커패시터의 ESR·ESL과 자기공진

한 줄 요약 — 왜 100 nF과 10 µF을 같이 붙이는가. 그리고 왜 그것이 항상 옳지는 않은가.

실제 커패시터의 등가 회로

커패시터의 실제 등가 회로

성분	무엇인가	전형값	결과
$C$	원래 용량	표기값	—
ESR (등가 직렬 저항)	전극·유전체 손실	2 mΩ~수 Ω	발열, 리플 억제 한계
ESL (등가 직렬 인덕턴스)	전극·단자 구조	0.3~2 nH	SRF 위에서 인덕터가 됨
$R_{leak}$ (병렬 누설)	유전체 절연	GΩ~TΩ	대개 무시 가능

ESR → ESL → C 가 한 줄로 직렬이고, 누설 저항이 전체에 병렬로 걸립니다.

성분	의미	전형값
ESR	등가 직렬 저항 (전극(electrode)·유전체 손실)	세라믹 5~50 mΩ, 전해 0.1~1 Ω
ESL	등가 직렬 인덕턴스 (전극 구조)	0402: 0.4 nH, 0805: 1 nH, 리드형: 5 nH
$R_{leak}$	절연(isolation) 저항	GΩ~TΩ (세라믹), MΩ (전해)

임피던스 곡선

|Z| = \sqrt{\text{ESR}^2 + \left(\omega L_{ESL} - \frac{1}{\omega C}\right)^2}

기호

omega각주파수angular frequencyrad/s

C정전용량capacitanceF

ESL등가 직렬 인덕턴스equivalent series inductanceH

ESR등가 직렬 저항equivalent series resistanceΩ

L_ 인덕턴스 ()inductance ()H

Z임피던스impedanceΩ

커패시터의 임피던스는 V자 모양입니다.

주파수	지배 성분	임피던스	성격
SRF 아래	$C$	$1/\omega C$ — 주파수 올라가면 내려감	커패시터답게 동작
SRF	—	최소 = ESR	가장 좋은 지점
SRF 위	ESL	$\omega L$ — 주파수 올라가면 올라감	인덕터로 변함

100 nF 0402 의 SRF 는 약 30 MHz 입니다. 그 위에서는 100 nF 이 더 이상 커패시터가 아니므로, 더 작은 값(SRF 가 높은 것)을 함께 써야 합니다.

자기공진 주파수 (SRF)

f_{SRF} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{ESL}\,C}}

기호

C정전용량capacitanceF

ESL등가 직렬 인덕턴스equivalent series inductanceH

f_SRF주파수 (SRF)frequency (SRF)Hz

L_ 인덕턴스 ()inductance ()H

SRF에서 임피던스(impedance)임피던스 impedance교류에서의 저항으로, 크기뿐 아니라 전압과 전류의 시간 차이(위상)까지 담은 복소수입니다. $Z_C = \frac{1}{j\omega C},\quad Z_L = j\omega L$ 자세히 보기 → 최소 = ESR SRF 위에서는 인덕터(inductor)로 동작

실제 값 표

커패시터(capacitor)	ESL	SRF	ESR
1 nF 0402	0.4 nH	250 MHz	50 mΩ
10 nF 0402	0.4 nH	80 MHz	30 mΩ
100 nF 0402	0.4 nH	25 MHz	20 mΩ
100 nF 0805	1.0 nH	16 MHz	20 mΩ
1 µF 0805	1.0 nH	5 MHz	10 mΩ
10 µF 0805	1.0 nH	1.6 MHz	5 mΩ
100 µF 전해	5 nH	225 kHz	100 mΩ
100 nF 리드형	5 nH	7 MHz	50 mΩ

핵심 관찰:

용량이 클수록 SRF가 낮습니다 → 큰 커패시터는 고주파에 무력

패키지가 작을수록 ESL이 작습니다 → 0402가 0805보다 유리

리드형(스루홀(through-hole))은 ESL이 5~10배 → 고주파에 부적합

★ 왜 값이 다른 커패시터를 병렬로?

각 커패시터가 담당하는 주파수 대역이 다르기 때문입니다.

커패시터	담당 대역
100 µF 전해	DC ~ 200 kHz
10 µF 세라믹	10 kHz ~ 1.6 MHz
100 nF	100 kHz ~ 25 MHz
1 nF	1 MHz ~ 250 MHz

넓은 대역에서 낮은 임피던스를 유지하려면 여러 값이 필요합니다.

