정현파와 RMS

한 줄 요약 — RMS는 “같은 열을 내는 DC 전압”입니다. 노이즈를 다룰 때는 거의 항상 RMS로 이야기합니다.

정현파

v(t) = V_p\sin(2\pi f t + \phi)

기호

phi위상phase°

f주파수frequencyHz

t시간times

v전압 (순시값)instantaneous voltageV

V_p피크 전압peak voltageV

기호	의미
$V_p$	진폭 (peak)
$f$	주파수 [Hz]
$\omega = 2\pi f$	각주파수 [rad/s]
$\phi$	위상(phase) [rad]
$T = 1/f$	주기

진폭 표기 세 가지

표기	의미	정현파에서
$V_p$ (peak)	0에서 최대까지	$V_p$
$V_{pp}$ (peak-to-peak)	최소에서 최대까지	$2V_p$
$V_{rms}$	실효값(RMS)	$V_p/\sqrt{2} \approx 0.707V_p$

⚠️ 데이터시트에서 어느 표기인지 반드시 확인하세요. 오실로스코프(oscilloscope)는 보통 $V_{pp}$ 를, 멀티미터(multimeter)는 $V_{rms}$ 를 표시합니다.

RMS (실효값)

V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt}

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

t시간times

T온도 또는 주기temperature or period

v전압 (순시값)instantaneous voltageV

V_rms실효값 전압rms voltageV

의미

저항에 같은 열을 발생시키는 DC 전압입니다.

P_{avg} = \frac{V_{rms}^2}{R}

기호

P_avg평균 전력average powerW

R저항resistanceΩ

V_rms실효값 전압rms voltageV

즉 RMS로 계산하면 DC와 똑같이 전력을 다룰 수 있습니다.

파형별 RMS

파형	$V_{rms}$	파고율( $V_p/V_{rms}$ )
DC	$V$	1
정현파	$V_p/\sqrt2 = 0.707V_p$	1.414
사각파 (± $V_p$ )	$V_p$	1
삼각파	$V_p/\sqrt3 = 0.577V_p$	1.732
톱니파	$V_p/\sqrt3$	1.732
백색 잡음(가우시안)	$\sigma$	약 3~4 (통계적)

💡 잡음의 파고율(crest factor): 가우시안 잡음은 이론상 파고율이 무한대지만, 실무에서는 3σ(99.7%) 또는 4σ를 피크로 봅니다. 즉 잡음의 rms가 10 µV라면 피크는 30~40 µV까지 나타납니다. 동적 범위를 계산할 때 이 여유를 반드시 잡아야 합니다.

★ 노이즈에서의 RMS

노이즈는 랜덤이라 순간값이 의미가 없습니다. 항상 rms로 표현합니다.

잡음 밀도

\text{잡음 밀도} \ [\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}]

주파수 1 Hz 폭당 잡음의 rms입니다. 전체 잡음은 대역폭(bandwidth)에 대해 적분합니다.

v_{n,total} = e_n\sqrt{\Delta f} \quad (\text{잡음 밀도가 평탄한 경우})

기호

Delta f대역폭bandwidthHz

e_n입력 환산 전압 잡음 밀도input-referred voltage noise densityV/√Hz

f주파수frequencyHz

v_n,total잡음 전체 전압 (순시값)noise total instantaneous voltageV

예: OP앰프 잡음 밀도(noise density)잡음 밀도 noise density1 Hz 폭당 잡음의 크기로, 여기에 √대역폭을 곱해야 실제 잡음 전압이 됩니다. $v_n = e_n\sqrt{\Delta f}$ 자세히 보기 → 5 nV/√Hz, 대역폭 10 kHz

v_n = 5\times10^{-9}\times\sqrt{10^4} = 5\times10^{-9}\times100 = 500\ \text{nV} = 0.5\ \mu\text{V (rms)}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

v_n잡음 전압 (실효값)noise voltage (rms)V

노이즈 대역폭 vs −3 dB 대역폭

1차 RC 필터의 잡음 등가 대역폭(noise equivalent bandwidth)잡음 대역폭 noise equivalent bandwidth실제 필터가 통과시키는 잡음의 양을 같은 양의 잡음을 통과시키는 이상적인 벽돌담 필터의 폭으로 바꾼 값입니다. $\Delta f_n = k\,f_{-3\mathrm{dB}}$ 자세히 보기 →은 −3 dB 대역폭보다 넓습니다:

\Delta f_{noise} = \frac{\pi}{2}f_{-3dB} \approx 1.57 f_{-3dB}

기호

Delta f대역폭bandwidthHz

f_-3dB−3 dB 대역폭−3 dB bandwidthHz

f_noise주파수 (noise)frequency (noise)Hz

필터가 차단주파수(cutoff frequency)차단 주파수 cutoff frequency필터의 출력이 입력보다 −3 dB(약 0.707배)로 떨어지는 주파수입니다. $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$ 자세히 보기 → 위에서도 완전히 막지 못하기 때문입니다.

