액티브 필터

한 줄 요약 — OP앰프로 인덕터(inductor) 없이 급격한 필터를 만듭니다. 다만 OP앰프의 잡음과 대역폭(bandwidth) 한계가 그대로 들어옵니다.

왜 액티브인가

살렌-키 (Sallen-Key) 2차 저역통과

가장 흔한 구조입니다.

살렌-키 구조 읽는 법: R1·R2·C2 가 2차 저역통과를 만들고, OP앰프는 버퍼(이득 1) 로 동작합니다. 핵심은 C1 이 접지가 아니라 출력으로 되먹여진 것입니다 — 차단주파수 근처에서 출력이 C1 을 밀어 올려 응답을 살려 주기 때문에, 수동 2차 필터처럼 늘어지지 않고 원하는 모양이 나옵니다.

간편 설계 (동일 저항)

$R_1 = R_2 = R$로 두면:

버터워스(Q = 0.707): $C_1 = 2C_2$

설계 절차:

1. $C_2$를 적당한 값으로 선택 (1~10 nF)
2. $C_1 = 2C_2$
3. $R = \dfrac{1}{2\pi f_0\sqrt{C_1C_2}}$

예제

$f_0 = 5$ kHz 버터워스 LPF:

• $C_2 = 2.2$ nF, $C_1 = 4.7$ nF (≈2배)
• $\sqrt{C_1C_2} = \sqrt{4.7\times2.2}\times10^{-9} = 3.22$ nF
• $R = \dfrac{1}{2\pi\times5000\times3.22\times10^{-9}} \approx 9.9\ \text{k}\Omega$ → 10 kΩ

다중 피드백 (MFB) 2차

반전(inverting) 구성이라 이득도 제공하고, 고주파 특성이 살렌-키보다 좋습니다.

⚠️ 살렌-키의 고주파 누설: OP앰프의 이득이 떨어지는 고주파에서 $C_1$을 통해 입력이 출력으로 직접 새어나갑니다. 그래서 감쇠가 어느 지점에서 멈추고 다시 올라갑니다. 안티에일리어싱 필터(anti-aliasing filter)안티에일리어싱 필터(anti-aliasing filter)에일리어싱 aliasing샘플링 주파수의 절반보다 높은 성분이 낮은 주파수인 척 되접혀 들어오는 현상으로, 한 번 섞이면 되돌릴 수 없습니다.자세히 보기 →로 쓸 때 주의해야 합니다 — 샘플링 주파수 근처에서 감쇠가 부족할 수 있습니다.

대책: 앞에 간단한 패시브 RC를 하나 두거나, MFB를 씁니다.

차수를 높이려면 — 단을 연결

4차 = 2차 두 단, 6차 = 2차 세 단.

⚠️ 각 단의 $f_0$와 $Q$가 다릅니다. 버터워스 4차는:

필터 설계표나 툴(TI FilterPro, Analog Filter Wizard)을 쓰세요.

💡 Q가 높은 단을 뒤에 두는 것이 일반적입니다. Q가 높은 단은 통과대역 근처에서 이득이 커지므로, 앞에 두면 큰 신호에서 포화할 수 있습니다.

계산 예제 — 안티에일리어싱 필터 설계

요구: 신호 대역 5 kHz, 샘플링 50 kSPS, 12비트(74 dB 감쇠 @ 45 kHz)

차수 결정 (4-03):

응답 선택: 신경 스파이크(spike) 파형을 보존해야 하므로 베셀 (4-03)

⚠️ 베셀은 차단(cutoff)이 완만하므로 4차로는 부족할 수 있습니다. 확인: 베셀 4차의 45 kHz 감쇠는 버터워스보다 약 10 dB 낮습니다 → 약 66 dB. 부족

해결책 (선택):

