설계 공식 모음

자주 쓰는 공식을 한 곳에. 각 항목의 유도와 맥락은 해당 장을 참조하세요.

기본

항목	공식	참고
옴의 법칙	$V = IR$	1-01
전력	$P = VI = I^2R = V^2/R$	1-02
직렬 저항	$R = R_1+R_2$	1-03
병렬 저항	$R = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
분압	$V_{out} = V_{in}\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$	1-04
분류	$I_1 = I\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$
도체 저항	$R = \rho L/A$	0-02

단위 조합 (암산용)

\text{V} = \text{mA}\times\text{k}\Omega, \qquad \mu\text{s} = \text{k}\Omega\times\text{nF}, \qquad \mu\text{s} = \text{M}\Omega\times\text{pF}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

커패시터·인덕터

항목	공식	참고
커패시터(capacitor)	$Q = CV$ , $I = C\dfrac{dV}{dt}$	3-01
인덕터(inductor)	$V = L\dfrac{dI}{dt}$	3-03
에너지	$E_C = \frac12CV^2$ , $E_L = \frac12LI^2$
RC 시정수	$\tau = RC$	3-02
RL 시정수	$\tau = L/R$
RC 충전	$V(t) = V_s(1-e^{-t/\tau})$
RC 방전	$V(t) = V_0e^{-t/\tau}$
$n$ 비트 세틀링 (1차)	$t = \tau\ln(2^{n+1}) = 0.693(n+1)\tau$	4-07
$n$ 비트 세틀링 (2차)	$t_s \approx \dfrac{\ln(2^{n+1})}{\zeta\omega_n}$ — 오버슈트가 있으면 위 식은 틀립니다	4-07
상승시간	$t_r = 2.2\tau$
상승시간-대역폭(bandwidth)	$t_r\times f_{-3dB} = 0.35$
kT/C 잡음	$v_n = \sqrt{k_BT/C}$

세틀링 시간표

비트	$t/\tau$
8	5.5
10	6.9
12	8.3
14	9.7
16	11.1

교류·필터

항목	공식	참고
임피던스(impedance)	$Z_R=R$ , $Z_L=j\omega L$ , $Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}$	4-02
차단주파수(cutoff frequency)	$f_c = \dfrac{1}{2\pi RC}$	4-03
RMS (정현파)	$V_{rms} = V_p/\sqrt2$	4-01
dB (전압)	$20\log_{10}(V_2/V_1)$	4-04
dB (전력)	$10\log_{10}(P_2/P_1)$
공진(resonance)	$f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$	4-05
Q (직렬 RLC)	$Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$
Q (병렬 RLC)	$Q = R\sqrt{\dfrac{C}{L}}$ — 직렬과 뒤집혀 있습니다	4-07
극점(pole)	$H(s)$ 의 분모가 0이 되는 $s$	4-06
1차 표준형	$H(s) = \dfrac{1}{1+s/\omega_c}$
2차 표준형	$H(s) = \dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$	4-07
감쇠비 ↔ Q	$\zeta = \dfrac{1}{2Q}$
오버슈트	$M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$
위상 여유 어림	$\zeta \approx \text{PM}/100$ (PM $\leq 70^\circ$ )
자기공진 (커패시터)	$f_{SRF} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_{ESL}C}}$	11-02
필터 차수	$n \geq \dfrac{A_{req}}{20\log_{10}\left(\frac{f_s-f_{sig}}{f_{sig}}\right)}$	13-06
다단 대역폭	$f_{total} = f_{stage}\sqrt{2^{1/n}-1}$	13-04

2차 응답 빠른 참조

항목	공식	참고
RLC 표준형	$s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2$	3-05
$\omega_n$ / $\zeta$ (직렬)	$\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ / $\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$
링잉 주파수	$\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$
오버슈트	$e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$
임계 감쇠	$R = 2\sqrt{L/C}$

$\zeta$	Q	오버슈트	위상 여유
0.3	1.67	37%	33°
0.5	1.0	16%	52°
0.6	0.83	9.5%	59°
0.707	0.707	4.3%	65°
0.8	0.63	1.5%	70°
1.0	0.5	0%	76°

