잡음 지수와 최적 소스 임피던스

한 줄 요약 — 소자를 고를 때 보는 것은 “잡음이 낮은가”가 아니라 “내 신호원에서 잡음이 낮은가” 입니다. 그 답은 $R_S = e_n/i_n$ 에 있습니다.

12-02가 두 식을 결론만 주고 지나갔습니다.

그리고 16-00 방법론의 3단계 — 회로를 그릴지 말지를 정하는 그 판정 — 은 잡음 대역폭 계수 $k = 1.57 / 1.11 / 1.05$ 를 표에서 꺼내 씁니다.

이 문서는 그 셋을 전부 직접 구합니다. 그러고 나면 소자 선택이 취향이 아니라 계산이 됩니다.

소자의 잡음은 왜 두 개인가

열잡음열잡음열잡음 thermal noise모든 저항이 온도 때문에 내는 피할 수 없는 잡음으로, 측정의 바닥을 정합니다.$$e_n = \sqrt{4k_BTR}$$자세히 보기 →은 저항 하나면 값이 정해집니다. 그런데 증폭기의 잡음은 데이터시트에 두 개로 적혀 있습니다.

두 개인 이유는 소자가 신호원에 무엇을 하느냐가 두 가지이기 때문입니다. 전압을 재면서 잡음 전압을 얹고, 동시에 전류를 조금 끌어가면서 잡음 전류를 흘립니다. 그 전류가 신호원의 임피던스를 지나면 전압으로 바뀝니다.

이것이 핵심입니다. $i_n$ 은 그 자체로는 작지만 $R_S$ 가 크면 커집니다. 그래서 “이 OP앰프는 잡음이 낮다”는 말은 $R_S$ 를 말하지 않으면 뜻이 없습니다.

입력에서 본 전체 잡음

셋을 모읍니다 — 서로 무관하므로 제곱합의 제곱근입니다.

잡음 지수 — 소자가 얼마나 더했나

신호원의 열잡음은 어차피 있는 것입니다. 아무리 좋은 소자를 써도 못 없앱니다. 그래서 진짜 물어야 할 것은 “소자가 그 위에 얼마나 더 얹었나” 입니다.

💡 NF가 낮다는 것은 “신호원 잡음이 지배한다”는 뜻입니다. 그 상태에서는 소자를 더 좋은 것으로 바꿔도 개선되지 않습니다. 개선하려면 신호원을 바꾸거나 대역을 좁혀야 합니다.

★ 최적 소스 임피던스 — 직접 최소화

$\mathrm{NF}$ 를 최소로 만드는 $R_S$ 를 찾습니다. 로그는 단조증가이므로 괄호 안만 최소화하면 됩니다.

미분해서 0:

이 지점에서 두 항이 정확히 같아집니다.

전압잡음의 기여와 전류잡음의 기여가 맞먹는 곳이 최적점입니다. 외울 필요가 없는 이유가 이것입니다 — “둘이 같아지는 곳”이 곧 답입니다.

최소 잡음 지수도 바로 나옵니다.

여기에는 $R_S$ 가 없습니다. 소자가 낼 수 있는 최선은 $e_n i_n$ 곱 하나로 정해지고, 그것이 소자의 진짜 품질 지표입니다.

최적점에서 벗어나면 얼마나 나빠지나

$r = R_S/R_{S,opt}$ 로 두면

2배쯤 벗어나는 것은 1 dB도 안 됩니다. 최적점을 정확히 맞추려고 애쓸 필요는 없고, 자릿수가 맞는지만 보면 됩니다. 이것이 실무에서 중요한 결론입니다.

소자 고르기가 계산이 되는 지점

16-00 4단계의 소자 선택 규칙이 이 표이고, 이제 그 근거가 위 유도입니다.

예: 전극 $R_S = 1$ MΩ 인데 $e_n$ 이 0.9 nV/√Hz 인 저잡음 바이폴라 (AD797, $i_n = 2$ pA/√Hz)를 쓰면

$e_n$ 의 2,200배입니다. “가장 잡음이 낮은 OP앰프”를 골랐는데 최악의 선택이 된 것입니다. $R_{S,opt} = 0.9\ \text{nV}/2\ \text{pA} = 450\ \Omega$ 이니 당연합니다.

★ 잡음 대역폭 — 1.57은 어디서 나오나

지금까지 $v_n = e_n\sqrt{\Delta f}$ 를 썼습니다. 그런데 $\Delta f$ 에 무엇을 넣어야 할까요? 필터는 차단 주파수에서 뚝 끊기지 않고 완만하게 내려갑니다. 그 꼬리로 새는 잡음까지 세야 합니다.

정의: 같은 양의 잡음을 통과시키는 벽돌담 필터의 폭.

1차 저역통과 $|H|^2 = 1/(1+(f/f_c)^2)$ 로 해 봅니다.

$u = f/f_c$ 로 치환하면 $df = f_c\,du$,

1.57이 나왔습니다. $\pi/2$ 였습니다.

차수를 높이면 잡음 대역폭이 $f_c$ 에 수렴합니다. 안티에일리어싱 필터를 높은 차수로 만들면 에일리어싱뿐 아니라 잡음도 같이 줄어드는 이유입니다.