1. 5차 베셀로 올림
2. 오버샘플링(oversampling)오버샘플링(oversampling)오버샘플링 oversampling필요한 것보다 빠르게 샘플링해 평균 내면 분해능이 올라가고 안티에일리어싱 필터가 쉬워집니다.$$\Delta n = \tfrac{1}{2}\log_2(\mathrm{OSR})$$자세히 보기 → — 샘플링을 200 kSPS로 올리면 $195/5 = 39$, $20\log 39 = 31.8$ dB/차수 → 3차면 충분. 그 뒤 디지털 필터로 다운샘플링 ← 권장
3. 버터워스로 바꾸고 파형 왜곡을 감수

오버샘플링이 거의 항상 더 나은 선택입니다. 아날로그 필터를 단순화하고(부품·잡음·왜곡 감소), 디지털에서 선형 위상 필터로 정밀하게 처리할 수 있습니다.

시뮬레이션으로 확인

# examples/07-opamp/sallen-key-lpf.yaml
meta:
  name: 살렌-키 2차 저역통과 (버터워스 5kHz)
  lesson: docs/07-opamp/05-active-filters.md
components:
  - {ref: VP,  type: vdc, value: 5}
  - {ref: VN,  type: vdc, value: -5}
  - {ref: VIN, type: vac, value: 1}
  - {ref: R1,  type: r, value: 10k}
  - {ref: R2,  type: r, value: 10k}
  - {ref: C1,  type: c, value: 4.7n}
  - {ref: C2,  type: c, value: 2.2n, sweep: {min: 470p, max: 22n}}
  - {ref: U1,  type: opamp, model: TL071}
nets:
  VCC: [VP.p, U1.'v+']
  VEE: [VN.p, U1.'v-']
  IN:  [VIN.p, R1.1]
  MID: [R1.2, R2.1, C1.1]
  INP: [R2.2, C2.1, U1.'in+']
  OUT: [U1.out, U1.'in-', C1.2]
  GND: [VP.n, VN.n, VIN.n, C2.2]
analyses:
  - {type: ac, sweep: dec, points: 50, fstart: 100, fstop: 10MEG}
expect:
  - {measure: gain_db, node: OUT, at: 5k,  analysis: ac, value: -3,  tol: 1.5}
  - {measure: gain_db, node: OUT, at: 50k, analysis: ac, value: -40, tol: 5}

50 kHz에서 −40 dB(2차 → −40 dB/dec)가 나오는지, 그리고 더 높은 주파수에서 감쇠가 멈추는지(살렌-키 누설) 확인해보세요.

⚖️ 부품 트레이드오프

⚠️ 필터의 커패시터는 반드시 C0G/NP0 또는 필름을 쓰세요. X7R을 쓰면 온도와 DC 바이어스에 따라 차단주파수(cutoff frequency)차단주파수(cutoff frequency)차단 주파수 cutoff frequency필터의 출력이 입력보다 −3 dB(약 0.707배)로 떨어지는 주파수입니다.$$f_c = \frac{1}{2\pi RC}$$자세히 보기 →가 ±20% 이상 움직입니다 (3-04).

저항값 선택의 정량적 기준

필터 저항의 열잡음이 시스템 잡음 예산 안에 들어야 합니다.

신호 체인 후단(이미 증폭된 곳)이라면 100 kΩ도 괜찮지만, 첫 단 근처라면 1~10 kΩ으로 낮춰야 합니다.

🔌 실제 쓰임새

⚠️ 이상과 실제의 차이

연습문제

문제 1. 살렌-키 버터워스 LPF, $f_0 = 1$ kHz. $C_2 = 10$ nF일 때 $C_1$과 $R$은?

문제 2. 위 필터의 저항 열잡음이 대역폭 1 kHz에서 얼마입니까?

exercises/07-05-filter-noise.yaml

문제 3. 안티에일리어싱 필터를 설계합니다. 신호 5 kHz, 12비트 ADC, 다음 두 선택 중 무엇이 낫습니까? (a) 50 kSPS + 5차 아날로그 필터 (b) 500 kSPS + 2차 아날로그 필터 + 디지털 데시메이션(decimation)

exercises/07-05-antialiasing-choice.yaml

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