⚠️ 위상 여유 60° 는 오버슈트 4% 가 아니라 약 9% 입니다. 4% 는 $\zeta=0.707$ , 즉 PM 65° 근처입니다. 유도 → 4-07

dB 빠른 참조

배수	dB	배수	dB
2	6	0.5	−6
10	20	0.1	−20
100	40	0.01	−40
1000	60	0.707	−3

반도체

항목	공식	참고
다이오드(diode)	$I = I_S(e^{V/nV_T}-1)$	5-01
60 mV/decade	전류 10배 = 전압 +59.5 mV
온도계수	$dV_F/dT = -2$ mV/°C
소신호 저항	$r_d = nV_T/I$
LED 저항	$R = \dfrac{V_s-V_F}{I}$	5-04
BJT $g_m$	$g_m = I_C/V_T = I_C/26\text{mV}$	6-01
BJT $r_e$	$r_e = 26\text{mV}/I_C$
베이스 저항	$R_B = \dfrac{V_{drive}-0.8}{I_C/10}$	6-02
이미터 공통(common emitter) 이득	$A_v = -R_C/(r_e+R_E)$	6-03
밀러 용량	$C_{in} = C_f(1+A_v)$	6-04
MOSFET $I_D$	$I_D = \frac{K}{2}(V_{GS}-V_{th})^2$	6-05
MOSFET $g_m$	$g_m = \sqrt{2KI_D}$
소스 팔로워(source follower) 이득	$A_v = \dfrac{g_mR_S}{1+g_mR_S}$	6-06
소스 팔로워 $Z_{out}$	$Z_{out} \approx 1/g_m$
시험전압법	$R_{th} = V_t/I_t$ — 종속전원이 있으면 전원을 끌 수 없습니다	2-07
열전압	$V_T = k_BT/q$ — 300 K 에서 25.85 mV	5-06
확산 전류	$J_n = qD_n\dfrac{dn}{dx}$ , $D=\mu V_T$ (아인슈타인)
하이브리드π $g_m$	$g_m = \dfrac{\partial I_C}{\partial V_{BE}}$ = 곡선의 기울기	6-08
gm/IDgm/ID transconductance efficiency전류 1 A로 얻는 전달 컨덕턴스로, 전력 예산과 잡음 목표를 잇는 손잡이입니다. $\frac{g_m}{I_D} = \frac{2}{V_{ov}}$ 자세히 보기 → ( $g_m/I_D$ )	약반전 $\approx 1/V_T = 38$ , 강반전 $= 2/V_{ov}$
↳ 설계용	$I_D = g_m \div (g_m/I_D)$ — 전류로 살 것인가 면적으로 살 것인가
차동쌍 이득	$A_v = -g_mR_D$ (반쪽 회로)
전류 미러 오차	$\Delta I/I \approx \Delta V_{DS}/V_A$

OP앰프

항목	공식	참고
닫힌 루프 이득	$A_{CL} = \dfrac{A}{1+A\beta}$	7-01
비반전 이득	$A = 1+R_f/R_g$	7-01
반전(inverting) 이득	$A = -R_f/R_{in}$
잡음 이득(noise gain)	$G_N = 1+R_f/R_g$	7-02
대역폭	$f_{-3dB} = \text{GBW}/G_N$	4-04
슬루레이트(slew rate) 한계	$f_{max} = \dfrac{\text{SR}}{2\pi V_p}$	7-06
바이어스 옵셋	$\Delta V = I_B\times R_{source}$
CMRR (저항 오차)	$\approx \dfrac{1+R_2/R_1}{4\epsilon}$	7-03
계측 증폭기(instrumentation amplifier) 이득	$A = \left(1+\dfrac{2R_1}{R_g}\right)\dfrac{R_2}{R_1}$
TIA 보상	$C_f = \sqrt{\dfrac{C_{in}}{2\pi R_f\text{GBW}}}$	13-04
TIA 대역폭	$f = \dfrac{1}{2\pi R_fC_f}$
히스테리시스(hysteresis)	$\Delta V = (V_{OH}-V_{OL})\dfrac{R_1}{R_1+R_2}$	7-04
루프 이득	$T = A\beta$ — 왜곡·임피던스·오차가 모두 $(1+T)$ 로 나뉩니다	7-08
↳ 왜곡	$\text{THD}_{CL} = \text{THD}_{OL}/(1+T)$
↳ 출력 임피던스	$Z_{out,CL} = Z_{out,OL}/(1+T)$
↳ 이득 오차	$\approx 1/T$
$T$ 실측	루프를 끊고 주입 — $T = -V_{return}/V_{inject}$
위상 여유	$T$ 가 0 dB 인 곳에서 $180° -	\angle T
이득 여유이득 여유 gain margin위상이 −180°가 되는 주파수에서 루프 이득이 1까지 얼마나 남았는지로, 위상 여유만 봐서는 놓치는 위험을 잡습니다.자세히 보기 →	$\angle T = -180°$ 인 곳에서 $-	T
발진 조건	$T = -1$ (크기 1, 위상 −180°) — 바크하우젠
↳ 여유 60°	오버슈트 ~4%, $Q = 0.6$
↳ 여유 45°	오버슈트 ~23%, $Q = 1.3$