⚠️ $f_c$ 를 그대로 $\Delta f$ 에 넣으면 1차에서 57%를 과소평가합니다. 잡음 전압으로는 $\sqrt{1.57} = 1.25$ 배, 약 2 dB 입니다. 노이즈 예산이 아슬아슬할 때 이것 때문에 판정이 뒤집힙니다.

계산 예제

예제 1 — 전극 앞단 소자 선택

$R_S = 100$ kΩ (전극), 대역 1 Hz ~ 1 kHz (1차 LPF), 목표 SNR 20 dB, 신호 50 µV rms.

① 신호원 열잡음

② 잡음 대역폭

③ 신호원만의 잡음

④ 허용 잡음

$1.61 < 5$ 이므로 가능합니다. 여유는 $5/1.61 = 3.1$ 배.

⑤ 소자에 허용되는 몫

신호원보다 3배 시끄러워도 됩니다 — 소자 선택이 아주 편한 경우입니다.

⑥ 그래도 $i_n$ 은 확인

$R_S = 100$ kΩ 이므로 $i_n$ 이 $119\ \text{nV}/100\ \text{k}\Omega = 1.19$ pA/√Hz 보다 훨씬 작아야 합니다. 바이폴라(수 pA)는 탈락, JFET/CMOS(수십 fA)는 통과.

예제 2 — 왜 대역을 좁히는 것이 소자를 바꾸는 것보다 강한가

위에서 대역을 1 kHz → 100 Hz 로 줄이면 $\sqrt{\Delta f_n}$ 이 $\sqrt{10}$ 배 작아지므로 잡음이 3.16배(10 dB) 개선됩니다.

소자를 40 nV/√Hz 에서 4 nV/√Hz 로 바꿔도, 신호원 열잡음 40.7 nV/√Hz 가 남아 있으므로 전체는

거의 0입니다. 16-00이 ”❌ 판정이 나오면 회로를 설계하지 말고 대역을 줄이거나 신호원을 바꾸라”고 하는 이유가 이 비교입니다.

시뮬레이션으로 확인

# examples/12-noise-si/optimum-source.yaml
meta:
  name: 최적 소스 임피던스
  lesson: docs/12-noise-si/09-noise-figure.md
  note: RS를 45 / 450 / 4.5k Ω 로 바꿔 가며 잡음 지수가 최소가 되는 지점을 찾는다
components:
  - {ref: VP, type: vdc, value: 15}
  - {ref: VN, type: vdc, value: -15}
  - {ref: VS, type: vac, value: 1}
  - {ref: RS, type: r, value: 450, label: 신호원 저항}
  - {ref: R1, type: r, value: 1k}
  - {ref: R2, type: r, value: 99k, label: 이득 100}
  - {ref: U1, type: opamp, model: OPA140}
nets:
  VCC: [VP.p, U1.'v+']
  VEE: [VN.p, U1.'v-']
  SRC: [VS.p, RS.1]
  IN: [RS.2, U1.'in+']
  FB: [U1.'in-', R1.1, R2.1]
  OUT: [U1.out, R2.2]
  GND: [VP.n, VN.n, VS.n, R1.2]
analyses:
  - {type: noise, out: OUT, source: VS, sweep: dec, points: 10, fstart: 1, fstop: 100k}

RS를 45 Ω / 450 Ω / 4.5 kΩ 로 바꿔 가며 출력 잡음을 비교하세요. 450 Ω 근처가 신호원 열잡음 대비 가장 유리해야 합니다 — 절대 잡음은 $R_S$ 가 클수록 커지므로, 보는 것은 NF 이지 절대값이 아닙니다.

⚖️ 부품 트레이드오프

💡 마지막 줄이 재미있습니다. 소자를 병렬로 놓으면 $e_n$ 은 줄고 $i_n$ 은 늘어서 $R_{S,opt}$ 가 $1/N$ 로 내려갑니다. 낮은 임피던스 신호원에 맞추는 표준적인 수법입니다.

🔌 실제 쓰임새

⚠️ 이상과 실제의 차이

⚠️ 마지막 줄이 가장 흔한 오해입니다. $R_S$ 를 키우면 신호원 열잡음이 커져서 분모가 커지므로 NF는 저절로 좋아 보입니다. NF만 보고 “이 설계가 좋다”고 판단하면 안 되고, 언제나 절대 잡음과 신호 크기를 함께 봐야 합니다.

연습문제

문제 1. $e_n = 4$ nV/√Hz, $i_n = 0.6$ pA/√Hz 인 OP앰프의 최적 소스 임피던스는?

문제 2. 위 소자를 $R_S = 1$ MΩ 에 쓰면 최적점 대비 몇 dB 손해입니까?

exercises/12-09-mismatch-loss.yaml

문제 3. 2차 버터워스 LPF ($f_c = 1$ kHz)의 잡음 대역폭을 구하고, 1차와 비교했을 때 잡음 전압이 몇 %나 줄어드는지 계산하세요.

exercises/12-09-2nd-order-nbw.yaml

문제 4. 어떤 광센서의 출력을 TIA로 받습니다. 포토다이오드는 전류원이고 접합 용량 $C_j = 50$ pF, 피드백 저항 $R_f = 1$ MΩ 입니다. 이 경우 “최적 소스 임피던스”라는 개념을 그대로 쓸 수 있습니까?

exercises/12-09-tia-optimum.yaml

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