소신호 모델과 g_m/I_D

한 줄 요약 — 트랜지스터를 동작점 주변에서 직선으로 근사하면 종속전원 하나짜리 회로가 됩니다. 그 직선의 기울기가 $g_m$ 이고, 설계는 $g_m$ 을 전류로 사느냐 면적으로 사느냐의 문제입니다.

왜 작은 신호만 따로 보는가

트랜지스터의 $I$–$V$ 는 지수함수(BJT)이거나 제곱함수(MOSFET)입니다. 비선형입니다. 그런데 한 점 주변의 아주 작은 구간만 보면 직선입니다.

그 기울기에 이름을 붙인 것이 전달 컨덕턴스전달 컨덕턴스전달 컨덕턴스 transconductance입력 전압을 얼마나 큰 출력 전류로 바꾸는지를 나타내며, 증폭기의 이득이 여기서 출발합니다.$$g_m = \frac{\partial I_{out}}{\partial V_{in}}$$자세히 보기 →입니다.

그래서 소신호 해석은 두 단계입니다.

핵심: DC 는 비선형으로, 신호는 선형으로. 두 세계를 잇는 다리가 $g_m$ 입니다. 중첩중첩중첩의 원리 superposition선형 회로에서는 전원을 하나씩만 켜고 푼 결과를 더하면 전체 답이 됩니다.자세히 보기 →이 소신호에서만 통하는 이유이기도 합니다.

$g_m$ 을 유도한다

BJT — 지수함수의 미분

$V_T = kT/q \approx 26$ mV (상온). $g_m$ 이 전류에 정비례하고 소자 크기와 무관합니다 — BJT 의 가장 중요한 성질입니다.

MOSFET — 제곱함수의 미분

포화 영역에서 $I_D = \frac{k}{2}(V_{GS}-V_{th})^2$ 이므로

같은 것을 다르게 쓰면 $g_m = \sqrt{2kI_D}$ — 전류의 제곱근에만 비례합니다. BJT 처럼 정비례가 아닙니다.

★ $g_m/I_D$ — 설계의 진짜 손잡이

전류 1 A 를 쓸 때 $g_m$ 을 얼마나 얻는가. 이 비가 곧 효율입니다.

MOSFET 은 $V_{ov}$ 를 줄이면 $g_m/I_D$ 가 올라갑니다. 그런데 무한정은 아닙니다 — $V_{ov}$ 가 100 mV 아래로 내려가면 약반전 으로 들어가 지수 거동이 되고, BJT 와 같은 상한 $1/(nV_T) \approx 25{\sim}30\ \mathrm{V}^{-1}$ 에서 멈춥니다.

16/01 이 쓰는 $g_m/I_D = 10$ 은 여기서 나옵니다. 중간반전 언저리에서 잡은 값이고, 근거 없이 고른 숫자가 아닙니다. $V_{ov} \approx 200$ mV 에 해당합니다.

설계에서 이렇게 씁니다.

필요한 $g_m$ 은 사양(잡음·대역폭)이 정하고, $g_m/I_D$ 는 내가 고릅니다. 그 둘이 전류 예산을 정합니다.

하이브리드-π 모델

BJT 의 소신호 등가입니다. 소자 하나가 부품 넷이 됩니다.

MOSFET 은 $r_\pi \to \infty$ 인 것만 다릅니다 (게이트로 DC 전류가 안 흐름).

고유 이득 — 한 소자가 낼 수 있는 최대 전압 이득:

전류가 약분됩니다. BJT 에서 $V_A$ = 100 V 면 $100/0.026 \approx 3800$ — 전류를 아무리 바꿔도 한 단으로 이보다 큰 이득은 못 냅니다.

차동쌍 — 왜 이 구조가 표준인가

계측 증폭기·OP앰프의 첫 단은 예외 없이 차동쌍입니다. 세 가지 때문입니다.

꼬리 전류 $I_{tail}$ 이 두 소자에 반씩 나뉘므로 각 소자의 $g_m$ 은

차동 이득은 $A_d = g_{m,\text{each}}R_D$ 입니다.

꼬리 전류원의 출력 임피던스 $R_{tail}$ 이 CMRR 을 정합니다.

이상적인 전류원이면 무한대지만, 실제로는 $r_o$ 정도라 60~90 dB 가 나옵니다. 캐스코드로 $R_{tail}$ 을 $g_m r_o$ 배 키우는 것이 고성능 계측 증폭기가 하는 일입니다.

계산 예제 — 전극 프리앰프의 전류 예산

사양: 입력환산잡음 5 nV/√Hz 이하, 대역 5 kHz, 부하 용량 2 pF.