전원

항목	공식	참고
리니어 손실	$P = (V_{in}-V_{out})I$	8-02
접합 온도	$T_J = T_A + PR_{\theta JA}$	15-07
리플 (정류(rectification))	$V_r = \dfrac{I}{f\cdot C}$	5-02
벅 듀티	$D = V_{out}/V_{in}$	8-03
벅 인덕터	$L = \dfrac{(V_{in}-V_{out})D}{\Delta I_Lf_{sw}}$
벅 출력 리플(ripple)	$\Delta V = \Delta I_L\left(\text{ESR}+\dfrac{1}{8f_{sw}C}\right)$
디커플링 용량	$C = \dfrac{I\Delta t}{\Delta V}$	8-04
PSRR 잔류	$V_{out} = V_{in}/10^{\text{PSRR}/20}$	8-06
삼상 전력	$P = \sqrt3\,V_{LL}I_L\cos\phi$ — 순시 전력이 일정	8-07
선간·상전압	$V_{LL} = \sqrt3\,V_{LN}$
역률역률 power factor흘린 전류가 얼마나 실제 일로 바뀌었는지의 비로, 위상 지연뿐 아니라 파형 왜곡도 이 값을 떨어뜨립니다. $\mathrm{PF} = P/(V_{rms}I_{rms})$ 자세히 보기 →	$\text{PF} = \underbrace{\cos\phi}_{\text{변위}}\times\underbrace{\dfrac{1}{\sqrt{1+\text{THD}_i^2}}}_{\text{왜곡}}$
무효 전력	$Q = \sqrt{S^2-P^2}$ , 보상 $C = Q/(2\pi fV^2)$
CCM·DCM 경계	$I_{out,crit} = \dfrac{V_{out}(1-D)}{2Lf_{sw}}$	8-08
↳ DCM 듀티	$D \propto \sqrt{I_{out}}$ — 전달함수가 통째로 바뀝니다
동기 정류 이득	$\Delta P = (V_F - I R_{DS(on)})I$
출력 LC 극점	$f_p = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ (2차, 전압 모드)	8-09
ESR 영점	$f_z = \dfrac{1}{2\pi R_{ESR}C}$
우반면 영점	$f_{RHPZ} = \dfrac{V_{out}(1-D)^2}{2\pi LI_{out}}$ (부스트)
↳ 대책	$f_{BW} \leq f_{RHPZ}/3$ — 보상으로는 못 없앱니다

잡음

항목	공식	참고
열잡음(thermal noise)	$e_n = \sqrt{4k_BTR} = 0.1287\sqrt R$ nV/√Hz	12-01
샷 잡음(shot noise)	$i_n = \sqrt{2qI}$
총 잡음	$v_n = e_n\sqrt{\Delta f_n}$
잡음 대역폭	$\Delta f_n = \displaystyle\int_0^\infty	H(f)
↳ 1차	$k = \pi/2 = 1.57$
↳ 2차 버터워스	$k = 1.11$
↳ 3차 버터워스	$k = 1.05$
RSS 합성	$v = \sqrt{\sum v_i^2}$
SNR	$20\log_{10}(V_s/V_n)$	12-02
프리즈	$v_{tot}^2 = v_1^2+\dfrac{v_2^2}{A_1^2}+\cdots$
잡음 지수(noise figure)	$\text{NF} = 10\log_{10}\left(1+\dfrac{e_n^2+(i_nR_S)^2}{4k_BTR_S}\right)$	12-09
최적 소스 임피던스	$R_{opt} = e_n/i_n$	12-09
↳ 벗어났을 때	$\text{NF}$ 열화는 $\left(r+\dfrac1r\right)$ , $r=R_S/R_{opt}$ — 10배 벗어나도 약 3 dB
1/f 포함	$e_n\sqrt{f_c\ln\frac{f_2}{f_1}+(f_2-f_1)}$	12-01
ADC SNR	$6.02n+1.76$ dB	10-04
오버샘플링(oversampling)	$\Delta n = \log_2(\text{OSR})/2$ 비트
지터(jitter) SNR	$-20\log_{10}(2\pi f_{sig}t_j)$	9-04
CMRR (전극(electrode))	$\approx Z_{in}/\Delta Z_{electrode}$	12-07
ENOB	$\dfrac{\text{SNDR}-1.76}{6.02}$ — 데이터시트 비트 수가 아닙니다	10-07
SNDR 합성	$\text{SNDR} = -10\log_{10}(10^{-\text{SNR}/10}+10^{\text{THD}/10})$
지터 한계 SNR	$-20\log_{10}(2\pi f_{in}t_{j,rms})$ — 주파수에 비례해 나빠집니다
ΔΣ 잡음 셰이핑	$\text{SNR} = 6.02n+1.76+(2L+1)10\log_{10}\text{OSR}-C_L$
DAC 글리치DAC 글리치 glitch impulse코드가 바뀌는 순간 스위치들이 동시에 안 바뀌어 나오는 스파이크로, 면적(V·s)으로 잽니다.자세히 보기 →	글리치 면적 [pV·s] — 코드 전이의 비대칭	10-08
R-2R 정합	$n$ 비트에 $2^{-n}$ 정합 필요 — 12비트면 0.024%

