반도체 물성 — 다이오드 식은 어디서 나오는가

한 줄 요약 — $I = I_S(e^{V/V_T}-1)$ 의 지수는 볼츠만 분포에서, $V_T$ = 26 mV 는 $kT/q$ 에서 나옵니다. 온도가 오르면 왜 전류가 느는지도 여기서 갈립니다.

왜 이걸 알아야 하는가

지금까지 다이오드는 “0.7 V 떨어지는 것”이었고, BJT 의 $g_m = I_C/V_T$ 는 그냥 외우는 식이었습니다. 그 밑을 한 번만 파 두면 세 가지가 한꺼번에 설명됩니다.

실무에서 만나는 것	여기서 나옴
$V_T$ = 26 mV, $g_m = I_C/V_T$	$kT/q$
다이오드 전압이 −2 mV/°C	$I_S$ 의 온도 의존
BJT 온도 보상 · 밴드갭 기준전압	두 온도 계수의 상쇄
다이오드 온도계·PTAT 센서	같은 식을 거꾸로 씀

캐리어 — 전자와 정공

순수 실리콘은 전자가 전부 결합에 묶여 있어 부도체에 가깝습니다. 열에너지가 결합을 끊으면 자유 전자 하나와 빈 자리(정공) 하나가 동시에 생깁니다.

n_i^2 = np, \qquad n_i(300\,\mathrm{K}) \approx 1.0\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}

기호

n비트 수 또는 개수number of bits or count

n_i비트 수 또는 개수 (i)number of bits or count (i)

도핑은 이 균형을 한쪽으로 밀어 놓는 일입니다.

	넣는 것	많아지는 것	농도
n형	인·비소 (5가)	전자	$n \approx N_D$
p형	붕소 (3가)	정공	$p \approx N_A$

$np = n_i^2$ 는 도핑해도 유지되므로, n형에서 정공 농도는 $p = n_i^2/N_D$ 로 아주 작아집니다. 소수 캐리어라 부르고, 다이오드 전류는 이 소수 캐리어가 만듭니다.

💡 $n_i$ 는 온도에 지수적으로 민감합니다 ( $\propto T^{3/2}e^{-E_g/2kT}$ ). 실리콘 밴드갭 $E_g$ = 1.12 eV. 이것이 뒤에서 −2 mV/°C 를 만듭니다.

두 가지 전류

캐리어가 움직이는 이유는 둘뿐입니다.

J = \underbrace{qn\mu E}_{\text{드리프트}} + \underbrace{qD\frac{dn}{dx}}_{\text{확산}}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

d거리 또는 두께distance or thicknessm

D듀티비duty cycle

E에너지energyJ

n비트 수 또는 개수number of bits or count

q전하chargeC

	원인	어디서 지배
드리프트	전기장이 밀어서	중성 영역, 저항
확산	농도 차이 때문에	공핍층 근처 — 다이오드의 본체

둘은 아인슈타인 관계로 이어져 있습니다.

\boxed{\frac{D}{\mu} = \frac{kT}{q} \equiv V_T}

기호

mu이동도mobilitym²/V·s

D듀티비duty cycle

k결합 계수 또는 상수coupling coefficient or constant

q전하chargeC

T온도 또는 주기temperature or period

V_T열전압 (≈26 mV)thermal voltageV

$V_T$ 가 여기서 처음 나옵니다. 확산과 드리프트를 잇는 상수이고, 온도만으로 정해집니다.

V_T = \frac{kT}{q} = \frac{1.381\times10^{-23} \times 300}{1.602\times10^{-19}} = 25.9\ \mathrm{mV}

기호

k결합 계수 또는 상수coupling coefficient or constant

q전하chargeC

T온도 또는 주기temperature or period

V_T열전압 (≈26 mV)thermal voltageV

★ 지수 식의 유도

PN 접합에 순방향 전압 $V$ 를 걸면 장벽이 그만큼 낮아집니다. 그 장벽을 넘을 수 있는 캐리어의 비율은 볼츠만 분포를 따릅니다.

