게인 배분과 노이즈 예산

한 줄 요약 — 첫 단이 잡음을 지배하고, 총 게인이 ADC 잡음의 영향을 정합니다. 이 두 가지가 게인 배분의 전부입니다.

총 게인 정하기

A_{total} = \frac{V_{ADC,fullscale}\times\text{여유율}}{V_{signal,peak}}

기호

A_total전체 이득total gain

V_ADC,fullscale전압 (ADC, fullscale)voltage (ADC, fullscale)V

V_signal,peak전압 (신호, peak)voltage (signal, peak)V

예: 신호 50 µV(rms), 피크 팩터 4 → 피크 200 µV. ADC ±1 V의 50%를 쓰면:

A = \frac{0.5\ \text{V}}{200\ \mu\text{V}} = 2500\ (68\ \text{dB})

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

A이득gain

여유율은 왜 필요한가

항목	여유
신호의 피크 (버스트, 스파이크(spike))	3~5배
잡음의 피크 (3~4σ)	포함
옵셋 드리프트	별도
간섭(interference) 잔류분	별도
개체·환경 편차	2배

총 여유 2~4배(6~12 dB)를 잡는 것이 일반적입니다. 부족하면 포화하고, 과하면 ADC 분해능(resolution)분해능 resolutionADC 가 구분할 수 있는 가장 작은 전압 차이로, 비트 수와 기준전압으로 정해집니다. $1\,\mathrm{LSB} = V_{ref}/2^n$ 자세히 보기 →을 낭비합니다.

★ 프리즈 공식 — 첫 단이 전부입니다

v_{n,total}^2 = v_{n1}^2 + \frac{v_{n2}^2}{A_1^2} + \frac{v_{n3}^2}{(A_1A_2)^2}+\cdots

기호

A_11번 이득gain 1

A_22번 이득gain 2

v_n,total잡음 전체 전압 (순시값)noise total instantaneous voltageV

v_n1전압 (순시값) (n1)instantaneous voltage (n1)V

v_n2전압 (순시값) (n2)instantaneous voltage (n2)V

v_n3전압 (순시값) (n3)instantaneous voltage (n3)V

첫 단 이득	2단 잡음의 기여
1	100%
3	33%
10	10%
30	3.3%
100	1%

첫 단 이득이 10 이상이면 후단 잡음은 사실상 무시됩니다.

설계 원칙:

첫 단에 가장 좋은(저잡음) 소자를 쓴다

첫 단에 충분한 이득을 준다 (포화하지 않는 한도에서)

후단은 저렴한 소자를 써도 된다

★ ADC 잡음이 지배하지 않게 하기

ADC의 잡음(양자화 + 내부 잡음)이 입력 환산으로 얼마인지 확인해야 합니다.

v_{n,ADC,input} = \frac{v_{n,ADC}}{A_{total}}

기호

A_total전체 이득total gain

v_n,ADC,input전압 (순시값) (잡음, ADC, input)instantaneous voltage (noise, ADC, input)V

v_n,ADC전압 (순시값) (잡음, ADC)instantaneous voltage (noise, ADC)V

계산

12비트 ADC, ±1 V → LSB = 488 µV, 양자화 잡음(quantization noise)양자화 잡음 quantization noise연속인 값을 계단으로 끊으면서 생기는 오차로, ADC 가 낼 수 있는 SNR 의 상한을 정합니다. $\mathrm{SNR} = 6.02n + 1.76\ \mathrm{dB}$ 자세히 보기 → = $488/\sqrt{12}$ = 141 µV(rms)

총 게인	입력 환산 ADC 잡음
100	1.41 µV
1,000	141 nV
10,000	14.1 nV
100,000	1.41 nV

목표: 입력 환산 ADC 잡음 < 아날로그 잡음의 1/3

아날로그 잡음이 130 nV/√Hz × √7850 = 11.5 µV(rms)라면:

\frac{v_{n,ADC}}{A} < \frac{11.5}{3} = 3.8\ \mu\text{V} \Rightarrow A > \frac{141}{3.8} = 37

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

A이득gain

v_n,ADC전압 (순시값) (잡음, ADC)instantaneous voltage (noise, ADC)V

이득 37 이상이면 ADC 잡음은 무시할 수 있습니다.

💡 역으로: 이득이 부족하면 ADC가 시스템 잡음을 지배합니다. “왜 잡음이 안 줄어들지?” 할 때 이것을 먼저 확인하세요.

