SNR과 입력환산잡음

한 줄 요약 — 잡음은 입력으로 환산해서 비교해야 의미가 있습니다. 그래야 신호와 직접 비교할 수 있습니다.

입력환산잡음 (input-referred noise)

출력에서 측정한 잡음을 이득으로 나눈 값입니다.

v_{n,input} = \frac{v_{n,output}}{A_v}

기호

A_v전압 이득voltage gain

v_n,input전압 (순시값) (잡음, input)instantaneous voltage (noise, input)V

v_n,output전압 (순시값) (잡음, output)instantaneous voltage (noise, output)V

왜 이렇게 하는가

신호와 같은 자리에서 비교할 수 있습니다
이득이 다른 시스템끼리 공정하게 비교할 수 있습니다
회로가 얼마나 조용한지가 이득과 무관하게 드러납니다

예: 게인 1000, 출력 잡음 5 mV → 입력환산 5 µV 신호가 50 µV라면 SNR = 20 dB

SNR

\text{SNR} = 20\log_{10}\frac{V_{signal,rms}}{V_{noise,rms}}\ [\text{dB}]

기호

SNR신호 대 잡음비signal-to-noise ratiodB

V_noise,rms전압 (noise, 실효값)voltage (noise, rms)V

V_signal,rms신호 실효값 전압signal rms voltageV

SNR	상태
0 dB	신호 = 잡음 (구분 불가)
10 dB	겨우 보임
20 dB	명확히 보임
40 dB	좋음
60 dB	매우 좋음
80 dB+	정밀 측정

필요한 SNR은 목적에 따라 다릅니다

목적	필요 SNR
이벤트 검출 (스파이크(spike) 유무)	10~15 dB
파형 관찰	20~30 dB
파형 분류 (spike sorting)	30~40 dB
정량 측정 (진폭 1% 정확도)	40 dB
정밀 계측	60 dB+

★ 프리즈 공식 — 첫 단이 지배합니다

다단 증폭기의 전체 입력환산 잡음:

v_{n,total}^2 = v_{n1}^2 + \frac{v_{n2}^2}{A_1^2} + \frac{v_{n3}^2}{(A_1A_2)^2} + \cdots

기호

A_11번 이득gain 1

A_22번 이득gain 2

v_n,total잡음 전체 전압 (순시값)noise total instantaneous voltageV

v_n1전압 (순시값) (n1)instantaneous voltage (n1)V

v_n2전압 (순시값) (n2)instantaneous voltage (n2)V

v_n3전압 (순시값) (n3)instantaneous voltage (n3)V

2단째 잡음은 1단 이득의 제곱으로 나뉩니다.

계산 예제

각 단 잡음 5 µV, 1단 이득 $A_1$ :

$A_1$	총 입력환산 잡음
1	$\sqrt{25+25} = 7.07\ \mu$ V
3	$\sqrt{25+2.8} = 5.27\ \mu$ V
10	$\sqrt{25+0.25} = 5.02\ \mu$ V
100	$\sqrt{25+0.0025} = 5.00\ \mu$ V

1단 이득이 10 이상이면 후단 잡음은 사실상 무시됩니다.

설계 원칙: 첫 단에 저잡음 소자를 쓰고, 충분한 이득을 준다. 후단은 저렴한 소자를 써도 됩니다.

★ 잡음 지수 (Noise Figure, NF)

소자가 소스의 열잡음(thermal noise)열잡음 thermal noise모든 저항이 온도 때문에 내는 피할 수 없는 잡음으로, 측정의 바닥을 정합니다. $e_n = \sqrt{4k_BTR}$ 자세히 보기 → 대비 얼마나 잡음을 더하는지:

\text{NF} = 10\log_{10}\frac{\text{SNR}_{in}}{\text{SNR}_{out}}\ [\text{dB}]

기호

NF잡음 지수noise figuredB

SNR신호 대 잡음비signal-to-noise ratiodB

\text{NF} = 10\log_{10}\left(1+\frac{e_n^2+(i_nR_S)^2}{4k_BTR_S}\right)

기호

e_n입력 환산 전압 잡음 밀도input-referred voltage noise densityV/√Hz

i_n입력 환산 전류 잡음 밀도input-referred current noise densityA/√Hz

k_B볼츠만 상수Boltzmann constantJ/K

NF잡음 지수noise figuredB

R_S신호원 저항source resistanceΩ

T온도 또는 주기temperature or period

NF = 0 dB이면 소자가 잡음을 전혀 더하지 않음 (이상적)

최적 소스 임피던스

R_{S,opt} = \frac{e_n}{i_n}

기호

e_n입력 환산 전압 잡음 밀도input-referred voltage noise densityV/√Hz

i_n입력 환산 전류 잡음 밀도input-referred current noise densityA/√Hz

R_S,opt저항 (신호원, opt)resistance (source, opt)Ω

이 지점에서 NF가 최소입니다 (7-06).

