안정성 — 나이퀴스트와 이득 여유

한 줄 요약 — 발진 조건은 딱 하나입니다. 루프를 한 바퀴 돌아온 신호가 크기 1, 위상 −180° 이면 스스로 자랍니다. 여유란 그 지점에서 얼마나 떨어져 있느냐입니다.

발진의 조건

루프 이득루프 이득루프 이득 loop gain신호가 귀환 루프를 한 바퀴 돌아 제자리로 왔을 때의 배율로, 왜곡·임피던스·오차가 모두 이 값으로 나눠집니다.$$T = A\beta$$자세히 보기 → $T = A\beta$ 를 배웠으니 발진은 한 줄로 끝납니다. 닫힌 루프 이득의 분모가 0 이 되는 곳이 발진점입니다.

$T = -1$ 은 복소수로 크기 1, 위상 −180° 입니다. 이것이 바르크하우젠 조건이고, 전부입니다.

부귀환이 이미 −180° 를 쓰고 있으므로, 회로 안에서 추가로 −180° 가 더 밀리면 그 지점입니다. 극점극점극점 pole전달함수의 분모가 0이 되는 지점으로, 극점 하나가 곧 시정수 하나이고 −20 dB/dec 기울기 하나입니다.자세히 보기 → 하나가 최대 −90° 를 미므로 극점 두 개면 −180° 에 닿습니다. 그래서 “극점이 둘이면 위험하다”는 말이 나옵니다.

여유를 재는 두 자

$T = -1$ 이라는 점에서 얼마나 떨어져 있는지를 두 방향으로 잽니다.

둘 다 봐야 합니다. 위상 여유위상 여유위상 여유 phase margin루프 이득이 1이 되는 주파수에서 발진까지 얼마나 남았는지를 각도로 나타낸 값입니다.$$\mathrm{PM} = 180^\circ + \angle T(f_{0\mathrm{dB}})$$자세히 보기 →만 보고 넘어가는 것이 흔한 실수인데, 위상이 먼저 −180° 를 지나고 그 뒤에 $|T|$ 가 1 을 지나는 회로에서는 위상 여유 숫자가 멀쩡해 보여도 이득이 조금만 커지면 발진합니다.

⚠️ 위상 여유 60° 는 오버슈트 4% 가 아니라 약 9% 입니다. 4% 를 원하면 65° 를 겨냥해야 합니다 — 유도는 4-07.

나이퀴스트 — 왜 여유 두 개로 부족할 때가 있는가

$T$ 를 복소평면에 그리고 주파수를 0 에서 ∞ 까지 훑으면 곡선 하나가 나옵니다. 그 곡선이 $-1$ 점을 감싸는지가 안정성의 진짜 판정입니다.

위상 여유·이득 여유는 이 곡선이 −1 점 근처를 지나는 거리를 두 방향에서만 잰 것입니다. 그래서 곡선이 복잡하게 휘면(극점이 셋 이상, 또는 $|T|$ 가 1 을 여러 번 넘나드는 조건부 안정 회로) 두 숫자만으로는 놓칩니다.

실무 규칙: OP앰프 회로에서 $|T|$ 가 0 dB 를 한 번만 지나면 위상 여유·이득 여유 둘로 충분합니다. 여러 번 지나면(전원 루프, 다중 귀환) 나이퀴스트를 그려야 합니다.

극점이 위상을 미는 양

극점 하나가 미는 위상은 자기 주파수에서 −45°, 그 앞뒤로 서서히 −90° 까지 갑니다.

극점은 자기 주파수의 1/10 에서부터 이미 위상을 밀기 시작합니다. 이것이 ”$f_{0\mathrm{dB}}$ 보다 훨씬 위에 있는 극점도 위상 여유를 깎는다”의 정체입니다.

★ 안정성을 되찾는 네 가지

무엇을 움직이느냐로 나뉩니다.

핵심: 앞의 둘은 여유를 “벌고”, 뒤의 둘은 문제 자체를 “옮깁니다”. 용량성 부하라면 $R_{iso}$, 반전 노드 용량이라면 $C_f$ 가 정답입니다 (07, 13-04).

계산 예제 — 이 회로는 발진하는가

버퍼($1/\beta = 1$), GBW = 10 MHz, 출력 저항 100 Ω, 부하 용량 1 nF.