\frac{n(\text{장벽 위})}{n(\text{전체})} \propto e^{-qV_{barrier}/kT}

기호

e잡음 전압 밀도noise voltage densityV/√Hz

k결합 계수 또는 상수coupling coefficient or constant

n비트 수 또는 개수number of bits or count

q전하chargeC

T온도 또는 주기temperature or period

V_barrier전압 (barrier)voltage (barrier)V

전압을 $V$ 만큼 걸면 장벽이 $q V$ 만큼 낮아지므로 넘는 캐리어가 $e^{qV/kT} = e^{V/V_T}$ 배로 늡니다. 역방향으로는 원래 있던 소수 캐리어가 쓸려 갈 뿐이라 전압과 무관한 $I_S$ 로 포화합니다.

\boxed{I = I_S\left(e^{V/V_T} - 1\right)}

기호

e잡음 전압 밀도noise voltage densityV/√Hz

I전류currentA

I_S신호원 전류source currentA

V전압voltageV

V_T열전압 (≈26 mV)thermal voltageV

왜 "10배마다 60 mV" 인가

V = V_T \ln\frac{I}{I_S}

기호

I전류currentA

I_S신호원 전류source currentA

V전압voltageV

V_T열전압 (≈26 mV)thermal voltageV

전류가 10배 되면

\Delta V = V_T \ln 10 = 0.0259 \times 2.303 = 59.6\ \mathrm{mV}

기호

Delta V전압 변화량voltage changeV

V전압voltageV

V_T열전압 (≈26 mV)thermal voltageV

상온에서 60 mV/decade. 이것이 다이오드·BJT 의 가장 유용한 어림입니다.

전류	$V_F$ (예)
1 µA	0.42 V
10 µA	0.48 V
100 µA	0.54 V
1 mA	0.60 V
10 mA	0.66 V
100 mA	0.72 V

“0.7 V”는 10~100 mA 에서의 값입니다. 1 µA 로 쓰면 0.42 V 이고, 저전력 회로에서 이 차이가 설계를 바꿉니다.

BJT 도 같은 식입니다 — $I_C = I_S e^{V_{BE}/V_T}$ 이고, 여기서 전달 컨덕턴스전달 컨덕턴스 transconductance입력 전압을 얼마나 큰 출력 전류로 바꾸는지를 나타내며, 증폭기의 이득이 여기서 출발합니다. $g_m = \frac{\partial I_{out}}{\partial V_{in}}$ 자세히 보기 →가 바로 나옵니다.

g_m = \frac{dI_C}{dV_{BE}} = \frac{I_C}{V_T}

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

g_m전달 컨덕턴스transconductanceS

I_C컬렉터 전류collector currentA

V_BE베이스–이미터 전압base-emitter voltageV

V_T열전압 (≈26 mV)thermal voltageV

6-08에서 미분으로 얻은 식이 여기서는 물리로 설명됩니다.

온도 — 두 힘이 반대로 당깁니다

$V_F$ 를 온도로 미분하면 두 항이 나옵니다.

\frac{dV_F}{dT} = \underbrace{\frac{V_F}{T}}_{+\ (\text{양})} - \underbrace{\frac{1}{T}\left(\frac{E_g}{q} + 3V_T\right)}_{-\ (\text{음, 더 큼})}

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

E_g게이트 에너지gate energyJ

q전하chargeC

T온도 또는 주기temperature or period

V_F순방향 전압 강하forward voltage dropV

V_T열전압 (≈26 mV)thermal voltageV

$V_F$ = 0.65 V, $E_g/q$ = 1.12 V, $T$ = 300 K 에서

\frac{dV_F}{dT} = \frac{0.65 - 1.12 - 3(0.0259)}{300} = \frac{-0.548}{300} = -1.83\ \mathrm{mV/°C}

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

T온도 또는 주기temperature or period

V_F순방향 전압 강하forward voltage dropV

약 −2 mV/°C. 데이터시트의 그 값이 여기서 나옵니다.

힘	방향	정체
$V_T = kT/q$	+ (0.086 mV/°C)	열에너지가 커지면 장벽을 더 잘 넘음
$I_S$ 증가	− (더 큼)	$n_i^2 \propto e^{-E_g/kT}$ 이 급격히 늘어남

$I_S$ 쪽이 이겨서 전체가 음수입니다. 그래서 다이오드는 뜨거워지면 같은 전류에서 전압이 낮아지고 — 전압을 고정해 두면 전류가 폭주합니다. 이것이 열폭주의 정체이고, 6-07 전력 스위칭 에서 BJT 를 병렬로 쓸 때 이미터 저항이 필요한 이유입니다.