★ 게인 배분 규칙

규칙 1: GBW 제약

A_{stage} \leq \frac{\text{GBW}}{f_{signal}\times k}

기호

A_stage이득 (stage)gain (stage)

f_signal신호 주파수signal frequencyHz

GBW이득 대역폭 곱gain-bandwidth productHz

k결합 계수 또는 상수coupling coefficient or constant

$k$ 는 여유율(5~10).

예: GBW 10 MHz, 신호 5 kHz, $k$ =10 → $A_{stage} \leq 200$

규칙 2: 포화 방지

A_{cumulative}\times(V_{signal}+V_{offset}+V_{interference}) < V_{headroom}

기호

A_cumulative이득 (cumulative)gain (cumulative)

V_headroom전압 (headroom)voltage (headroom)V

V_interference전압 (interference)voltage (interference)V

V_offset전압 (offset)voltage (offset)V

V_signal신호 전압signal voltageV

각 단마다 확인해야 합니다.

규칙 3: 첫 단 최대화 (잡음)

포화하지 않는 한도에서 첫 단 이득을 최대로.

규칙 4: 필터 삽입 지점

큰 간섭이 있으면 그것을 제거한 뒤에 큰 이득을 겁니다.

계산 예제 — 완전한 게인 배분 설계

요구:

신호 50 µV(rms), 피크 200 µV
60 Hz 간섭 5 mV(입력 환산)
전극 DC 옵셋 ±50 mV (전극 반전위)
총 게인 2500 필요
ADC ±1 V, 12비트
대역 0.5 Hz ~ 5 kHz
OP앰프 GBW 10 MHz, ±5 V 전원

1단계 — 첫 단 이득 결정

제약: DC 옵셋 ±50 mV가 포화하면 안 됨

A_1 \times 50\ \text{mV} < 4\ \text{V (헤드룸)} \Rightarrow A_1 < 80

기호

A_11번 이득gain 1

제약: 60 Hz 간섭 5 mV

A_1 \times 5\ \text{mV} < 4\ \text{V} \Rightarrow A_1 < 800

기호

A_11번 이득gain 1

DC 옵셋이 더 엄격합니다. 여유를 두어 $A_1 = 10$ 선택.

2단계 — DC 옵셋 제거

$A_1$ 뒤에 HPF (0.5 Hz) 를 넣어 DC 옵셋 제거. 이 시점에서 신호 0.5 mV, 간섭 50 mV, 옵셋 0.

3단계 — 간섭 제거

CMRR과 차폐로 60 Hz를 30 dB 줄였다고 가정 → 간섭 1.6 mV(2단 입력 환산으로 0.16 mV)

4단계 — 나머지 게인 배분

남은 게인: $2500/10 = 250$

GBW 제약: $A_{stage} \leq 10\text{MHz}/(5\text{kHz}\times10) = 200$

2단으로 나눔: $\sqrt{250} \approx 15.8$ → 각 16배

최종 배분: $10 \times 16 \times 16 = 2560$ ✅

5단계 — 각 단 레벨 확인

단	이득	누적	신호	간섭	옵셋	최대
입력	—	1	200 µV	5 mV	50 mV	55 mV
1단 후	10	10	2 mV	50 mV	500 mV	552 mV ✅
HPF 후	1	10	2 mV	50 mV	0	52 mV ✅
2단 후	16	160	32 mV	800 mV	0	832 mV ✅
3단 후	16	2560	512 mV	12.8 mV*	0	525 mV ✅

*간섭이 노치/CMRR로 제거되었다고 가정

모든 단에서 ±5 V 헤드룸(±4 V) 안에 있습니다 ✅

6단계 — 잡음 예산 확인

잡음원	밀도	앞단 이득	입력 환산
전극 (1 MΩ)	128.7 nV/√Hz	1	128.7
1단 OP앰프	5 nV/√Hz	1	5
HPF 저항 (10 kΩ)	12.9 nV/√Hz	10	1.3
2단 OP앰프	10 nV/√Hz	10	1.0
3단 OP앰프	10 nV/√Hz	160	0.06
ADC (141 µV rms)	—	2560	0.62*
합계 (RSS)			129 nV/√Hz

*ADC 잡음을 대역폭으로 나눈 밀도 환산

전극 열잡음이 지배합니다 — 이상적인 상태입니다. 회로가 신호원의 한계에 도달했습니다.

