배선과 비아의 R·L·C

한 줄 요약 — PCB 배선(trace)은 부품입니다. 1 mm당 1 nH, 그리고 인접 배선과 용량으로 결합합니다.

암기할 값

구조	값
PCB 트레이스 인덕턴스(inductance)	~1 nH/mm (폭에 약간 의존)
비아(via) 인덕턴스	0.5~1.2 nH (1.6 mm 두께 기준)
트레이스 저항 (1 oz, 폭 0.25 mm)	~2 mΩ/mm
인접 트레이스 용량	0.5~2 pF/cm (간격에 의존)
트레이스-플레인(plane) 용량	1~3 pF/cm (0.2 mm 프리프레그)
점퍼선 (브레드보드)	~10 nH/cm
IC 리드 (스루홀(through-hole))	3~10 nH

트레이스 저항

R = \rho\frac{L}{W\times t}

기호

rho비저항resistivityΩ·m

L인덕턴스inductanceH

R저항resistanceΩ

t시간times

W채널 폭channel widthm

1 oz 구리 = 35 µm 두께

R \approx \frac{0.5}{W[\text{mm}]}\ \text{m}\Omega/\text{mm} \quad (1\ \text{oz})

기호

R저항resistanceΩ

W채널 폭channel widthm

예

폭 0.25 mm, 길이 50 mm, 1 oz:

R = \frac{0.5}{0.25}\times50 = 100\ \text{m}\Omega

기호

R저항resistanceΩ

1 A가 흐르면 100 mV 강하. 무시할 수 없습니다.

★ 트레이스 인덕턴스

L \approx 0.2\,l\left[\ln\frac{2l}{W+t} + 0.5 + 0.2235\frac{W+t}{l}\right]\ \text{nH} \quad (l, W, t\ \text{in mm})

기호

L인덕턴스inductanceH

t시간times

W채널 폭channel widthm

복잡하지만 실용적으로는 1 nH/mm로 기억하면 충분합니다.

왜 중요한가

V = L\frac{di}{dt}

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

i전류 (순시값)instantaneous currentA

L인덕턴스inductanceH

t시간times

V전압voltageV

예: 10 mm 배선(10 nH)에 전류가 1 ns 만에 50 mA 변하면:

V = 10^{-8}\times\frac{0.05}{10^{-9}} = 0.5\ \text{V}

기호

V전압voltageV

500 mV의 전압 튐.

인덕턴스를 줄이는 방법

방법	효과
짧게	길이에 거의 비례
넓게	로그 함수라 효과 제한적 (2배 넓혀도 20~30% 감소)
리턴 경로를 가까이	가장 효과적 — 루프 인덕턴스가 지배
여러 병렬 경로	$1/N$ (단, 서로 멀어야 효과적)

💡 “루프 인덕턴스”가 진짜 문제입니다. 신호선 하나의 인덕턴스가 아니라, 신호선 + 리턴 경로가 만드는 루프의 면적이 인덕턴스를 결정합니다. 그라운드 플레인이 바로 아래 있으면 루프 면적(loop area)루프 면적 loop area가는 길과 오는 길이 감싸는 넓이로, 이것이 곧 안테나 크기이므로 좁힐수록 잡음이 줍니다.자세히 보기 →이 최소가 되어 인덕턴스가 크게 줄어듭니다 → 12-05

비아

항목	값
인덕턴스	0.5~1.2 nH (관통 비아, 1.6 mm)
저항	~1 mΩ
용량	0.3~0.8 pF (안티패드 크기에 의존)

디커플링 커패시터(decoupling capacitor)디커플링 decoupling소자 바로 옆에 둔 커패시터가 순간 전류를 대신 대 주어 전원이 출렁이지 않게 합니다.자세히 보기 →의 비아 2개(전원+접지) = 1~2 nH — 커패시터(capacitor) ESL(0.5 nH)보다 큽니다.

대책:

via-in-pad (패드(pad) 안에 비아) — 인덕턴스 최소
비아를 패드 바로 옆에
비아 여러 개 병렬

★ 트레이스 간 기생 용량

C \approx \varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}

기호

A이득gain

C정전용량capacitanceF

d거리 또는 두께distance or thicknessm

r저항 (소신호)small-signal resistanceΩ

나란한 두 트레이스(폭 0.2 mm, 간격 0.2 mm, 길이 10 mm, FR4):

C \approx 8.85\times10^{-12}\times4.4\times\frac{0.2\times10\times10^{-6}}{0.2\times10^{-3}} \approx 0.39\ \text{pF}

기호

C정전용량capacitanceF

0.4 pF. 작아 보이지만:

