밀러 효과와 기생 용량

한 줄 요약 — 입력과 출력 사이의 작은 용량이 이득 배만큼 커져서 입력에 나타납니다. 증폭기 대역폭(bandwidth)을 죽이는 주범입니다.

밀러 정리

이득이 $-A_v$인 반전(inverting) 증폭기의 입력과 출력 사이에 용량 $C_f$가 있으면, 입력에서 본 등가 용량은:

출력 쪽에서 본 등가 용량은:

왜 이렇게 되는가

입력 전압이 $\Delta V$ 올라가면 출력은 $-A_v\Delta V$만큼 내려갑니다. $C_f$ 양단의 전압 변화는:

용량에 필요한 전하는 $Q = C_f \times \Delta V(1+A_v)$이고, 이것을 입력이 공급해야 합니다. 입력 입장에서는 $C_f(1+A_v)$짜리 커패시터(capacitor)를 충전하는 것과 같습니다.

직관: 커패시터 반대편이 반대 방향으로 움직이면, 같은 전압 변화를 만들기 위해 훨씬 많은 전하가 필요합니다.

실제 크기

이미터 공통(common emitter)이미터 공통(common emitter)이미터 공통 common emitter베이스로 넣고 컬렉터에서 빼는 기본 증폭 구조로, 전압 이득이 크지만 신호가 뒤집힙니다.자세히 보기 → 증폭기에서 $C_{bc}$(베이스-컬렉터(collector) 용량)가 밀러 용량이 됩니다.

예: 2N3904, $C_{bc} = 4$ pF, 이득 $A_v = 100$

4 pF이 404 pF으로 100배 커집니다.

대역폭에 미치는 영향

신호원 임피던스(impedance)임피던스(impedance)임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다.$$Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$$자세히 보기 →가 10 kΩ이라면:

밀러 효과(Miller effect)가 없었다면 ($C_{in} = 4$ pF): 4 MHz

100배의 대역폭 손실입니다.

신호원 임피던스가 결정적입니다

밀러 용량은 신호원 저항과 함께 극을 만듭니다.

고임피던스 신호원 + 고이득 증폭기 = 대역폭 재앙.

이것이 16-01에서 픽셀에 이득이 1인 소스 팔로워(source follower)소스 팔로워(source follower)소스 팔로워 source follower전압 이득이 1인데도 쓰는 이유는 높은 임피던스를 낮은 임피던스로 바꿔 주기 때문입니다.자세히 보기 →를 쓰는 또 하나의 이유입니다. 이득이 1이면 밀러 효과가 없습니다 ($1+A_v$에서 $A_v$가 음의 반전 이득이 아니라 +1이므로 오히려 용량이 줄어듭니다).

★ 밀러 효과를 피하는 방법

캐스코드 — 가장 표준적인 해법

이미터 공통 위에 베이스 공통을 얹습니다. 아래 트랜지스터의 컬렉터 전압이 거의 변하지 않으므로($A_v \approx -1$), 밀러 배수가 2에 불과합니다.

대역폭이 50배 개선됩니다. RF 증폭기와 고속 아날로그의 표준 구조입니다.

★ 밀러 효과의 다른 얼굴 — MOSFET 스위칭

전력 MOSFET을 켤 때 게이트-드레인(drain) 용량 $C_{gd}$가 밀러 효과를 일으켜, 게이트 전압이 잠시 멈추는 구간(밀러 플래토) 이 생깁니다.

게이트 전압 $V_{GS}$를 시간에 따라 보면 계단 세 개로 나뉩니다.

💡 평평한 구간(②)이 스위칭 손실의 대부분을 만듭니다. 이 구간 동안 드레인에는 아직 전압이 남아 있고 전류는 이미 흐르므로 $V \times I$가 동시에 큽니다. 플래토를 짧게 하려면 그 구간에 게이트 전류를 더 많이 밀어 넣어야 합니다(= 게이트 저항을 줄이거나 드라이버 용량을 키운다).

이 구간에서 드레인 전압이 스윙하고, 스위칭 손실의 대부분이 여기서 발생합니다. 게이트 구동 전류를 키우면 이 구간이 짧아집니다 → 07

계산 예제

예제 — 밀러 보상 (OP앰프 내부)

역설적으로, 밀러 효과를 일부러 이용하는 경우가 있습니다. OP앰프 내부의 주파수 보상이 그것입니다.

2단 OP앰프에서 두 번째 단의 입출력 사이에 작은 커패시터 $C_c$(수 pF)를 넣으면:

$A_2 = 1000$이면 5 pF이 5 nF처럼 동작합니다. 칩 안에 5 nF을 만드는 것은 불가능하지만, 밀러 효과를 쓰면 5 pF으로 같은 효과를 냅니다.

이것이 밀러 보상(Miller compensation) 이고, 거의 모든 범용 OP앰프가 이 방식으로 단일 극 특성(GBW 일정)을 만듭니다 → 4-04

같은 물리 현상이 어떤 곳에서는 문제이고 어떤 곳에서는 해법입니다.

시뮬레이션으로 확인

# examples/06-transistor/miller-effect.yaml
meta:
  name: 밀러 효과에 의한 대역폭 저하
  lesson: docs/06-transistor/04-miller-effect.md
  note: RS를 100/10k/1M으로 바꿔가며 -3dB 지점이 어떻게 움직이는지 본다
components:
  - {ref: VCC, type: vdc, value: 12}
  - {ref: VIN, type: vac, value: 0.001}
  - {ref: RS,  type: r, value: 10k, label: 신호원 임피던스, sweep: {min: 1k, max: 100k}}
  - {ref: R1,  type: r, value: 100k}
  - {ref: R2,  type: r, value: 22k}
  - {ref: RC,  type: r, value: 5.6k}
  - {ref: RE,  type: r, value: 100}
  - {ref: RE2, type: r, value: 1.4k}
  - {ref: CE,  type: c, value: 100u}
  - {ref: CIN, type: c, value: 10u}
  - {ref: Q1,  type: q_npn, model: 2N3904}
nets:
  VP:   [VCC.p, R1.1, RC.1]
  SRC:  [VIN.p, RS.1]
  CPL:  [RS.2, CIN.1]
  BASE: [CIN.2, R1.2, R2.1, Q1.b]
  COL:  [RC.2, Q1.c]
  EMIT: [Q1.e, RE.1]
  EMB:  [RE.2, RE2.1, CE.1]
  GND:  [VCC.n, VIN.n, R2.2, RE2.2, CE.2]
analyses:
  - {type: ac, sweep: dec, points: 20, fstart: 10, fstop: 100MEG}

RS를 100 Ω → 10 kΩ → 1 MΩ으로 바꾸면 대역폭이 극적으로 줄어듭니다.

⚖️ 부품 트레이드오프

🔌 실제 쓰임새

⚠️ 이상과 실제의 차이

연습문제

문제 1. $C_{bc} = 3$ pF, 이득 $-50$인 증폭기의 입력 밀러 용량은?

exercises/06-04-miller-cap.yaml

문제 2. 위 증폭기를 소스 임피던스 50 kΩ 신호원에 연결하면 대역폭은?

문제 3. 1 MΩ 전극(electrode) 신호를 대역폭 10 kHz로 증폭해야 합니다. (a) 이득 100인 이미터 공통 1단으로 가능한가? (b) 어떻게 설계해야 하는가?

exercises/06-04-electrode-1stage.yaml

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