총 잡음:

129\times10^{-9}\times\sqrt{7850} \approx 11.4\ \mu\text{V rms}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

SNR:

20\log_{10}\frac{50}{11.4} \approx 12.8\ \text{dB}

⚠️ SNR이 부족합니다. 회로는 최선을 다했으므로, 개선하려면:

전극(electrode) 임피던스(impedance)임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다. $Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$ 자세히 보기 →를 낮춘다 (100 kΩ이면 잡음 $\sqrt{10}$ 배 감소 → SNR 22.8 dB)

대역을 좁힌다 (1 kHz로 줄이면 $\sqrt5$ 배 → SNR 19.8 dB)

평균화 (100회 평균이면 10배 → SNR 32.8 dB)

이 결론이 설계의 산출물입니다. “회로를 더 좋게 만들어봐야 소용없다, 전극이나 실험 조건을 바꿔야 한다”는 판단을 근거를 갖고 내릴 수 있게 됩니다.

시뮬레이션으로 확인

게인 배분과 각 단 레벨 확인워크벤치에서 열기 →

# examples/13-signal-chain/gain-distribution.yaml
meta:
  name: 게인 배분과 각 단 레벨 확인
  lesson: docs/13-signal-chain/02-gain-noise-budget.md
  note: DC 옵셋 소스를 추가해 1단이 포화하는지 확인
components:
  - {ref: VP,   type: vdc, value: 5}
  - {ref: VN,   type: vdc, value: -5}
  - {ref: VSIG, type: vac, value: 50u}
  - {ref: VOFF, type: vdc, value: 50m, label: 전극 DC 옵셋}
  - {ref: RE,   type: r, value: 1MEG}
  - {ref: U1,   type: opamp, model: OPA140}
  - {ref: R1,   type: r, value: 1k}
  - {ref: R2,   type: r, value: 9k}
  - {ref: CHP,  type: c, value: 10u,  label: HPF 커플링}
  - {ref: RHP,  type: r, value: 33k,  label: HPF 저항 (0.5Hz)}
  - {ref: U2,   type: opamp, model: OPA140}
  - {ref: R3,   type: r, value: 1k}
  - {ref: R4,   type: r, value: 15k}
nets:
  VCC:  [VP.p, U1.'v+', U2.'v+']
  VEE:  [VN.p, U1.'v-', U2.'v-']
  OFS:  [VOFF.p, VSIG.n]
  SRC:  [VSIG.p, RE.1]
  IN:   [RE.2, U1.'in+']
  FB1:  [U1.'in-', R1.1, R2.1]
  A1:   [U1.out, R2.2, CHP.1]
  A1C:  [CHP.2, RHP.1, U2.'in+']
  FB2:  [U2.'in-', R3.1, R4.1]
  OUT:  [U2.out, R4.2]
  GND:  [VP.n, VN.n, VOFF.n, R1.2, RHP.2, R3.2]
analyses:
  - {type: op}
  - {type: ac, sweep: dec, points: 30, fstart: 0.01, fstop: 1MEG}
expect:
  - {measure: v, node: A1, max: 4.0}    # 1단 포화 확인

VOFF를 키워가며 어느 지점에서 1단이 포화하는지 확인하세요.

⚖️ 게인 배분 트레이드오프

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
첫 단 이득 크게	후단 잡음 무시 가능	옵셋·간섭으로 포화(saturation), 대역폭(bandwidth)↓
첫 단 이득 작게	포화 여유	후단 잡음이 지배
총 이득 크게	ADC 잡음 무시 가능	포화 위험, 동적 범위 소모
총 이득 작게	큰 신호도 수용	ADC 잡음이 지배
단수 많이	대역폭 확보, 필터 삽입	옵셋 누적, 부품·전력
가변 이득 (PGA)	신호 크기에 적응	복잡, 전환 시 과도

💡 신호 크기가 크게 변하는 시스템에서는 PGA(프로그래머블 게인 앰프) 를 씁니다. 작은 신호는 큰 게인으로, 큰 신호는 작은 게인으로 처리해 동적 범위를 확장합니다.