1 MΩ 노드에서 시정수 0.4 µs → 대역폭(bandwidth) 400 kHz
인접 배선의 신호가 이 용량을 통해 결합(coupling) → 크로스토크 (12-04)

결합 전압

V_{coupled} = V_{aggressor}\times\frac{C_{coupling}}{C_{coupling}+C_{victim}}

기호

C_coupling정전용량 (coupling)capacitance (coupling)F

C_victim정전용량 (victim)capacitance (victim)F

V_aggressor전압 (aggressor)voltage (aggressor)V

V_coupled전압 (coupled)voltage (coupled)V

또는 고임피던스에서:

V_{coupled} = C_{coupling}\times R_{victim}\times\frac{dV_{aggressor}}{dt}

기호

C_coupling정전용량 (coupling)capacitance (coupling)F

d거리 또는 두께distance or thicknessm

R_victim저항 (victim)resistance (victim)Ω

t시간times

V_aggressor전압 (aggressor)voltage (aggressor)V

V_coupled전압 (coupled)voltage (coupled)V

예: 0.4 pF 결합, 희생 노드 1 MΩ, 공격 신호가 1 V/10 ns로 변함:

I = C\frac{dV}{dt} = 0.4\times10^{-12}\times10^8 = 40\ \mu\text{A}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

C정전용량capacitanceF

d거리 또는 두께distance or thicknessm

I전류currentA

t시간times

V전압voltageV

V = 40\ \mu\text{A}\times1\ \text{M}\Omega = 40\ \text{V}\ (\text{클램프됨})

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

V전압voltageV

고임피던스 노드는 인접 배선의 스위칭에 완전히 무방비입니다.

계산 예제 — 고임피던스 배선의 재앙

전극(electrode) 신호(1 MΩ)를 PCB에서 30 mm 배선합니다.

기생 용량(parasitic capacitance)기생 용량 parasitic capacitance부품·배선·케이블이 원치 않게 갖는 커패시턴스로, 고임피던스 신호원에서 대역폭을 가장 먼저 잡아먹습니다.자세히 보기 →: 트레이스-플레인 약 2 pF/cm × 3 cm = 6 pF

f_c = \frac{1}{2\pi\times10^6\times6\times10^{-12}} \approx 26.5\ \text{kHz}

기호

f_c차단 주파수cutoff frequencyHz

26.5 kHz. MUA 대역(5 kHz)은 통과하지만 여유가 없습니다.

만약 배선이 100 mm라면: 20 pF → 7.96 kHz — MUA 대역이 잘립니다.

고임피던스 신호는 최대한 짧게 배선하고, 즉시 버퍼로 임피던스(impedance)임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다. $Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$ 자세히 보기 →를 낮춰야 합니다.

이것이 16-01에서 픽셀 안에 버퍼를 넣는 이유의 물리적 근거입니다. 전극에서 1 µm 떨어진 곳에 소스 팔로워(source follower)소스 팔로워 source follower전압 이득이 1인데도 쓰는 이유는 높은 임피던스를 낮은 임피던스로 바꿔 주기 때문입니다.자세히 보기 →가 있으면 기생 용량이 fF 수준입니다.

시뮬레이션으로 확인

배선 기생 용량이 고임피던스 신호를 죽인다워크벤치에서 열기 →

# examples/11-parasitics/trace-capacitance.yaml
meta:
  name: 배선 기생 용량이 고임피던스 신호를 죽인다
  lesson: docs/11-parasitics/04-trace-parasitics.md
  note: CT를 0.5p/6p/20p로 바꾸며 대역폭 변화를 본다
components:
  - {ref: V1, type: vac, value: 1}
  - {ref: RE, type: r, value: 1MEG, label: 전극 임피던스}
  - {ref: CT, type: c, value: 6p,   label: 배선 기생 용량(30mm)}
  - {ref: RI, type: r, value: 10G,  label: 증폭기 입력}
nets:
  SRC: [V1.p, RE.1]
  IN:  [RE.2, CT.1, RI.1]
  GND: [V1.n, CT.2, RI.2]
analyses:
  - {type: ac, sweep: dec, points: 30, fstart: 100, fstop: 10MEG}
expect:
  - {measure: gain_db, node: IN, at: 26.5k, analysis: ac, value: -3, tol: 0.5}

⚖️ 부품/레이아웃 트레이드오프

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
짧은 배선	R·L·C 모두 감소	배치 자유도 감소
넓은 배선	저항↓ (전류 용량↑)	용량↑, 면적
좁은 배선	용량↓ (고임피던스에 유리)	저항↑, 전류 용량↓
그라운드 플레인 인접	인덕턴스↓, 리턴 경로 확보, 차폐(shielding)차폐 shielding도체로 감싸 전기장을 막는 것으로, 한쪽 끝만 접지해야 접지 루프가 생기지 않습니다.자세히 보기 →	용량↑ (고임피던스에 불리)
고임피던스 배선 아래 플레인 제거	용량↓ → 대역폭↑	차폐 약해짐, 노이즈 유입↑
가드링(guard ring)가드링 guard ring고임피던스 노드를 같은 전압의 링으로 둘러싸 표면 누설을 없애는 기법입니다.자세히 보기 →	누설 차단, 실효 용량↓ (같은 전위로 구동 시)	면적, 버퍼 필요
비아 최소화	인덕턴스↓	배선 제약

⚠️ 그라운드 플레인은 양날의 검입니다. 인덕턴스와 노이즈에는 좋지만, 고임피던스 노드 아래에 있으면 용량을 추가해 대역폭을 깎습니다.