필터 차수	$\Delta f_{noise}/f_{-3dB}$
1차	1.571
2차 (버터워스)	1.111
3차	1.047
4차	1.026

차수가 높을수록 잡음 대역폭이 −3 dB 대역폭에 가까워집니다. 이것이 급격한 필터를 쓰는 이유 중 하나입니다 → 13-06

계산 예제

예제 1 — 콘센트 전압

한국 가정용 220 V는 rms 값입니다.

V_p = 220 \times \sqrt2 \approx 311\ \text{V}

기호

V_p피크 전압peak voltageV

V_{pp} = 622\ \text{V}

기호

V_pp피크투피크 전압peak-to-peak voltageV

정류회로 설계에서는 피크 값을 기준으로 부품 내압을 정해야 합니다 → 5-02

예제 2 — 신호 대 잡음비(SNR)

ECoG 신호 50 µV(rms), 잡음 2 µV(rms):

\text{SNR} = 20\log_{10}\frac{50}{2} = 20\log_{10}25 \approx 28\ \text{dB}

기호

SNR신호 대 잡음비signal-to-noise ratiodB

예제 3 — 필요한 잡음 밀도 역산

대역폭 5 kHz에서 총 잡음을 1 µV(rms) 이하로 하려면, 필요한 잡음 밀도는?

1차 필터라면 잡음 대역폭은 $1.57\times5\text{k} = 7.85$ kHz.

e_n = \frac{1\times10^{-6}}{\sqrt{7850}} \approx 11.3\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}

기호

e_n입력 환산 전압 잡음 밀도input-referred voltage noise densityV/√Hz

11 nV/√Hz 이하의 증폭기가 필요합니다. 일반 범용 OP앰프(예: TL072는 18 nV/√Hz)로는 부족하고, 저잡음 품목(OPA1612는 1.1 nV/√Hz, AD8429는 1 nV/√Hz)을 써야 합니다.

이 역산이 13-02 노이즈 예산에서 부품을 고르는 방법입니다.

시뮬레이션으로 확인

정현파의 RMS 확인워크벤치에서 열기 →

# examples/04-ac-frequency/rms-check.yaml
meta:
  name: 정현파의 RMS 확인
  lesson: docs/04-ac-frequency/01-sinusoid-rms.md
components:
  - {ref: V1, type: vsin, params: {offset: 0, amp: 1, freq: 1k}}
  - {ref: R1, type: r, value: 1k}
nets:
  IN:  [V1.p, R1.1]
  GND: [V1.n, R1.2]
analyses:
  - {type: tran, tstep: 1u, tstop: 5m}
expect:
  - {measure: v, node: IN, at: 250u, analysis: tran, value: 1.0, tol: 2%}   # 1/4 주기 = 피크

진폭 1 V 정현파의 rms는 0.707 V이고, 1 kΩ에서 평균 전력은 $0.707^2/1000 = 0.5$ mW입니다.

⚖️ 트레이드오프 — 대역폭과 잡음

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
대역폭을 좁힘	잡음이 $\sqrt{\Delta f}$ 로 감소	신호가 왜곡·감쇠, 응답 느려짐
대역폭을 넓힘	신호 충실도, 빠른 응답	잡음 증가, 에일리어싱(aliasing)에일리어싱 aliasing샘플링 주파수의 절반보다 높은 성분이 낮은 주파수인 척 되접혀 들어오는 현상으로, 한 번 섞이면 되돌릴 수 없습니다.자세히 보기 → 위험
필터 차수를 높임	잡음 대역폭이 신호 대역에 근접 → 효율적 잡음 제거	부품 증가, 위상 왜곡·군지연(group delay), 링잉, 안정성
평균화(averaging)	$N$ 회 평균으로 잡음 $1/\sqrt N$ 감소	시간 해상도 손실, 실시간성 저하

💡 잡음을 반으로 줄이려면 대역폭을 1/4로 줄여야 합니다 ( $\sqrt{\Delta f}$ 관계). 반대로 대역폭을 2배 늘리면 잡음은 1.41배만 커집니다. 이 비대칭성이 설계 판단에 중요합니다.