★ 반공진 (anti-resonance) — 그런데 문제가 생깁니다

두 커패시터의 SRF 사이 대역에서는:

큰 커패시터: SRF를 지나 인덕터
작은 커패시터: 아직 커패시터

→ 병렬 LC 공진(resonance)공진 resonance인덕터와 커패시터의 임피던스가 서로 상쇄되는 주파수로, 그 자리에서 전압이나 전류가 크게 솟습니다. $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ 자세히 보기 → → 임피던스가 치솟습니다.

값이 다른 커패시터를 병렬로 쓰면 그 사이에 반공진 피크가 생깁니다.

주파수 구간	10 µF	100 nF	결과
SRF1 아래	커패시터	커패시터	정상 (병렬 합)
SRF1 ~ SRF2	인덕터	커패시터	병렬 LC 공진 → 임피던스 치솟음
SRF2 위	인덕터	인덕터	둘 다 인덕터

가운데 구간에서 한쪽은 인덕터, 다른 쪽은 커패시터가 되어 병렬 공진이 일어납니다. 그래서 요즘은 값을 여러 개 섞기보다 같은 값 여러 개를 쓰는 쪽을 권합니다 (ESL 만 $1/N$ 로 줄고 피크는 생기지 않음).

반공진 주파수

f_{AR} \approx \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{big}\,C_{small}}}

기호

C_small정전용량 (small)capacitance (small)F

f_AR주파수 (AR)frequency (AR)Hz

L_big인덕턴스 (big)inductance (big)H

예: 10 µF(ESL 1 nH) + 100 nF

f_{AR} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-9}\times10^{-7}}} \approx 15.9\ \text{MHz}

기호

f_AR주파수 (AR)frequency (AR)Hz

이 주파수에서 임피던스가 각 커패시터 단독일 때보다 오히려 높아질 수 있습니다.

반공진의 Q

Q = \frac{1}{\text{ESR}}\sqrt{\frac{L}{C}}

기호

C정전용량capacitanceF

ESR등가 직렬 저항equivalent series resistanceΩ

L인덕턴스inductanceH

Q전하 / 품질 계수charge / quality factor

ESR이 작을수록 피크가 뾰족합니다. 세라믹 커패시터는 ESR이 매우 낮아 반공진이 심합니다.

★ 현대적 권장: 같은 값 여러 개

방식	임피던스 곡선	평가
값이 다른 여러 개 (10µ+1µ+100n+10n+1n)	반공진 피크 4개	❌ 옛 방식
같은 값(100n) N개 + 벌크 1개	반공진 없음, ESL이 $1/N$	✅ 권장
값 차이를 10배 이내로 (100n + 10n)	반공진 완만	△ 절충

같은 값 N개의 효과

L_{eff} = \frac{L_{ESL}}{N}, \qquad C_{eff} = N\times C

기호

C정전용량capacitanceF

C_eff유효 정전용량effective capacitanceF

ESL등가 직렬 인덕턴스equivalent series inductanceH

L_ 인덕턴스 ()inductance ()H

L_eff유효 인덕턴스effective inductanceH

N개수count

f_{SRF} = \frac{1}{2\pi\sqrt{(L/N)(NC)}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

기호

C정전용량capacitanceF

f_SRF주파수 (SRF)frequency (SRF)Hz

L인덕턴스inductanceH

N개수count

SRF는 그대로이고 임피던스만 $1/N$ 로 낮아집니다. 반공진이 없습니다.

ESR을 이용한 댐핑

반공진을 피할 수 없다면, ESR이 적당히 있는 커패시터(폴리머, 전해)를 섞어 Q를 낮춥니다.

💡 “ESR이 낮을수록 좋다”는 것은 반만 맞습니다. 리플(ripple)리플 ripple직류가 되다 만 나머지 교류분으로, 평활 커패시터가 얼마나 큰지로 정해집니다. $V_r = \frac{I}{f\,C}$ 자세히 보기 → 감소에는 낮은 ESR이 좋지만, 반공진 댐핑에는 적당한 ESR이 필요합니다.