TIA의 반전(inverting) 입력이나 전극 입력 노드 아래는 플레인을 제거하고, 대신 가드링으로 보호하는 것이 표준 기법입니다 → 15-06

🔌 실제 쓰임새

배선	주의할 기생	대책
고임피던스 입력	용량	짧게, 플레인 제거, 가드링
디커플링 경로	인덕턴스	최단, via-in-pad
전원 배선	저항, 인덕턴스	넓게, 플레인
클럭·고속 신호	인덕턴스, 크로스토크(crosstalk)크로스토크 crosstalk옆 배선의 신호가 용량이나 자기장을 타고 내 신호에 섞여 들어오는 것입니다.자세히 보기 →	임피던스 제어, 이격
션트 감지 배선	인덕턴스	켈빈 연결(Kelvin connection)
아날로그 신호	크로스토크	디지털에서 이격, 가드

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
배선 = 0 Ω	R + L + C
배선 위치 무관	인접 배선·플레인과 결합
회로도가 전부	레이아웃이 회로의 일부
시뮬레이션대로	기생이 시뮬에 없으면 실물이 다름

💡 고주파·고임피던스 회로에서는 “레이아웃이 회로”입니다. 회로도만으로는 동작을 예측할 수 없고, 배치와 배선을 정해야 비로소 특성이 결정됩니다.

연습문제

문제 1. 폭 0.3 mm, 길이 100 mm, 1 oz 배선의 저항과 인덕턴스는?

exercises/11-04-trace-rl.yaml

풀이

저항: $\dfrac{0.5}{0.3}\times100 \approx 167\ \text{m}\Omega$

인덕턴스: $\approx 100\ \text{nH}$ (1 nH/mm)

1 A가 흐르면 167 mV 강하하고, 전류가 1 µs에 1 A 변하면 $L\,di/dt = 100$ mV의 전압이 추가로 발생합니다.

문제 2. 고임피던스(10 MΩ) 노드를 20 mm 배선했습니다. 대역폭은? (트레이스-플레인 2 pF/cm)

연습 11-04-2 — 배선 20 mm 가 10 MΩ 노드에 하는 일워크벤치에서 열기 →

풀이

C = 2\ \text{pF/cm}\times2\ \text{cm} = 4\ \text{pF}

기호

C정전용량capacitanceF

f_c = \frac{1}{2\pi\times10^7\times4\times10^{-12}} \approx 3.98\ \text{kHz}

기호

f_c차단 주파수cutoff frequencyHz

약 4 kHz. 대부분의 응용에 부족합니다.

개선:

배선을 2 mm로 단축 → 40 kHz
아래 플레인 제거 → 용량이 절반 이하로 → 10 kHz 이상
가드링으로 부트스트랩(bootstrap) → 실효 용량 거의 0
소스 옆에 버퍼 ← 근본 해결

문제 3. 디커플링 커패시터를 IC에서 5 mm 떨어뜨리고 비아 2개로 접지에 연결했습니다. 총 루프 인덕턴스는? 100 MHz에서 임피던스는?

exercises/11-04-decoupling-loop.yaml

풀이

요소	인덕턴스
전원핀 → 커패시터 배선 5 mm	5 nH
커패시터 ESL (0402)	0.4 nH
접지 비아	0.8 nH
전원 비아	0.8 nH
커패시터 → 접지 배선 2 mm	2 nH
합계	~9 nH

|Z| = 2\pi\times10^8\times9\times10^{-9} \approx 5.65\ \Omega

기호

Z임피던스impedanceΩ

5.65 Ω. 100 nF 커패시터가 이상적이라면 0.016 Ω이어야 하므로 350배 나쁩니다.

개선 (배치만 바꿔서):

배선 1 mm, via-in-pad → 총 ~2 nH → 1.26 Ω (4.5배 개선)
커패시터 3개 병렬 → ~0.7 nH → 0.44 Ω (13배 개선)

부품을 바꾸지 않고 배치만 고쳐서 13배를 얻었습니다. 이것이 “디커플링은 배치가 값보다 중요하다”의 정량적 근거입니다.

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