🔌 실제 쓰임새 — 노이즈 예산 시트 템플릿

항목	값	계산
신호 크기 (rms)
목표 SNR
허용 총 잡음		신호 / $10^{SNR/20}$
신호 대역폭
잡음 등가 대역폭(noise equivalent bandwidth)잡음 대역폭 noise equivalent bandwidth실제 필터가 통과시키는 잡음의 양을 같은 양의 잡음을 통과시키는 이상적인 벽돌담 필터의 폭으로 바꾼 값입니다. $\Delta f_n = k\,f_{-3\mathrm{dB}}$ 자세히 보기 →		필터 차수에 따라
허용 잡음 밀도		총잡음 / $\sqrt{\Delta f}$
—
소스 저항 열잡음(thermal noise)열잡음 thermal noise모든 저항이 온도 때문에 내는 피할 수 없는 잡음으로, 측정의 바닥을 정합니다. $e_n = \sqrt{4k_BTR}$ 자세히 보기 →		$\sqrt{4kTR}$
1단 소자 $e_n$		데이터시트
1단 소자 $i_n \times R_S$
필터 저항 열잡음 / $A_1$
ADC 잡음 / $A_{total}$
합계 (RSS)
판정		허용치 이내?

이 시트를 설계 초기에 채우세요. 회로를 다 만들고 나서 잡음이 부족한 것을 발견하면 처음부터 다시 해야 합니다.

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
잡음이 계산대로	간섭이 계산값보다 크면 그것이 지배
이득이 정확	저항 오차, 로딩(loading)로딩 loading뒷단이 앞단에서 전류를 끌어가면서 신호가 줄어드는 현상으로, 고임피던스 신호원에서 특히 심합니다.자세히 보기 →
포화 안 함	옵셋 드리프트·간섭 버스트로 간헐적 포화
1/f 무시	저주파 측정에서 지배적

연습문제

문제 1. 신호 100 µV(peak), ADC ±2 V. 50% 여유를 두면 총 게인은?

exercises/13-02-total-gain.yaml

풀이

A = \frac{2\ \text{V}\times0.5}{100\ \mu\text{V}} = 10{,}000

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

A이득gain

문제 2. 전극 옵셋이 ±100 mV입니다. ±5 V 전원(헤드룸 ±4 V)에서 첫 단 이득의 상한은?

연습 13-02-2 — 전극 옵셋이 첫 단 이득의 상한을 정한다워크벤치에서 열기 →

풀이

A_1 \leq \frac{4\ \text{V}}{0.1\ \text{V}} = 40

기호

A_11번 이득gain 1

여유를 두어 10~20을 선택합니다. 그리고 즉시 HPF나 DC 서보로 옵셋을 제거한 뒤 나머지 게인을 겁니다 → 05

문제 3. 잡음 예산을 계산했더니 전극 열잡음이 전체의 95%를 차지합니다. 이것이 좋은 상태입니까?

exercises/13-02-electrode-dominant.yaml

풀이

회로 설계 관점에서는 이상적인 상태입니다.

이는 회로가 신호원의 물리적 한계에 도달했다는 뜻입니다. 증폭기를 아무리 좋은 것으로 바꿔도 개선되지 않습니다. 회로 설계자로서 할 일은 다 한 것입니다.

다만 시스템 성능이 충분한지는 별개입니다. SNR이 부족하다면:

회로 밖에서 개선해야 합니다:

전극 임피던스 낮추기 ← 가장 근본적
- 전극 면적 증가 (공간 해상도와 트레이드오프)
- 표면 처리 (PEDOT:PSS, 이리듐 산화물, 백금흑) — 유효 면적을 늘려 임피던스를 10~100배 낮춤
- 재료 변경
대역 축소
- 필요한 대역만 (MUA만 필요하면 300 Hz~5 kHz)
- 잡음이 $\sqrt{\Delta f}$ 로 감소
평균화 / 반복 측정
- 유발 전위(evoked potential)처럼 반복 가능하면 $1/\sqrt N$
- 자발 활동에는 적용 불가
냉각 (비현실적)
- $\sqrt{T}$ 에 비례. 상온 300 K → 77 K면 2배 개선
목표 SNR 재검토
- 이벤트 검출만 필요하면 낮은 SNR로도 충분

“회로로는 더 못 한다”는 결론을 근거를 갖고 내리는 것이 좋은 설계입니다. 그래야 노력을 올바른 곳(전극, 실험 설계)에 쓸 수 있습니다.

이 판단이 16-00 방법론 3단계의 핵심 산출물입니다.

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