삼상과 역률

한 줄 요약 — 삼상은 순시 전력이 일정한 유일한 구조라서 씁니다. 역률은 “전류를 얼마나 헛되이 흘리고 있는가”이고, 요즘은 위상보다 파형 왜곡이 더 큰 원인입니다.

왜 세 개인가

단상 교류의 순시 전력은 맥동합니다.

p(t) = V_p I_p \sin^2(\omega t) = \frac{V_p I_p}{2}\bigl(1 - \cos 2\omega t\bigr)

기호

omega각주파수angular frequencyrad/s

I_p피크 전류peak currentA

t시간times

V_p피크 전압peak voltageV

두 배 주파수로 0 까지 떨어집니다. 모터라면 그 순간마다 토크가 0 이고, 전원이라면 리플이 됩니다.

120° 씩 어긋난 셋을 더하면 맥동 항이 사라집니다.

\sum_{k=0}^{2}\sin^2\!\left(\omega t - \tfrac{2\pi k}{3}\right) = \frac{3}{2}

기호

omega각주파수angular frequencyrad/s

k결합 계수 또는 상수coupling coefficient or constant

t시간times

왜 정확히 상쇄되는가

$\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ 이므로 합은

\frac{3}{2} - \frac12\left[\cos2\omega t + \cos\left(2\omega t - \tfrac{4\pi}{3}\right) + \cos\left(2\omega t - \tfrac{8\pi}{3}\right)\right]

기호

omega각주파수angular frequencyrad/s

t시간times

대괄호 안은 120° 씩 벌어진 코사인 셋의 합이라 정확히 0 입니다 (단위원에 120° 간격으로 놓인 벡터 셋의 합).

p(t) = \frac{3V_pI_p}{4} = \text{일정}

기호

I_p피크 전류peak currentA

t시간times

V_p피크 전압peak voltageV

넷이나 여섯도 되지만 셋이 최소입니다. 전선을 적게 쓰면서 순시 전력을 일정하게 만드는 최소 개수 — 그래서 세상의 모든 배전이 삼상입니다.

핵심: 삼상을 쓰는 이유는 전력이 크기 때문이 아니라 맥동이 없기 때문입니다. 그래서 중성선에 전류가 (평형이면) 0 이고, 전선도 덜 씁니다.

Y 와 Δ

	선간 전압	선전류
Y (성형)	$\sqrt3 \times$ 상전압	= 상전류
Δ (삼각)	= 상전압	$\sqrt3 \times$ 상전류

$\sqrt3$ 은 120° 벌어진 두 벡터의 차의 크기입니다: $|1 - e^{-j2\pi/3}| = \sqrt3$ .

한국 배전: 상전압 220 V, 선간 380 V ( $220\sqrt3 = 381$ ).

전력은 어느 결선이든 같은 식입니다.

\boxed{P = \sqrt3\, V_{LL} I_L \cos\phi}

기호

phi위상phase°

I_L부하 전류load currentA

P전력powerW

V_LL전압 (LL)voltage (LL)V

★ 역률 — 두 가지가 섞여 있습니다

역률은 실제로 일한 전력 ÷ 흘린 전류가 만든 겉보기 전력입니다.

\mathrm{PF} = \frac{P}{S} = \frac{P}{V_{rms}I_{rms}}

기호

I_rms실효값 전류rms currentA

P전력powerW

S슬루레이트 또는 감도slew rate or sensitivity

V_rms실효값 전압rms voltageV

여기까지는 하나인데, 원인이 둘입니다.

\boxed{\mathrm{PF} = \underbrace{\cos\phi}_{\text{변위 역률}} \times \underbrace{\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{THD}_i^2}}}_{\text{왜곡 역률}}}

기호

phi위상phase°

THD전고조파 왜곡total harmonic distortiondB

	원인	누가 만드나	고치는 법
변위 $\cos\phi$	전류가 전압보다 뒤짐	모터·형광등 안정기	커패시터 병렬
왜곡	전류가 정현파가 아님	정류정류 rectification교류를 한쪽 방향으로만 흐르게 걸러 직류로 만드는 일입니다.자세히 보기 →기 + 평활 커패시터	PFC 회로

⚠️ 요즘 문제는 거의 왜곡 쪽입니다. 다이오드 브리지 + 큰 커패시터는 전압 꼭대기 근처에서만 짧고 뾰족하게 전류를 끌어갑니다. 위상은 안 밀렸는데 ( $\cos\phi \approx 1$ ) 파형이 정현파가 아니라 역률이 0.5~0.6 밖에 안 됩니다. 커패시터를 아무리 병렬로 달아도 안 고쳐집니다.

