dB와 보드선도

한 줄 요약 — dB는 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 도구. 보드선도(Bode plot)는 회로의 주파수 특성을 직선 몇 개로 그리는 방법입니다.

데시벨 (dB)

⚠️ 전압은 20, 전력은 10입니다. 전력이 전압의 제곱에 비례하기 때문입니다.

외워야 할 값

규칙: 2배 = 6 dB, 10배 = 20 dB. 이 둘만 알면 조합으로 다 만듭니다.

• 4배 = 12 dB, 8배 = 18 dB
• 20배 = 26 dB, 50배 = 34 dB
• 2000배 = 66 dB

왜 dB를 쓰는가

증폭기를 여러 개 연결하면 이득이 곱해집니다:

dB로 하면 더하기가 됩니다:

신호 체인의 게인 배분을 계산할 때 훨씬 편합니다 → 13-02

절대 단위 (기준이 붙은 dB)

예: 50 µV를 dBV로: $20\log_{10}(50\times10^{-6}) = -86\ \text{dBV}$

보드선도

가로축은 로그 주파수, 세로축은 dB 이득과 위상(phase)입니다.

핵심 아이디어

전달함수(transfer function)전달함수(transfer function)전달함수 transfer function입력이 출력으로 어떻게 바뀌는지를 s 의 유리식 하나로 적은 것으로, 회로의 성질이 여기 다 들어 있습니다.$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}$$자세히 보기 →를 극(pole)과 영점(zero)영점(zero)영점 zero전달함수의 분자가 0이 되는 지점으로, 극점과 반대로 기울기를 +20 dB/dec 올립니다.자세히 보기 →으로 분해하면, 각각이 직선 근사를 만들고 그것들을 더하면 전체 응답이 됩니다.

그리는 법 (1차 LPF)

1. $f \ll f_c$: 0 dB 수평선
2. $f_c$에서 꺾임
3. $f > f_c$: −20 dB/dec 직선
4. 실제 곡선은 $f_c$에서 −3 dB (직선 근사보다 3 dB 아래)

위상:

• $f < f_c/10$: 0°
• $f_c$: −45°
• $f > 10f_c$: −90°
• 그 사이는 −45°/decade 기울기로 직선 근사

★ 위상 여유와 안정성

보드선도의 가장 중요한 실전 용도입니다.

피드백 회로에서 루프 이득이 1(0 dB)이 되는 주파수를 $f_{0dB}$라 할 때:

극이 2개 이상 겹치면 위상이 −180°를 넘어 발진합니다. OP앰프 출력에 큰 커패시터(capacitor)를 달면 극이 하나 더 생겨 이 일이 벌어집니다 → 7-07

이득 대역폭 곱 (GBW)

내부 보상된 OP앰프는 −20 dB/dec로 떨어지는 단일 극 특성을 갖도록 설계됩니다. 그래서:

예: GBW = 10 MHz인 OP앰프

⚠️ 게인을 1000배로 하면 대역폭(bandwidth)이 10 kHz밖에 안 됩니다. 5 kHz 신호를 보려면 아슬아슬합니다. 이것이 게인을 여러 단으로 나누는 이유입니다:

1000배 1단 → 대역폭 10 kHz 32배 × 32배 2단 → 각 단 대역폭 312 kHz, 전체 약 200 kHz

같은 총 게인인데 대역폭이 20배 넓습니다. → 13-02

계산 예제

예제 1 — 신호 체인 게인 계산

전극(electrode) 50 µV → 최종 1 V가 목표.

3단으로 나누면: 각 단 약 28.7 dB (27배)

GBW 10 MHz OP앰프에서 각 단 대역폭: $10\text{MHz}/27 = 370$ kHz ✅ 충분

1단으로 하면: $10\text{MHz}/20000 = 500$ Hz ❌ 완전히 부족

예제 2 — 필터 감쇠량을 dB로

4차 버터워스 LPF($f_c = 5$ kHz)가 50 kHz에서:

$10f_c$이고 4차는 −80 dB/dec이므로 −80 dB.