기생·PCB

항목	값/공식	참고
트레이스 인덕턴스(inductance)	~1 nH/mm	11-04
비아(via) 인덕턴스	0.5~1.2 nH
트레이스 저항 (1 oz)	$\dfrac{0.5}{W[\text{mm}]}$ mΩ/mm	15-05
트레이스-플레인(plane) 용량	1~3 pF/cm	11-04
케이블 용량	~100 pF/m	11-06
전류 용량 (1 oz, ΔT=10°C)	0.5 mm ≈ 1 A	15-05
유도 전압	$V = A\dfrac{dB}{dt} = AB_p2\pi f$	12-05
용량 결합(coupling)	$I = C_m\dfrac{dV}{dt}$	12-04
유도 결합	$V = M\dfrac{dI}{dt}$
부트스트랩(bootstrap)	$C_{eff} = C(1-A_v)$	11-05
전파 속도 (FR4)	~150 mm/ns	15-04
EMI 대역	$f \approx \dfrac{1}{\pi t_r}$	6-07
특성 임피던스	$Z_0 = \sqrt{L/C}$ (단위 길이당)	11-08
종단이 필요한 조건	$t_r < 2t_{pd}$ — 상승시간이 왕복 지연보다 짧으면
왕복 지연 (FR4)	$t_{pd} = \ell / 150\,\text{mm/ns}$
반사계수반사계수 reflection coefficient임피던스가 바뀌는 지점에서 되돌아오는 파의 비율로, 개방이면 +1이라 전압이 두 배로 튀어오릅니다. $\Gamma = \frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$ 자세히 보기 →	$\Gamma = \dfrac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$
↳ 개방 / 단락	$\Gamma = +1$ / $-1$
직렬 종단	$R_s = Z_0 - Z_{out,driver}$

다채널 시스템

항목	공식	참고
세틀링 시간	$t = 0.693(b+1)R_{out}C_{bus}$	16-01
채널×대역 상한	$N\times f_{frame} \leq 1/t_{settle}$
배선(trace) 수 (행열)	$2\sqrt N$
Charge injection	$\Delta V = Q_{inj}/C$	9-06
크로스토크 (세틀링)	$e^{-t/\tau}$	12-04
데이터율	$N_{ch}\times f_s\times b/8$ B/s	16-04
I2C 풀업(pull-up) 최소	$\dfrac{V_{DD}-0.4}{3\text{mA}}$	9-05
I2C 풀업 최대	$\dfrac{t_r}{0.8473C_b}$
메타스테이빌리티 MTBF	$\dfrac{e^{t_r/\tau}}{T_0f_{clk}f_{data}}$ — 시간을 주면 지수로 좋아집니다	9-08
상태 인코딩	이진 $\lceil\log_2N\rceil$ 비트, 원핫 $N$ 비트
정적 해저드정적 해저드 static hazard입력 하나가 바뀔 때 출력이 잠깐 반대로 튀는 현상으로, 게이트 지연 차이 때문에 생깁니다.자세히 보기 → 제거	인접한 두 묶음이 겹치도록 중복항 추가	9-07

상수

기호	값
$k_B$	$1.381\times10^{-23}$ J/K
$q$	$1.602\times10^{-19}$ C
$V_T$ (300 K)	25.85 mV
$\varepsilon_0$	$8.854\times10^{-12}$ F/m
$\varepsilon_r$ (FR4)	4.2~4.6
$\rho$ (구리)	$1.68\times10^{-8}$ Ω·m
구리 1 oz	35 µm

목차 → docs/README.md