시뮬레이션으로 확인

디커플링 반공진워크벤치에서 열기 →

# examples/11-parasitics/decoupling-antiresonance.yaml
meta:
  name: 디커플링 반공진
  lesson: docs/11-parasitics/02-capacitor-esr-esl.md
  note: C2(10µ)를 제거하거나 ESR을 키우면 반공진 피크가 어떻게 변하는지 본다
components:
  - {ref: I1,  type: iac, value: 1, label: 부하 전류 여기}
  # 100nF 0402: ESL 0.4nH, ESR 20mΩ
  - {ref: C1,  type: c, value: 100n}
  - {ref: LC1, type: l, value: 0.4n}
  - {ref: RC1, type: r, value: 0.02}
  # 10µF 0805: ESL 1nH, ESR 5mΩ
  - {ref: C2,  type: c, value: 10u}
  - {ref: LC2, type: l, value: 1n}
  - {ref: RC2, type: r, value: 0.005}
nets:
  RAIL: [I1.p, LC1.1, LC2.1]
  A1:   [LC1.2, RC1.1]
  A2:   [RC1.2, C1.1]
  B1:   [LC2.2, RC2.1]
  B2:   [RC2.2, C2.1]
  GND:  [I1.n, C1.2, C2.2]
analyses:
  - {type: ac, sweep: dec, points: 200, fstart: 1k, fstop: 1G}

RAIL 전압이 곧 임피던스입니다(1 A 여기). 15 MHz 부근의 반공진 피크를 확인하세요.

비교 실험:

C2(10 µF) 제거 → 저주파 임피던스 상승, 반공진 사라짐
RC2를 0.1 Ω으로 → 반공진 피크가 낮아짐 (댐핑)
C1을 100 nF 4개로 → 반공진 없이 임피던스 감소

⚖️ 부품 트레이드오프

선택	✅ 좋아지는 것	⚠️ 나빠지는 것
작은 패키지 (0402)	ESL↓ → SRF↑, 고주파 특성 우수	용량↓, DC 바이어스 감소 심함
같은 값 병렬 N개	ESL $1/N$ , 반공진 없음	면적, 부품 수
값이 다른 병렬	넓은 대역 커버	반공진 피크
낮은 ESR (세라믹)	리플↓, 임피던스 최소값↓	반공진 Q↑ (피크 뾰족)
적당한 ESR (폴리머/전해)	반공진 댐핑	리플↑, 발열
큰 벌크 커패시터(bulk capacitor)벌크 커패시터 bulk capacitor보드 입구에 두는 큰 커패시터로, 디커플링이 못 따라가는 느린 전류 변화를 받아 냅니다.자세히 보기 →	저주파 임피던스↓, 과도응답(transient response)과도응답 transient response입력이 갑자기 바뀐 뒤 출력이 자리를 잡기까지의 움직임으로, 정상상태 해석으로는 안 보입니다.자세히 보기 →	SRF 낮음, 크기

실무 권장 조합

회로	디커플링
고속 디지털 IC	100 nF 0402 × 3~4개 (핀마다) + 10 µF 벌크
MCU	100 nF (전원핀마다) + 10 µF
OP앰프 (아날로그)	100 nF + 1 µF (양 레일), 필요시 직렬 저항
ADC	AVDD: 100 nF + 10 µF + 페라이트 격리
전원 IC 입력	낮은 ESL, 핫 루프(hot loop) 최소 (8-03)

🔌 실제 쓰임새 — 임피던스 목표 설정

고속 디지털 설계에서는 목표 임피던스를 정하고 설계합니다.

Z_{target} = \frac{V_{ripple,allowed}}{I_{transient}}

기호

I_transient전류 (transient)current (transient)A

V_ripple,allowed전압 (ripple, allowed)voltage (ripple, allowed)V

Z_target임피던스 (target)impedance (target)Ω

예: 3.3 V의 2% 리플 허용(66 mV), 과도 전류 1 A

Z_{target} = \frac{0.066}{1} = 66\ \text{m}\Omega

기호

Z_target임피던스 (target)impedance (target)Ω

이 임피던스를 DC부터 최대 관심 주파수까지 유지하도록 커패시터를 배치합니다. 반공진 피크가 $Z_{target}$ 을 넘지 않아야 합니다.