예: OPA140 ( $e_n$ =5.1 nV/√Hz, $i_n$ =0.8 fA/√Hz)

R_{S,opt} = \frac{5.1\times10^{-9}}{0.8\times10^{-15}} = 6.4\ \text{M}\Omega

기호

R_S,opt저항 (신호원, opt)resistance (source, opt)Ω

1 MΩ 전극(electrode)에서 NF를 계산하면:

소스 열잡음: 128.7 nV/√Hz
소자 기여: $\sqrt{5.1^2+0.8^2} = 5.16$ nV/√Hz

\text{NF} = 10\log_{10}\left(1+\frac{5.16^2}{128.7^2}\right) = 10\log_{10}(1.0016) \approx 0.007\ \text{dB}

기호

NF잡음 지수noise figuredB

거의 완벽합니다. 소자가 잡음에 기여하는 바가 거의 없습니다.

💡 NF가 낮다는 것은 “소스 잡음이 지배한다”는 뜻입니다. 이 상태에서는 소자를 바꿔도 개선되지 않습니다. 소스(전극) 자체를 개선해야 합니다.

계산 예제 — 신호 체인 잡음 예산

시스템: 전극(1 MΩ) → 버퍼(A=1) → 증폭(A=100) → 필터 → ADC

단	잡음 (입력환산)	앞단 누적 이득	전체 입력환산 기여
전극 열잡음	128.7 nV/√Hz	1	128.7
버퍼 ( $e_n$ =5 nV/√Hz)	5	1	5
증폭기 ( $e_n$ =10 nV/√Hz)	10	1	10
필터 저항 10 kΩ	12.9	100	0.129
ADC 잡음 (30 µV/√Hz 환산)	30,000	100	300 ❌

⚠️ ADC 잡음이 큽니다! 이득이 100뿐이라 ADC 잡음이 입력환산으로 300 nV/√Hz입니다.

총:

\sqrt{128.7^2+5^2+10^2+0.13^2+300^2} \approx 327\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}

ADC가 지배합니다.

해결: 이득을 1000으로 올리면 ADC 기여가 30 nV/√Hz로 떨어져:

\sqrt{128.7^2+5^2+10^2+30^2} \approx 133\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}

전극 열잡음이 지배하는 이상적 상태가 됩니다.

이것이 “이득을 충분히 줘야 하는” 이유입니다. 이득이 부족하면 ADC 잡음이 시스템을 지배합니다 → 13-02

시뮬레이션으로 확인

SPICE의 잡음 해석(.noise)으로 입력환산 잡음을 직접 구할 수 있습니다.

프론트엔드 잡음 예산워크벤치에서 열기 →

# examples/12-noise-si/noise-budget.yaml
meta:
  name: 프론트엔드 잡음 예산
  lesson: docs/12-noise-si/02-snr-input-referred.md
components:
  - {ref: VP,  type: vdc, value: 5}
  - {ref: VN,  type: vdc, value: -5}
  - {ref: VS,  type: vac, value: 1}
  - {ref: RS,  type: r, value: 1MEG, label: 전극 임피던스}
  - {ref: R1,  type: r, value: 1k}
  - {ref: R2,  type: r, value: 99k}
  - {ref: U1,  type: opamp, model: OPA140}
nets:
  VCC: [VP.p, U1.'v+']
  VEE: [VN.p, U1.'v-']
  SRC: [VS.p, RS.1]
  IN:  [RS.2, U1.'in+']
  FB:  [U1.'in-', R1.1, R2.1]
  OUT: [U1.out, R2.2]
  GND: [VP.n, VN.n, VS.n, R1.2]
analyses:
  - {type: noise, out: OUT, source: VS, sweep: dec, points: 10, fstart: 1, fstop: 100k}
expect:
  # docs/12-noise-si/01-noise-types.md 의 계산 예제:
  #   전극 1 MΩ 열잡음 128.7 + OPA140 e_n 5.1 + i_n×R_S 0.8 → RSS 128.9 nV/√Hz
  - {measure: noise_input, at: 1k, analysis: noise, value: 128.9n, tol: 5%}

결과에서 입력환산 잡음 밀도(noise density)잡음 밀도 noise density1 Hz 폭당 잡음의 크기로, 여기에 √대역폭을 곱해야 실제 잡음 전압이 됩니다. $v_n = e_n\sqrt{\Delta f}$ 자세히 보기 →와 각 소자의 기여도를 확인할 수 있습니다. ngspice의 잡음 해석은 어느 부품이 얼마나 기여하는지 목록으로 보여줍니다 — 노이즈 예산 검증에 매우 유용합니다.