🔌 실제 쓰임새

개념	어디에
RMS	전력 계산, 잡음 표현, 멀티미터 판독
Peak	부품 내압, 클리핑 여유, ADC 범위
Peak-to-peak	오실로스코프 판독, 신호 진폭
파고율	ADC 동적 범위 여유 계산 (잡음은 3~4σ)
잡음 밀도	OP앰프·저항 선정 (13-02)
잡음 대역폭	필터 설계 후 실제 잡음 계산

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
멀티미터가 RMS 표시	저가 멀티미터는 “평균 정류(rectification)정류 rectification교류를 한쪽 방향으로만 흐르게 걸러 직류로 만드는 일입니다.자세히 보기 → + 1.11배” — 정현파에서만 정확. 왜곡된 파형이나 잡음은 크게 틀림. True RMS 제품이 필요
잡음 밀도가 평탄	저주파에서 1/f 잡음이 급증 (12-01)
잡음 피크 = rms	피크는 rms의 3~4배
파형이 순수 정현파	고조파 왜곡(THD)이 존재

⚠️ True RMS가 아닌 멀티미터로 스위칭 전원(SMPS)의 리플이나 잡음을 측정하면 값이 크게 틀립니다. 사각파에서는 11% 낮게, 잡음에서는 훨씬 더 부정확합니다.

연습문제

문제 1. 오실로스코프에서 $V_{pp} = 2$ V인 정현파를 봤습니다. RMS는?

exercises/04-01-vpp-to-rms.yaml

풀이

V_p = 1\ \text{V}, \qquad V_{rms} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707\ \text{V}

기호

V_rms실효값 전압rms voltageV

V_p피크 전압peak voltageV

문제 2. 잡음 밀도 8 nV/√Hz인 증폭기를 대역폭 1 kHz(1차 RC 필터)로 제한했습니다. 출력 잡음(rms)은?

연습 4-01-2 — 8 nV/√Hz 를 1 kHz 로 자르면 얼마가 남나워크벤치에서 열기 →

풀이

잡음 등가 대역폭:

\Delta f_n = 1.57 \times 1000 = 1570\ \text{Hz}

기호

Delta f대역폭bandwidthHz

f_n잡음 주파수noise frequencyHz

v_n = 8\times10^{-9}\times\sqrt{1570} \approx 8\times10^{-9}\times39.6 = 317\ \text{nV} = 0.317\ \mu\text{V}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

v_n잡음 전압 (실효값)noise voltage (rms)V

약 0.32 µV(rms). 피크로는 3σ 기준 약 0.95 µV까지 나타납니다.

문제 3. 50 µV(rms) 신호를 12비트 ADC(입력 범위 ±1 V)로 읽습니다. 잡음 피크 여유를 4σ로 잡을 때, 필요한 게인과 그때의 잡음 요구사항은?

exercises/04-01-gain-for-adc.yaml

풀이

게인: 신호를 ADC 범위에 맞춥니다. 신호 피크를 rms의 4배(생체 신호는 버스트가 있음)로 보고 200 µV(peak)라 하면, 여유를 두어 ±0.5 V를 목표로:

G = \frac{0.5\ \text{V}}{200\ \mu\text{V}} = 2500\ \text{배} \ (68\ \text{dB})

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

G컨덕턴스conductanceS

ADC 분해능(resolution)분해능 resolutionADC 가 구분할 수 있는 가장 작은 전압 차이로, 비트 수와 기준전압으로 정해집니다. $1\,\mathrm{LSB} = V_{ref}/2^n$ 자세히 보기 →: 12비트, ±1 V → LSB = $2/4096 = 488\ \mu\text{V}$

입력 환산으로는 $488\mu\text{V}/2500 = 0.195\ \mu\text{V}$

잡음 요구사항: 입력 환산 잡음(input-referred noise)입력환산잡음 input-referred noise회로 곳곳의 잡음을 입력단 하나로 몰아 표현한 값으로, 신호와 직접 견줄 수 있어 판정에 씁니다.자세히 보기 →이 ADC의 LSB보다 작아야 ADC 분해능이 의미가 있습니다.

v_{n,input} < 0.195\ \mu\text{V (rms)}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

v_n,input전압 (순시값) (잡음, input)instantaneous voltage (noise, input)V

즉 입력 환산 잡음 0.2 µV(rms) 이하가 목표입니다. 대역폭 5 kHz(잡음 대역 7.85 kHz) 기준:

e_n < \frac{0.195\times10^{-6}}{\sqrt{7850}} \approx 2.2\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}

기호

e_n입력 환산 전압 잡음 밀도input-referred voltage noise densityV/√Hz

2.2 nV/√Hz 이하의 초저잡음 증폭기가 필요합니다. 그리고 1-05에서 봤듯 소스 저항이 300 Ω만 넘어도 저항 열잡음만으로 이 한계에 걸립니다 — 전극 임피던스가 MΩ급이면 애초에 불가능합니다.

그래서 목표를 현실적으로 재설정해야 합니다. 전극(electrode) 임피던스(impedance)임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다. $Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$ 자세히 보기 →가 정해져 있으면 열잡음이 바닥을 정하고, 그 바닥에 맞춰 ADC 분해능과 대역폭을 정하는 것이 올바른 순서입니다. 이 역산 과정이 16-00 방법론 3단계입니다.

다음 → 02 페이저와 복소 임피던스