대역폭 제약과 안정성

한 줄 요약 — GBW가 게인과 대역폭(bandwidth)을 맞바꾸고, 기생 극이 위상 여유(phase margin)를 갉아먹습니다.

대역폭 제약의 세 가지 원인

1. GBW 제약

$G_N$은 잡음 이득(noise gain)잡음 이득(noise gain)잡음 이득 noise gain신호가 아니라 OP앰프 자신의 오차와 잡음이 받는 이득으로, 안정성 판정도 이 값으로 합니다.$$G_N = 1 + \frac{R_f}{R_g}$$자세히 보기 →입니다 (7-02).

다단의 대역폭 축소

동일한 1차 단 $n$개를 직렬로 연결하면:

3단이면 각 단 대역폭의 51%만 남습니다.

설계 계산

목표: 총 게인 2500, 대역폭 20 kHz, GBW 10 MHz

1단으로: $f = 10\text{M}/2500 = 4$ kHz ❌

2단으로: 각 50배 → 단당 200 kHz → 전체 $200\text{k}\times0.644 = 129$ kHz ✅

3단으로: 각 13.6배 → 단당 735 kHz → 전체 375 kHz ✅ (여유 충분)

2단이면 충분하지만, 옵셋·필터 삽입을 고려하면 3단이 실용적일 때가 많습니다.

2. 안정성 — 위상 여유

$T$는 루프 이득입니다.

💡 위상 여유는 $\zeta \approx \text{PM}/100$ 으로 감쇠비감쇠비감쇠비 damping ratio2차 시스템이 얼마나 출렁이는지를 정하는 값으로, 오버슈트와 정착 시간이 모두 여기서 나옵니다.$$\zeta = \frac{1}{2Q}$$자세히 보기 →가 되고, 오버슈트는 $M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ 로 감쇠비에서 나옵니다. 오버슈트 4% 를 원하면 60° 가 아니라 65° 를 겨냥해야 합니다 — 유도는 4-07 2차 시스템에 있습니다.

위상 여유를 깎는 것들

★ 반전 입력 용량 — TIA와 고임피던스 피드백

$C_{in}$ 이 문제를 만드는 이유 — 반전 노드에 붙은 모든 용량(포토다이오드 접합 + 배선 + OP앰프 입력)이 $R_f$ 와 만나 피드백 루프 안에 극을 만듭니다. 그 극이 루프 이득이 1 이 되기 전에 나타나면 위상 여유가 사라져 발진합니다.

같은 주파수를 두 이름으로 부르게 되므로 한 번 정리하고 갑니다. 귀환율 $\beta$ 는 여기서부터 떨어지기 시작합니다 — 루프 이득 $T = A\beta$ 로 보면 극입니다. 반대로 잡음 이득 $G_N = 1/\beta$ 는 여기서부터 올라갑니다 — 잡음 이득으로 보면 영점입니다.

둘은 서로 뒤집힌 그림이라 같은 사실을 말합니다. 보드선도를 잡음 이득으로 그리는 관행(데이터시트가 그렇게 그립니다) 때문에 “영점”이라는 말이 더 자주 쓰입니다. 아래에서는 루프 이득 쪽 이름인 극으로 부르겠습니다.

이 극이 $f_{0dB}$ 아래에 있으면 위상(phase) 여유가 사라집니다. 대책은 $C_f$ 를 $R_f$ 와 나란히 넣어 그 위에 영점을 하나 만들어 상쇄하는 것입니다.

보상 — 피드백 커패시터

$R_f$에 병렬로 $C_f$를 달아 영점을 만듭니다.

대역폭:

계산 예제

$R_f$ = 1 MΩ, $C_{in}$ = 20 pF, GBW = 10 MHz:

⚠️ 0.56 pF은 PCB 기생 용량 수준입니다. 실제로는 레이아웃 기생만으로 보상이 될 수도, 과보상이 될 수도 있습니다. 실측으로 조정해야 합니다.

★ 대역폭과 잡음의 트레이드오프

대역폭을 넓히면 잡음도 늘어납니다.

필요한 대역만 확보하세요. 여유를 과하게 두면 잡음만 늘어납니다.

적정 여유: 신호 대역의 2~5배 (파형 충실도 요구에 따라)

★ 다단 시스템의 대역 계획

각 단의 대역폭을 어디에 둘 것인가:

💡 권장: 증폭단은 넓게, 대역 제한은 전용 필터로. 그래야 필터 특성(베셀/버터워스)을 의도대로 얻을 수 있습니다.

단, 에일리어싱(aliasing)에일리어싱(aliasing)에일리어싱 aliasing샘플링 주파수의 절반보다 높은 성분이 낮은 주파수인 척 되접혀 들어오는 현상으로, 한 번 섞이면 되돌릴 수 없습니다.자세히 보기 → 방지 필터는 반드시 ADC 직전에 있어야 합니다 (10-04).

시뮬레이션으로 확인

# examples/13-signal-chain/tia-compensation.yaml
meta:
  name: TIA 피드백 보상
  lesson: docs/13-signal-chain/04-bandwidth-stability.md
  note: CF를 0/0.5p/2p로 바꾸며 스텝 응답의 링잉을 비교
components:
  - {ref: VP,  type: vdc, value: 5}
  - {ref: VN,  type: vdc, value: -5}
  - {ref: I1,  type: ipulse, params: {i1: 0, i2: 1u, td: 1u, tr: 10n, tf: 10n, pw: 20u, per: 50u}}
  - {ref: CPD, type: c, value: 20p, label: 포토다이오드 용량}
  - {ref: RF,  type: r, value: 1MEG}
  - {ref: CF,  type: c, value: 0.56p, label: 보상 커패시터}
  - {ref: U1,  type: opamp, model: OPA140}
nets:
  VCC: [VP.p, U1.'v+']
  VEE: [VN.p, U1.'v-']
  IN:  [I1.p, CPD.1, RF.1, CF.1, U1.'in-']
  OUT: [U1.out, RF.2, CF.2]
  GND: [VP.n, VN.n, I1.n, CPD.2, U1.'in+']
analyses:
  - {type: tran, tstep: 10n, tstop: 50u}
  - {type: ac, sweep: dec, points: 50, fstart: 100, fstop: 100MEG}

⚠️ CF는 RF와 병렬이어야 하므로 CF.1을 IN에 연결해야 합니다. (위 넷 정의에서 CF.1이 빠져 있으니 실제 파일에서는 IN: [..., CF.1]로 추가)

CF = 0이면 심한 링잉, 0.56 pF이면 깔끔한 스텝 응답이 나옵니다.

⚖️ 트레이드오프

🔌 실제 쓰임새

⚠️ 이상과 실제의 차이

연습문제

문제 1. GBW 20 MHz, 총 게인 1000, 대역폭 100 kHz가 필요합니다. 몇 단이 필요합니까?

exercises/13-04-stage-count-1000.yaml

문제 2. TIA에서 $R_f$ = 10 MΩ, $C_{in}$ = 50 pF, GBW = 5 MHz. 보상 커패시터와 대역폭은?

문제 3. 증폭기가 간헐적으로 발진합니다. 온도가 올라갈 때, 그리고 프로브(probe)를 떼면 심해집니다. 진단과 대책은?

exercises/13-04-intermittent-oscillation.yaml

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