⚖️ 부품 트레이드오프

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
1단 이득 크게	후단 잡음 영향↓ (프리즈)	포화(saturation) 위험(큰 간섭이 있으면), 대역폭(bandwidth)↓
1단 이득 작게	큰 간섭(interference)에도 포화 안 함	후단 잡음이 지배
저잡음 1단 소자	전체 잡음↓	비쌈, 전력↑
저렴한 후단 소자	비용↓	(1단 이득이 충분하면) 영향 없음 ✅
대역 좁히기	잡음↓	신호 왜곡
평균화 / 오버샘플링(oversampling)오버샘플링 oversampling필요한 것보다 빠르게 샘플링해 평균 내면 분해능이 올라가고 안티에일리어싱 필터가 쉬워집니다. $\Delta n = \tfrac{1}{2}\log_2(\mathrm{OSR})$ 자세히 보기 →	$1/\sqrt N$	시간 해상도↓

🔌 실제 쓰임새 — 잡음 예산 시트

설계 초기에 이 표를 만드세요:

항목	값	비고
신호 크기 (rms)	50 µV
목표 SNR	30 dB	파형 분류
허용 총 잡음	1.58 µV rms	$50/10^{30/20}$
대역폭	5 kHz
잡음 대역폭	7.85 kHz	1차 필터
허용 잡음 밀도	17.8 nV/√Hz	$1.58\mu/\sqrt{7850}$
전극 열잡음 (1 MΩ)	128.7 nV/√Hz	❌ 이미 초과

이 시점에서 “1 MΩ 전극으로는 목표를 달성할 수 없다”는 것이 판명됩니다.

선택지:

전극 임피던스(impedance)임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다. $Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$ 자세히 보기 →를 낮춘다 (20 kΩ이면 18 nV/√Hz — 겨우 만족)

대역을 좁힌다 (500 Hz면 잡음이 $\sqrt{10}$ 배 감소)

목표 SNR을 낮춘다

평균화한다 (반복 자극 실험이면 가능)

설계 초기에 이 계산을 해야 합니다. 회로를 다 만들고 나서 알면 늦습니다. → 16-00 방법론 3단계

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
계산한 잡음이 실측과 일치	간섭 때문에 실측이 훨씬 큼
잡음이 백색	1/f, 스퍼
이득이 정확	실제 이득으로 나눠야 정확한 입력환산
ADC 잡음이 데이터시트대로	기준전압(voltage reference)·전원·클럭 지터가 더해짐

연습문제

문제 1. 이득 200, 출력 잡음 2 mVrms입니다. 입력환산 잡음은? 신호가 30 µV면 SNR은?

연습 12-02-1 — 출력 잡음을 입력으로 되돌리기워크벤치에서 열기 →

풀이

v_{n,in} = \frac{2\ \text{mV}}{200} = 10\ \mu\text{V rms}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

v_n,in잡음 입력 전압 (순시값)noise input instantaneous voltageV

\text{SNR} = 20\log_{10}\frac{30}{10} \approx 9.5\ \text{dB}

기호

SNR신호 대 잡음비signal-to-noise ratiodB

부족합니다. 파형 관찰에는 20 dB 이상이 필요합니다.

문제 2. 1단 잡음 3 µV, 2단 잡음 20 µV입니다. 1단 이득이 얼마여야 2단 기여가 1단의 1/3 이하가 됩니까?

exercises/12-02-first-stage-gain.yaml

풀이

\frac{20}{A_1} \leq \frac{3}{3} = 1\ \mu\text{V}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

A_11번 이득gain 1

A_1 \geq 20

기호

A_11번 이득gain 1

이득 20 이상. 총 잡음: $\sqrt{9+1} = 3.16\ \mu$ V — 1단 단독(3 µV)에 거의 근접합니다.

문제 3. 목표: 20 µV 신호를 SNR 25 dB로 측정. 대역 1 kHz. 허용 잡음 밀도와, 가능한 최대 소스 저항은?

exercises/12-02-max-source-r.yaml

풀이

허용 총 잡음:

v_n = \frac{20\ \mu\text{V}}{10^{25/20}} = \frac{20}{17.8} \approx 1.12\ \mu\text{V rms}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

v_n잡음 전압 (실효값)noise voltage (rms)V

잡음 대역폭 (1차 필터): $1.57\times1000 = 1570$ Hz

허용 잡음 밀도:

e_n = \frac{1.12\times10^{-6}}{\sqrt{1570}} \approx 28.3\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}

기호

e_n입력 환산 전압 잡음 밀도input-referred voltage noise densityV/√Hz

최대 소스 저항 (열잡음만 고려):

R = \frac{e_n^2}{4k_BT} = \frac{(28.3\times10^{-9})^2}{4\times1.38\times10^{-23}\times300} = \frac{8.0\times10^{-16}}{1.66\times10^{-20}} \approx 48\ \text{k}\Omega

기호

e_n입력 환산 전압 잡음 밀도input-referred voltage noise densityV/√Hz

k_B볼츠만 상수Boltzmann constantJ/K

R저항resistanceΩ

T온도 또는 주기temperature or period

소스 저항이 48 kΩ 이하여야 합니다. 그것도 증폭기가 잡음을 전혀 더하지 않는다는 가정에서입니다.

실무적으로는 증폭기 기여를 30% 정도로 잡아 소스 저항을 30 kΩ 이하로 목표하는 것이 안전합니다.

이 계산이 “전극을 어떻게 만들어야 하는가”의 사양이 됩니다. 전극 면적, 표면 처리, 재료 선택이 이 숫자에서 역산됩니다. 회로 설계가 재료 설계 사양을 만드는 것입니다.

→ 16-00 방법론, 16-01

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