12비트 ADC의 SNR은 약 74 dB이므로 충분합니다 ✅

시뮬레이션으로 확인

# examples/04-ac-frequency/bode-plot.yaml
meta:
  name: 보드선도 확인 (2차 필터)
  lesson: docs/04-ac-frequency/04-bode.md
components:
  - {ref: V1, type: vac, value: 1}
  - {ref: R1, type: r, value: 1.59k}
  - {ref: C1, type: c, value: 100n}
  - {ref: R2, type: r, value: 15.9k}
  - {ref: C2, type: c, value: 10n}
nets:
  IN:  [V1.p, R1.1]
  MID: [R1.2, C1.1, R2.1]
  OUT: [R2.2, C2.1]
  GND: [V1.n, C1.2, C2.2]
analyses:
  - {type: ac, sweep: dec, points: 50, fstart: 1, fstop: 1MEG}
expect:
  # 두 극이 모두 1 kHz (1.59k×100n = 15.9k×10n = 159 µs).
  # 100 kHz 는 두 십년 위이므로 −40 dB/dec × 2 = **−80 dB**.
  # (예전에는 −40 이라고 적혀 있었는데, 그것은 이득이 아니라 기울기입니다)
  - {measure: gain_db, node: OUT, at: 100k, analysis: ac, value: -80, tol: 3}
  # 기울기가 정말 2차인지도 못 박아 둡니다
  - {measure: gain_db, node: OUT, at: 10k, analysis: ac, value: -40, tol: 3}

⚠️ 이 예제는 패시브 2단이 서로 부하가 되어 이상적인 −40 dB/dec가 정확히 나오지 않습니다. 2단 임피던스(impedance)임피던스(impedance)임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다.$$Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$$자세히 보기 →를 10배로 잡아 영향을 줄였지만 여전히 오차가 있습니다. 이것이 액티브 필터로 단을 분리하는 이유입니다 (7-05).

⚖️ 트레이드오프 — 게인 배분

💡 프리즈 공식(Friis formula)프리즈 공식(Friis formula)프리즈 공식 Friis formula여러 단을 이었을 때 전체 잡음은 첫 단이 거의 다 정한다는 것을 보여 주는 식입니다.$$v_{tot}^2 = v_1^2 + \frac{v_2^2}{A_1^2} + \cdots$$자세히 보기 →: 전체 잡음 지수(noise figure)잡음 지수(noise figure)잡음 지수 noise figure신호원의 열잡음에 견줘 이 회로가 잡음을 얼마나 더했는지를 dB로 나타낸 값입니다.$$\mathrm{NF} = 10\log_{10}\frac{\mathrm{SNR}_{in}}{\mathrm{SNR}_{out}}$$자세히 보기 →는

$$F_{total} = F_1 + \frac{F_2-1}{G_1} + \frac{F_3-1}{G_1G_2} + \cdots$$

기호

F_total전체 잡음 지수total noise figure

F_11번 잡음 지수noise figure 1

F_22번 잡음 지수noise figure 2

F_33번 잡음 지수noise figure 3

G_11번 컨덕턴스conductance 1S

G_22번 컨덕턴스conductance 2S

첫 단의 게인 $G_1$이 크면 뒷단의 잡음 기여가 나눠집니다. 그래서 “저잡음 프리앰프를 신호원 가까이, 게인을 충분히”가 원칙입니다. → 13-02

🔌 실제 쓰임새

⚠️ 이상과 실제의 차이

⚠️ 데이터시트의 위상 여유는 특정 부하 조건(보통 무부하 또는 작은 용량)에서의 값입니다. 실제 회로에서 케이블이나 다음 단의 입력 용량이 붙으면 위상 여유가 사라져 발진할 수 있습니다.

연습문제

문제 1. 전압 이득이 250배입니다. dB로는?

exercises/04-04-gain-in-db.yaml

문제 2. GBW 5 MHz OP앰프로 이득 200배 증폭기를 만들면 대역폭은? 5 kHz 신호에 충분합니까?

문제 3. 86 dB의 총 게인이 필요합니다. GBW 10 MHz OP앰프로 최소 200 kHz 대역폭을 확보하려면 몇 단이 필요합니까?

exercises/04-04-stage-count.yaml

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