1) 필요한 $g_m$ (잡음이 정합니다)

$4k_BT = 1.66\times10^{-20}$, $\gamma = 2/3$:

$g_m \ge 0.44$ mS.

2) 전류 (내가 고른 $g_m/I_D$ 가 정합니다)

3) 대역 확인

$g_m$ = 0.44 mS, $C_L$ = 2 pF:

5 kHz 요구의 7000배 — 잡음이 대역보다 훨씬 빡빡한 조건이라는 뜻입니다. 전극 측정이 대개 이렇습니다.

결론: $g_m/I_D$ = 13, $I_D$ = 34 µA. 64채널이면 2.2 mA. 3.3 V 에서 7 mW. 약반전으로 더 내려가면 전류는 반이 되지만 소자가 커져 입력 용량이 늘고, 그것이 고임피던스 전극에서 신호를 깎습니다 — 그래서 중간반전에서 멈춥니다.

시뮬레이션으로 확인

# examples/06-transistor/gm-id-sweep.yaml
meta:
  name: gm/ID 와 동작점
  lesson: docs/06-transistor/08-small-signal.md
  note: VG 를 1.5 / 2.0 / 2.5 V 로 바꿔 ID 와 소신호 이득이 어떻게 따라가는지 본다
components:
  - {ref: VP, type: vdc, value: 5}
  - {ref: VG, type: vdc, value: 2}
  - {ref: VS, type: vac, value: 10m, label: 소신호}
  - {ref: M1, type: m_nmos, model: 2N7002}
  - {ref: RD, type: r, value: 10k, label: 부하}
  - {ref: RS, type: r, value: 100, label: 소스 축퇴}
nets:
  VCC: [VP.p, RD.1]
  D: [RD.2, M1.d]
  # 소신호는 바이어스 위에 **직렬**로 얹습니다. 예전에는 VG 와 VS 의 p 가
  # 같은 노드에 있었는데, 그것은 전압원 두 개를 병렬로 물린 것이라
  # 애초에 풀 수가 없습니다 (전원 루프).
  BIAS: [VG.p, VS.n]
  G: [VS.p, M1.g]
  S: [M1.s, RS.1]
  GND: [VP.n, VG.n, RS.2]
analyses:
  - {type: op}
  - {type: ac, sweep: dec, points: 10, fstart: 10, fstop: 10MEG}

op 로 $I_D$ 를 읽고, ac 로 이득을 읽어 $A_v \approx -g_m R_D/(1+g_m R_S)$ 와 맞는지 봅니다. VG 를 바꾸면 $I_D$ 와 이득이 같이 움직이는 것이 이 문서의 전부입니다.

⚖️ 부품 트레이드오프 — $g_m$ 을 어디서 사는가

전극처럼 고임피던스에서는 선택지가 없습니다 — 입력 바이어스 전류 때문에 FET 입력이어야 하고, 그러면 같은 잡음을 얻는 데 BJT 보다 전류를 더 씁니다. (12-09의 최적 소스 임피던스최적 소스 임피던스최적 소스 임피던스 optimum source impedance소자의 전압잡음과 전류잡음이 맞먹는 소스 저항으로, 이 지점에서 잡음 지수가 최소입니다.$$R_{S,opt} = \frac{e_n}{i_n}$$자세히 보기 →가 이 이야기의 다른 얼굴입니다.)

🔌 실제 쓰임새

• OP앰프 데이터시트의 $e_n$ — 첫 단 차동쌍의 $g_m$ 이 정합니다
• 16/01 의 전력 예산 — $g_m/I_D$ 로 채널당 전류를 정합니다
• 소스 팔로워의 $1/g_m$ — 2-07 에서 시험전압법으로 유도했습니다
• 전류 미러 — 같은 $V_{GS}$ 를 나눠 쓰면 전류가 복사됩니다. 정확도는 소자 정합이 정합니다

⚠️ 이상과 실제의 차이

연습문제

문제 1. $I_C$ = 500 µA 인 BJT 의 $g_m$, $r_\pi$($\beta$=150), 고유 이득은? ($V_A$ = 80 V)

문제 2. MOSFET 을 $V_{ov}$ = 200 mV 로 바이어스했습니다. $g_m/I_D$ 는? $g_m$ = 1 mS 가 필요하면 전류는?

exercises/06-08-gm-over-id.yaml

문제 3. 저잡음 프리앰프의 입력환산잡음을 절반으로 줄이라는 요구를 받았습니다. 전류는 몇 배가 됩니까?

exercises/06-08-noise-vs-current.yaml

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