency/rlc-damping.yaml
meta:
  name: RLC 감쇠비와 링잉
  lesson: docs/04-ac-frequency/07-second-order.md
  note: R1을 10 → 200 → 630 Ω 으로 바꾸며 계단 응답의 오버슈트를 비교. 630 Ω 에서 ζ=1
components:
  - {ref: V1, type: vpulse, params: {v1: 0, v2: 1, td: 0, tr: 1n, tf: 1n, pw: 2m, per: 4m}}
  - {ref: R1, type: r, value: 10, label: 감쇠 저항, sweep: {min: 1, max: 1k}}
  - {ref: L1, type: l, value: 10m}
  - {ref: C1, type: c, value: 100n}
nets:
  IN: [V1.p, R1.1]
  MID: [R1.2, L1.1]
  OUT: [L1.2, C1.1]
  GND: [V1.n, C1.2]
analyses:
  - {type: tran, tstep: 1u, tstop: 4m}
expect:
  # R1 = 10 Ω 은 **거의 감쇠가 없는** 쪽입니다.
  #   ω_n = 1/√(LC) = 31.6 krad/s → f_n = 5.03 kHz
  #   ζ   = (R/2)√(C/L) = 5 × √(100n/10m) = 0.0158
  #   오버슈트 = e^(−πζ/√(1−ζ²)) = 95.2%  → 첫 봉우리 ≈ 1.95 V
  # 첫 봉우리는 링잉 반주기 뒤, 약 99 µs 에 옵니다.
  - {measure: v, node: OUT, at: 99u, analysis: tran, value: 1.95, tol: 5%}
  # 한 주기 뒤(199 µs)의 첫 골. 포락선이 e^(−199µ/2m) = 0.905 로 줄었으므로
  #   1 − 0.905 ≈ 0.095 V
  - {measure: v, node: OUT, at: 199u, analysis: tran, value: 0.095, tol: 0.03}
  # 포락선은 τ = 2L/R = 2 ms 로만 줄어듭니다. tstop 4 ms 안에 1 V 로
  # 정착하지 **못합니다** — 그것을 보려면 note 대로 R1 을 630 Ω (ζ=1) 으로
  # 올려야 합니다.

$\omega_n = 1/\sqrt{LC} = 31.6$ krad/s ($f_0 = 5.03$ kHz), $\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{C/L} = \frac{10}{2}\sqrt{10^{-7}/10^{-2}} = 0.0158$.

거의 감쇠가 없으므로 오버슈트 95% 가 나와야 합니다. R을 630 Ω 으로 바꾸면 $\zeta = 1$ 이 되어 오버슈트가 사라지는지 확인하세요.

⚖️ 부품 트레이드오프

🔌 실제 쓰임새

⚠️ 이상과 실제의 차이

⚠️ 16비트 정착을 요구하면서 스코프로 “다 안정됐다”고 판단하면 안 됩니다. 16비트는 0.0015% 이고, 스코프 화면에서 그것은 선 굵기보다 얇습니다.

연습문제

문제 1. $\zeta = 0.5$ 인 회로의 오버슈트는?

문제 2. 오버슈트를 2% 이하로 만들려면 위상 여유가 최소 얼마여야 합니까?

exercises/04-07-overshoot-margin.yaml

문제 3. 12비트 ADC 앞단이 $\tau = 1\ \mu$s 인 1차 회로일 때 필요한 정착 시간을 구하고, 같은 대역폭의 2차 회로($\zeta = 0.3$)로 바꾸면 왜 더 오래 걸리는지 설명하세요.

exercises/04-07-settling-1st-vs-2nd.yaml

문제 4. 어떤 LDO가 $C_{out}$ 의 ESR이 너무 낮으면 발진한다고 데이터시트에 적혀 있습니다. ESR이 왜 안정성에 도움이 되는지 이 문서의 언어로 설명하세요.

exercises/04-07-esr-stability.yaml

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