밴드갭 기준전압은 이 둘을 일부러 상쇄시킵니다. $V_{BE}$ (−2 mV/°C)에 PTAT 전압( $+kT/q$ 에 비례)을 적당한 비로 더하면 온도계수가 0 이 되고, 그때 값이 실리콘 밴드갭 1.2 V 근처입니다. 이름이 거기서 왔습니다.

계산 예제 — 다이오드로 온도를 잰다

$I_S$ 를 몰라도 온도를 잴 수 있습니다. 전류 두 개의 비만 쓰면 됩니다.

\Delta V_{BE} = V_T\ln\frac{I_1}{I_2} = \frac{kT}{q}\ln N

기호

Delta V전압 변화량voltage changeV

I_11번 전류current 1A

I_22번 전류current 2A

k결합 계수 또는 상수coupling coefficient or constant

N개수count

q전하chargeC

T온도 또는 주기temperature or period

V_BE베이스–이미터 전압base-emitter voltageV

V_T열전압 (≈26 mV)thermal voltageV

$I_1/I_2 = N$ = 10 이면

\Delta V_{BE} = \frac{kT}{q}\times 2.303

기호

Delta V전압 변화량voltage changeV

k결합 계수 또는 상수coupling coefficient or constant

q전하chargeC

T온도 또는 주기temperature or period

V_BE베이스–이미터 전압base-emitter voltageV

온도	$V_T$	$\Delta V_{BE}$ (N=10)
0 °C	23.5 mV	54.2 mV
25 °C	25.7 mV	59.2 mV
100 °C	32.1 mV	74.0 mV

기울기 0.198 mV/°C. $I_S$ 가 완전히 사라졌으므로 소자 개체차·공정 편차와 무관합니다 — 이것이 MCU 내장 온도 센서와 밴드갭이 쓰는 방법입니다.

설계 판단: 0.198 mV/°C 는 작습니다. 0.1 °C 분해능을 원하면 20 µV 를 읽어야 하고, 그러면 앞단 입력환산잡음입력환산잡음 input-referred noise회로 곳곳의 잡음을 입력단 하나로 몰아 표현한 값으로, 신호와 직접 견줄 수 있어 판정에 씁니다.자세히 보기 →이 그보다 작아야 합니다. 온도 센서가 저잡음 증폭기를 필요로 하는 이유입니다.

시뮬레이션으로 확인

다이오드의 60 mV/decade워크벤치에서 열기 →

# examples/05-diode/diode-iv-decade.yaml
meta:
  name: 다이오드의 60 mV/decade
  lesson: docs/05-diode/06-semiconductor-physics.md
  note: 전류를 10배씩 늘리며 VF 가 60 mV 씩 오르는지 본다
components:
  - {ref: V1, type: vdc, value: 5}
  - {ref: R1, type: r, value: 4.7k, label: 1mA}
  - {ref: D1, type: d, model: 1N4148}
nets:
  IN: [V1.p, R1.1]
  A: [R1.2, D1.a]
  GND: [V1.n, D1.k]
analyses:
  - {type: dc, source: V1, start: 0.3, stop: 5, step: 0.01}

R1 을 47k / 4.7k / 470 으로 바꾸면 전류가 0.1 / 1 / 10 mA 가 되고, A 노드 전압이 약 60 mV 씩 올라갑니다.

⚖️ 트레이드오프 — 이 물리를 어디까지 쓸 것인가

쓰는 방식	✅	⚠️
0.7 V 로 어림	빠름, 대부분 충분	저전류(µA)에서 0.15 V 틀림
60 mV/decade	암산 가능, 정확도 충분	큰 전류에서 직렬 저항 때문에 어긋남
지수 식 그대로	정확	$I_S$ 를 알아야 함 (개체차 큼)
$\Delta V_{BE}$ (비)	$I_S$ 무관, 온도 측정에	전류비를 정확히 만들어야 함

🔌 실제 쓰임새

밴드갭 기준전압 — 두 온도계수를 상쇄. 모든 ADC 의 기준이 여기서 나옵니다
온도 센서 — MCU 내장, 다이오드 온도계
BJT 전류 미러 — 같은 $V_{BE}$ 를 나눠 쓰면 전류가 복사되는 것이 지수 식
열폭주 방지 — 이미터 저항, 온도 보상 바이어스
$g_m = I_C/V_T$ — 6-08의 출발점