⚠️ 이상과 실제의 차이

이상	실제
커패시터 = 용량만	ESR + ESL
병렬 = 용량 합	반공진
커패시터가 고주파를 막음	SRF 위에서는 인덕터
데이터시트 용량	DC 바이어스로 절반 이하 (3-04)
ESL이 부품 값	PCB 배선(trace)·비아 인덕턴스(inductance)가 더 큼

⚠️ 가장 중요한 사실: 커패시터의 ESL(0.5 nH)보다 배선·비아(via) 인덕턴스(2~10 nH)가 훨씬 큽니다. 부품을 고르는 것보다 배치를 잘하는 것이 5~20배 효과적입니다 (8-04).

연습문제

문제 1. 1 µF 0603 커패시터의 ESL이 0.6 nH입니다. SRF는? 50 MHz에서의 임피던스는?

exercises/11-02-srf-1uf.yaml

풀이

f_{SRF} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.6\times10^{-9}\times10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\times2.45\times10^{-8}} \approx 6.5\ \text{MHz}

기호

f_SRF주파수 (SRF)frequency (SRF)Hz

50 MHz는 SRF 위이므로 인덕터:

|Z| = 2\pi\times5\times10^7\times0.6\times10^{-9} \approx 0.19\ \Omega

기호

Z임피던스impedanceΩ

이상적 커패시터라면 $1/(2\pi\times5\times10^7\times10^{-6}) = 0.0032\ \Omega$ 이므로 59배 나쁩니다.

문제 2. 10 µF(ESL 1 nH)과 100 nF(ESL 0.4 nH)을 병렬로 씁니다. 반공진 주파수는?

연습 11-02-2 — 커패시터 두 개를 병렬로 달았더니 생긴 봉우리워크벤치에서 열기 →

풀이

큰 커패시터의 ESL과 작은 커패시터의 용량이 공진합니다:

f_{AR} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{big}\,C_{small}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-9}\times10^{-7}}}

기호

C_small정전용량 (small)capacitance (small)F

f_AR주파수 (AR)frequency (AR)Hz

L_big인덕턴스 (big)inductance (big)H

= \frac{1}{2\pi\times10^{-8}} \approx 15.9\ \text{MHz}

이 주파수 근처에 시스템의 주요 노이즈 성분이 있다면 문제가 됩니다.

완화: 100 nF을 여러 개 병렬로 (ESL 감소 → 반공진 주파수 상승, 피크 낮아짐), 또는 중간값(1 µF) 추가, 또는 ESR이 있는 커패시터 혼합

문제 3. 100 MHz 노이즈를 잡아야 합니다. 어떤 커패시터를 어떻게 배치하겠습니까?

exercises/11-02-100mhz-decoupling.yaml

풀이

1) 커패시터 선택

100 MHz에서 커패시터로 동작하려면 SRF > 100 MHz여야 합니다.

후보	SRF	평가
100 nF 0402	25 MHz	❌ 인덕터로 동작
10 nF 0402	80 MHz	△ 경계
1 nF 0402	250 MHz	✅
100 pF 0402	800 MHz	✅ (용량이 작아 임피던스는 높음)

1 nF 0402가 적절합니다. 100 MHz에서:

|Z| = \frac{1}{2\pi\times10^8\times10^{-9}} \approx 1.6\ \Omega

기호

Z임피던스impedanceΩ

2) 배치가 결정적

100 MHz에서는 배선 인덕턴스가 지배합니다.

배선 2 mm(2 nH) + 비아 2개(1.5 nH) = 3.5 nH:

|Z_L| = 2\pi\times10^8\times3.5\times10^{-9} \approx 2.2\ \Omega

기호

Z_L부하 임피던스load impedanceΩ

커패시터 임피던스(1.6 Ω)보다 배선이 더 큽니다!

따라서:

커패시터를 노이즈원 바로 옆에 (< 1 mm)
via-in-pad 또는 패드 바로 옆 비아
접지 플레인이 바로 아래층에 (비아 길이 최소)
여러 개 병렬로 배치해 인덕턴스 분산

3) 근본 대책

100 MHz 노이즈가 있다는 것은 어딘가에서 빠른 에지가 발생한다는 뜻입니다.

발생원의 에지를 늦추는 것이 더 효과적 (게이트 저항, 슬루 제한)
100 MHz를 잡으려 애쓰기보다 애초에 만들지 않는 것이 낫습니다

“필터로 잡기”보다 “안 만들기”가 항상 우선입니다. 고주파일수록 더 그렇습니다.

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