계산 예제 — 이 부하의 역률과 대책

부하: 단상 220 V, 유효전력 1 kW, 역률 0.65 (다이오드 정류 전원).

흘리는 전류:

I = \frac{P}{V \cdot \mathrm{PF}} = \frac{1000}{220 \times 0.65} = 7.0\ \mathrm{A}

기호

I전류currentA

P전력powerW

V전압voltageV

역률이 1 이었다면 $1000/220 = 4.5$ A. 2.5 A 를 헛되이 흘립니다.

배선 손실: 배선 저항 0.2 Ω 왕복이면

P_{loss} = I^2R = 7.0^2 \times 0.2 = 9.8\ \mathrm{W} \quad\text{vs}\quad 4.5^2 \times 0.2 = 4.1\ \mathrm{W}

기호

I전류currentA

P_loss전력 (loss)power (loss)W

R저항resistanceΩ

2.4배. 전기요금은 유효전력으로 내지만 배선과 차단기는 겉보기 전류로 정해야 합니다.

대책을 고릅니다.

방법	이 경우	판정
커패시터 병렬	$\cos\phi$ 는 이미 0.98	✗ 효과 없음
패시브 PFC (인덕터)	PF 0.65 → 0.8	△ 싸고 크고 무거움
액티브 PFC (부스트)	PF 0.65 → 0.99	✓ 표준 해법

전류 파형을 보면 어느 쪽인지 바로 압니다. 정현파인데 밀려 있으면 변위, 뾰족하면 왜곡입니다.

THD 와 고조파

정류기 전류의 고조파는 홀수 차수(3·5·7…)에 몰립니다. 삼상에서 특히 문제가 되는 것이 3의 배수 차수입니다.

고조파	삼상에서
5차·7차	상끼리 상쇄되어 선에서 줄어듦
3차·9차 (영상분)	세 상이 동상 → 중성선에 다 더해짐

⚠️ 중성선에 상전류의 1.7배까지 흐를 수 있습니다. 평형이면 0 일 거라 믿고 중성선을 가늘게 깔면 중성선만 타는 사고가 납니다. 비선형 부하가 많은 건물(LED·컴퓨터·인버터)에서 실제로 일어납니다.

시뮬레이션으로 확인

정류기의 전류 파형과 역률워크벤치에서 열기 →

# examples/08-power/rectifier-power-factor.yaml
meta:
  name: 정류기의 전류 파형과 역률
  lesson: docs/08-power/07-three-phase.md
  note: C1 을 10u / 100u / 470u 로 바꾸며 전류 펄스가 얼마나 뾰족해지는지 본다
components:
  - {ref: VAC, type: vsin, params: {offset: 0, amp: 311, freq: 60}}
  - {ref: RL, type: r, value: 0.5, label: 선로 저항}
  - {ref: D1, type: d, model: 1N4007}
  - {ref: C1, type: c_pol, value: 100u, label: 평활}
  - {ref: RLOAD, type: r, value: 470, label: 부하}
nets:
  AC: [VAC.p, RL.1]
  ANODE: [RL.2, D1.a]
  DC: [D1.k, C1.'+', RLOAD.1]
  GND: [VAC.n, C1.'-', RLOAD.2]
analyses:
  - {type: tran, tstep: 50u, tstop: 100m}

RL 에 걸리는 전압이 곧 전류 파형입니다. C1 을 키울수록 더 짧고 더 뾰족해집니다 — 리플은 줄지만 역률은 나빠집니다. 둘이 정확히 반대로 움직이는 것이 이 예제의 요점입니다.

⚖️ 트레이드오프

선택	✅	⚠️
평활 커패시터 크게	리플리플 ripple직류가 되다 만 나머지 교류분으로, 평활 커패시터가 얼마나 큰지로 정해집니다. $V_r = \frac{I}{f\,C}$ 자세히 보기 →↓, 과도응답↑	역률↓, 돌입 전류돌입 전류 inrush current전원을 켜는 순간 빈 커패시터로 쏟아져 들어가는 큰 전류로, 수십 A 에 이르기도 합니다.자세히 보기 →↑, 다이오드 피크 전류↑
커패시터 병렬 (역률 보상)	변위 역률 개선, 쌈	왜곡에는 무효, 공진 위험
패시브 PFC	단순, 고장 적음	크고 무거움, PF 0.8 정도
액티브 PFC	PF 0.99, 넓은 입력 전압	부품·비용·EMI
삼상 정류	리플 작음(6펄스), 역률 나음	삼상 배전 필요