부하가 만드는 극점:

$f_{0\mathrm{dB}}$: 버퍼는 $\beta = 1$ 이므로 $f_{0\mathrm{dB}} = \mathrm{GBW} = 10$ MHz.

$f_{0\mathrm{dB}}$ 에서의 위상:

9° — 발진합니다. 안 해도 링잉이 44% 넘게 납니다.

대책 두 가지를 숫자로 견줍니다.

(가) 격리 저항 $R_{iso} = 20\ \Omega$ — 부하 용량이 루프 밖으로 나가고, 루프 안에서 보는 것은 $R_{out}$ 과 $R_{iso}$ 뿐입니다. 대신 출력 임피던스가 20 Ω 이 되어 부하 전류에 따라 전압이 흔들립니다. 1 mA 면 20 mV.

(나) 잡음 이득을 5 로 올린다 — $f_{0\mathrm{dB}} = 10\,\text{MHz}/5 = 2$ MHz. 부하 극점 1.59 MHz 와의 비가 $2/1.59 = 1.26$ 이므로 $-\arctan 1.26 = -51.6°$, $\mathrm{PM} = 180 - 90 - 51.6 = 38°$. 아직 모자랍니다. 이득 10 으로 올리면 $f_{0\mathrm{dB}} = 1$ MHz, $-\arctan(1/1.59) = -32°$, PM = 58°. 겨우 됩니다.

판단: (가) 가 맞습니다. 버퍼로 쓰려던 것을 이득 10 으로 바꾸는 건 원래 목적을 버리는 것이고, 20 Ω 출력 임피던스는 뒷단이 고임피던스면 아무 문제가 없습니다.

시뮬레이션으로 확인

# examples/07-opamp/stability-margins.yaml
meta:
  name: 위상 여유와 이득 여유
  lesson: docs/07-opamp/09-stability.md
  note: CL 을 100p / 1n / 10n 으로 바꿔 가며 루프 이득의 위상이 -180 에 언제 닿는지 본다
components:
  - {ref: VP, type: vdc, value: 15}
  - {ref: VN, type: vdc, value: -15}
  - {ref: VINJ, type: vac, value: 1}
  - {ref: LINJ, type: l, value: 1k, label: DC 만 통과}
  - {ref: RISO, type: r, value: 20, label: 격리 저항}
  - {ref: CL, type: c, value: 1n, label: 부하 용량}
  - {ref: U1, type: opamp, model: OPA140}
nets:
  VCC: [VP.p, U1.'v+']
  VEE: [VN.p, U1.'v-']
  OUT: [U1.out, RISO.1]
  LOAD: [RISO.2, CL.1]
  FBOUT: [LINJ.1, VINJ.p]
  FBIN: [LINJ.2, VINJ.n, U1.'in-']
  GND: [VP.n, VN.n, CL.2, U1.'in+']
analyses:
  - {type: ac, sweep: dec, points: 30, fstart: 10, fstop: 100MEG}

RISO 를 0.001 로 바꾸면 격리가 사라져 위상 여유가 무너지는 것을 볼 수 있습니다. 같은 회로에서 저항 하나로 발진과 안정을 오갑니다.

⚖️ 부품 트레이드오프

🔌 실제 쓰임새

• 버퍼가 케이블을 몰 때 — 케이블 용량이 그대로 $C_L$ 입니다
• 레귤레이터의 출력 커패시터 — ESR 이 영점을 만들어 안정성을 좌우합니다 (8-02)
• TIA — 포토다이오드 접합 용량이 $\beta$ 를 떨어뜨립니다
• 다단 증폭기 — 각 단의 극점이 누적돼 마지막 단에서 터집니다

⚠️ 이상과 실제의 차이

⚠️ “프로브를 대면 정상”은 가장 위험한 신호입니다. 프로브 용량이 발진을 가리고 있는 것입니다. 액티브 프로브나 스펙트럼 애널라이저로 다시 보세요.

연습문제

문제 1. 위상 여유는 70° 인데 이득 여유가 3 dB 입니다. 안전합니까?

exercises/07-09-gain-margin.yaml

문제 2. GBW 10 MHz 버퍼에 470 pF 부하를 답니다. 출력 저항 70 Ω 일 때 위상 여유는? 격리 저항이 필요합니까?

문제 3. 데이터시트에 “최소 안정 이득 5” 라고 적힌 OP앰프를 버퍼로 썼습니다. 무슨 일이 일어나고 왜 그렇습니까?

exercises/07-09-min-stable-gain.yaml

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