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
$I = I_S e^{V/V_T}$	큰 전류에서 직렬 저항·고레벨 주입으로 기울기가 완만해집니다
$V_T$ = 26 mV	25 °C 에서만. 100 °C 면 32 mV
이상계수 $n$ = 1	실제 다이오드는 1~2. 60 mV 가 아니라 60~120 mV/decade
$I_S$ 가 소자 상수	개체차가 배수로 납니다. 그래서 비를 쓰는 방법이 강합니다
온도계수가 −2 mV/°C 고정	전류에 따라 −1.5 ~ −2.5 mV/°C

연습문제

문제 1. 1 mA 에서 $V_F$ = 0.60 V 인 다이오드에 10 µA 를 흘리면?

연습 5-06-1 — 전류를 100배 줄이면 V_F 는 얼마나 내려가나워크벤치에서 열기 →

풀이

전류가 1/100 이므로 2 decade 아래:

\Delta V = 2 \times 59.6\ \mathrm{mV} = 119\ \mathrm{mV}

기호

Delta V전압 변화량voltage changeV

V전압voltageV

V_F = 0.60 - 0.119 = \mathbf{0.48\ V}

기호

V전압voltageV

V_F순방향 전압 강하forward voltage dropV

“0.7 V” 로 잡았으면 0.22 V 를 틀립니다. 3.3 V 시스템에서 0.22 V 는 7% 이고, 저전류 기준전압 회로에서는 치명적입니다.

문제 2. 다이오드 전압을 0.65 V 로 고정해 두고 온도가 25 °C 에서 75 °C 로 올랐습니다. 전류는 몇 배가 됩니까?

exercises/05-06-fixed-voltage.yaml

풀이

온도계수 −2 mV/°C 이므로, 같은 전류를 유지하려면 전압이 $50 \times 2 = 100$ mV 낮아야 합니다. 그런데 전압을 고정했으니 그 100 mV 가 그대로 초과 구동이 됩니다.

75 °C 에서 $V_T = 0.0259 \times 348/298 = 30.2$ mV.

\frac{I_2}{I_1} = e^{100\,\mathrm{mV}/30.2\,\mathrm{mV}} = e^{3.31} \approx 27

기호

e잡음 전압 밀도noise voltage densityV/√Hz

I_11번 전류current 1A

I_22번 전류current 2A

약 27배. 전압을 고정하면 전류가 폭주합니다.

이것이 전압원으로 다이오드·LED·BJT 를 구동하면 안 되는 이유입니다. 언제나 전류를 제한합니다 (5-04).

문제 3. 밴드갭 기준전압이 왜 1.2 V 근처입니까?

exercises/05-06-bandgap.yaml

풀이

$V_{BE}$ 는 −2 mV/°C, $V_T = kT/q$ 는 +0.086 mV/°C 입니다. 둘을 더해 온도계수를 0 으로 만들려면

V_{ref} = V_{BE} + K\,V_T, \qquad \frac{dV_{ref}}{dT} = -2\ \mathrm{mV/°C} + K(0.086) = 0

기호

d거리 또는 두께distance or thicknessm

T온도 또는 주기temperature or period

V_BE베이스–이미터 전압base-emitter voltageV

V_ref기준 전압reference voltageV

V_T열전압 (≈26 mV)thermal voltageV

K = \frac{2}{0.086} \approx 23

그때 값은

V_{ref} = 0.65 + 23 \times 0.0259 = 0.65 + 0.60 = \mathbf{1.25\ V}

기호

V전압voltageV

V_ref기준 전압reference voltageV

실리콘 밴드갭 $E_g/q$ = 1.12 V 에 약간의 보정을 더한 값입니다. 위 $dV_F/dT$ 유도에서 $E_g/q$ 가 음의 항에 들어 있었던 것을 되짚으면, 상쇄가 끝난 자리에 남는 것이 결국 밴드갭이라는 것이 보입니다.

그래서 어느 회사 제품이든 밴드갭 기준은 1.2~1.25 V 입니다 — 물리 상수가 정한 값이지 설계자가 고른 값이 아닙니다.

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