🔌 실제 쓰임새

75 W 이상 전원은 PFC 가 법적 요구 (IEC 61000-3-2)
측정 장비의 전원 — 정류기 전류 펄스가 접지에 잡음을 만듭니다. 민감한 측정에서는 리니어 전원이나 배터리를 쓰는 이유 (16-03)
모터 인버터 — 삼상 출력을 만드는 것이 곧 인버터
건물 중성선 과열 — 3차 고조파 누적

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
삼상이 평형	부하가 달라 중성선에 전류가 흐릅니다
PF = $\cos\phi$	왜곡 역률이 더 큽니다 (정류 부하)
중성선은 가늘어도 됨	3차 고조파가 누적돼 상전류보다 클 수 있습니다
커패시터로 역률 개선	왜곡에는 안 듣고, 선로 인덕턴스와 공진할 수 있습니다
60 Hz 만 신경	고조파가 kHz 까지 올라가 측정 회로에 결합합니다

연습문제

문제 1. 선간 380 V 삼상, 유효전력 10 kW, 역률 0.85. 선전류는?

exercises/08-07-line-current.yaml

풀이

P = \sqrt3\,V_{LL}I_L\cos\phi \quad\Rightarrow\quad I_L = \frac{P}{\sqrt3\,V_{LL}\cos\phi}

기호

phi위상phase°

I_L부하 전류load currentA

P전력powerW

V_LL전압 (LL)voltage (LL)V

I_L = \frac{10000}{1.732 \times 380 \times 0.85} = \frac{10000}{559.4} = \mathbf{17.9\ A}

기호

A이득gain

I_L부하 전류load currentA

역률이 1 이면 15.2 A. 2.7 A 차이이고, 차단기와 케이블은 17.9 A 기준 으로 골라야 합니다.

문제 2. 역률 0.6 인 장비에 커패시터를 병렬로 달았는데 전혀 개선되지 않았습니다. 왜입니까?

연습 8-07-2 — 커패시터를 달았는데 역률이 안 좋아지는 경우워크벤치에서 열기 →

풀이

왜곡 역률이기 때문입니다.

전류 파형을 보면 정현파가 아니라 뾰족한 펄스일 것입니다. 다이오드 브리지 + 평활 커패시터가 전압 꼭대기 근처에서만 전류를 끌어가는 파형입니다.

\mathrm{PF} = \cos\phi \times \frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{THD}_i^2}}

기호

phi위상phase°

THD전고조파 왜곡total harmonic distortiondB

$\cos\phi \approx 0.98$ 인데 $\mathrm{THD}_i \approx 1.3$ 이면 $1/\sqrt{1+1.69} = 0.61$ — 0.6 이 나옵니다.

커패시터는 $\cos\phi$ 만 고칩니다. 이미 0.98 이라 고칠 게 없습니다.

해결은 PFC 회로뿐입니다. 액티브 PFC 는 부스트 컨버터로 입력 전류가 전압 파형을 따라가게 강제해 THD 를 5% 아래로 만듭니다 → PF 0.99.

문제 3. 3상 4선식 건물에서 각 상에 LED 조명이 골고루 달려 있습니다. 중성선 전류가 상전류보다 큽니다. 왜입니까?

exercises/08-07-neutral-current.yaml

풀이

3차 고조파가 세 상에서 동상이기 때문입니다.

기본파(60 Hz)는 세 상이 120° 씩 벌어져 있어 중성선에서 상쇄됩니다. 그런데 3차 고조파(180 Hz)는 위상이 $3 \times 120° = 360°$ 씩 벌어진 것이라 셋이 정확히 같은 위상입니다. 상쇄되지 않고 더해집니다.

I_N = 3 I_{3rd}

기호

I_3rd전류 (3rd)current (3rd)A

I_N전류 (N)current (N)A

LED 드라이버·컴퓨터 전원 같은 비선형 부하는 3차 고조파가 기본파의 60~80% 에 이릅니다. 세 상이 완벽히 평형이어도

I_N = 3 \times 0.7 I_1 = 2.1 I_1

기호

I_11번 전류current 1A

I_N전류 (N)current (N)A

상전류의 2배가 넘습니다.

대책:

중성선을 상선보다 굵게 — 비선형 부하가 많은 건물의 표준
부하를 분산 — 선형 부하와 섞기
PFC 가 있는 조명 — 3차 고조파 자체를 줄임
3차 고조파 필터(영상분 트랩)

⚠️ 평형이면 중성선에 전류가 0 이라는 것은 선형 부하일 때만 참입니다. 요즘 건물에서는 거의 성립하지 않습니다.

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